Errore nel Mazzoldi?
Ho iniziato una ripetizione pre esame, e penso di aver trovato un errore nel libro, ma vorrei averne conferma.
Immaginiamo due punti materiali uniti da un filo di massa trascurabile, che cadono sotto l'azione della forza di gravità.
ciò che viene chiesto in questo esercizio è di dimostrare che durante la caduta la tensione del filo sia nulla.
la soluzione è molto intuitiva, e tutti sappiamo che la tensione del filo è nulla, dato che i due corpi sono soggetti alla stessa accelerazione. ma volendone dare una descrizione formale, dato che mi è stato chiesto di dimostrare che la tensione sia nulla, non posso ovviamente assumerlo come un fatto, ma devo dimostrarlo.
Consideriamo m1 lamassa gialla, mentre m2 sarà quella verde. Andando a scrivere le equazioni di Newton si ha:
$m_1a_1=-m_1g-T$
$m_2a_2=-m_2g+T$
Secondo me è qui che il libro commette un errore, perchè senza dare troppe giustificazioni afferma che $a_1=a_2$, ma chi lo garantisce visto che con sappiamo che la tensione sia nulla. E soprattutto, non essendo il filo rigido, se $a_1$ fosse maggiore di $a_2$ questo si piegherebbe. Sulla base di cosa si può scrivere $a_1=a_2$ ?
Immaginiamo due punti materiali uniti da un filo di massa trascurabile, che cadono sotto l'azione della forza di gravità.
ciò che viene chiesto in questo esercizio è di dimostrare che durante la caduta la tensione del filo sia nulla.
la soluzione è molto intuitiva, e tutti sappiamo che la tensione del filo è nulla, dato che i due corpi sono soggetti alla stessa accelerazione. ma volendone dare una descrizione formale, dato che mi è stato chiesto di dimostrare che la tensione sia nulla, non posso ovviamente assumerlo come un fatto, ma devo dimostrarlo.
Consideriamo m1 lamassa gialla, mentre m2 sarà quella verde. Andando a scrivere le equazioni di Newton si ha:
$m_1a_1=-m_1g-T$
$m_2a_2=-m_2g+T$
Secondo me è qui che il libro commette un errore, perchè senza dare troppe giustificazioni afferma che $a_1=a_2$, ma chi lo garantisce visto che con sappiamo che la tensione sia nulla. E soprattutto, non essendo il filo rigido, se $a_1$ fosse maggiore di $a_2$ questo si piegherebbe. Sulla base di cosa si può scrivere $a_1=a_2$ ?
Risposte
Se la corda è tesa, ovviamente le accelerazioni sono uguali, perché la separazione fra le quote è costante. Se la corda non è tesa, i corpi sono liberi e cadono con accelerazione g. In tutti i casi le accelerazioni sono uguali.
O meglio: c'è un caso un po' particolare che è quello in cui, nel sistema di rif. solidale con m1, m2 "rimbalza" e cambia bruscamente velocità, ma si può vedere che non causa troppi problemi.
O meglio: c'è un caso un po' particolare che è quello in cui, nel sistema di rif. solidale con m1, m2 "rimbalza" e cambia bruscamente velocità, ma si può vedere che non causa troppi problemi.
Flamber, sono spiacente, ma il fatto che la tensione nel filo sia nulla è vero solo in prima approssimazione, ed è quello che comunemente noi pensiamo, assumendo che $g$ sia la stessa sia per la massa inferiore che per quella superiore.
Il che si assume, appunto, soltanto in prima approssimazione.
Ma se si tiene conto della variabilità di $g$ con la distanza da terra, si vede che la tensione nel filo non è affatto nulla.
Supponiamo, per semplicità, di avere due masse uguali $m_1 = m_2 = m$, collegate da un filo lungo $l$, una sotto l'altra, tenute inizialmente ferme rispetto alla terra bloccando la massa superiore. Lasciamo ora andare il sistema, che cade verticalmente verso terra. Noi pensiamo che essendo le masse uguali siano uguali anche i pesi, poichè assumiamo che $g$ sia la stessa per la massa superiore e quella inferiore. Invece no.
Sia $R$ la distanza dal centro della Terra della massa inferiore $m_i$. La forza di attrazione gravitazionale su essa vale :
$P_i = G (Mm_i)/R^2$ -------(1)
Sulla massa superiore $m_s$ , che è a distanza $(R + l)$ dal centro della Terra, la forza di attrazione gravitazionale vale :
$P_s = G (Mm_s)/(R+l)^2$ -------(2)
Essendo $P_i >P_s$, nel filo c'è una tensione $T$ diversa da zero. Il filo è inestensibile, quindi il sistema cade con un' unica accelerazione $a$ . Scriviamo le eq. della dinamica per le due masse, ponendo uguali le due masse come detto. Per la massa inferiore :
$ G(Mm)/R^2 - T = ma$--------(3)
per la massa superiore :
$G(Mm)/(R+l)^2 + T = ma$--------(4)
come vedi il segno della componente della tensione è opposto nelle due equazioni.
Dalle eq. scritte si ricava la tensione : $T = G(Mm)/2*((l^2 + 2lR)/(R^2(R+l)^2)) $ -------(5)
nella (5), trascurando $l^2$ rispetto a $2lR$ e ponendo : $ R +l = R $ (circa), si ricava la tensione :
$T = G (Mml)/R^3$ -----(6)
che come si vede è proporzionale a $l/R^3$ .
E questo è il motivo per cui in prima istanza la si trascura, dicendo che è nulla. Ma non lo è.
In quanto all'accelerazione $a$ , risulta minore di $g$ :
$a = GM/R^2 *(1-l/R) $ -------(7)
Per inciso, questo si chiama "effetto di marea" .
Una goccia d'acqua che cade verso Terra non è perfettamente sferica, è un ellissoide con l'asse maggiore rivolto verso terra .
E questo dimostra la "curvatura dello spazio" vicino alla Terra.
Il che si assume, appunto, soltanto in prima approssimazione.
Ma se si tiene conto della variabilità di $g$ con la distanza da terra, si vede che la tensione nel filo non è affatto nulla.
Supponiamo, per semplicità, di avere due masse uguali $m_1 = m_2 = m$, collegate da un filo lungo $l$, una sotto l'altra, tenute inizialmente ferme rispetto alla terra bloccando la massa superiore. Lasciamo ora andare il sistema, che cade verticalmente verso terra. Noi pensiamo che essendo le masse uguali siano uguali anche i pesi, poichè assumiamo che $g$ sia la stessa per la massa superiore e quella inferiore. Invece no.
Sia $R$ la distanza dal centro della Terra della massa inferiore $m_i$. La forza di attrazione gravitazionale su essa vale :
$P_i = G (Mm_i)/R^2$ -------(1)
Sulla massa superiore $m_s$ , che è a distanza $(R + l)$ dal centro della Terra, la forza di attrazione gravitazionale vale :
$P_s = G (Mm_s)/(R+l)^2$ -------(2)
Essendo $P_i >P_s$, nel filo c'è una tensione $T$ diversa da zero. Il filo è inestensibile, quindi il sistema cade con un' unica accelerazione $a$ . Scriviamo le eq. della dinamica per le due masse, ponendo uguali le due masse come detto. Per la massa inferiore :
$ G(Mm)/R^2 - T = ma$--------(3)
per la massa superiore :
$G(Mm)/(R+l)^2 + T = ma$--------(4)
come vedi il segno della componente della tensione è opposto nelle due equazioni.
Dalle eq. scritte si ricava la tensione : $T = G(Mm)/2*((l^2 + 2lR)/(R^2(R+l)^2)) $ -------(5)
nella (5), trascurando $l^2$ rispetto a $2lR$ e ponendo : $ R +l = R $ (circa), si ricava la tensione :
$T = G (Mml)/R^3$ -----(6)
che come si vede è proporzionale a $l/R^3$ .
E questo è il motivo per cui in prima istanza la si trascura, dicendo che è nulla. Ma non lo è.
In quanto all'accelerazione $a$ , risulta minore di $g$ :
$a = GM/R^2 *(1-l/R) $ -------(7)
Per inciso, questo si chiama "effetto di marea" .
Una goccia d'acqua che cade verso Terra non è perfettamente sferica, è un ellissoide con l'asse maggiore rivolto verso terra .
E questo dimostra la "curvatura dello spazio" vicino alla Terra.
Grazie navigatore per la risposta che è certamente completissima, ed ho letto con interesse. Ma penso che rispetto a quanto scritto dal libro sia eccessivamente generale. Anzi volendo si potrebbero fare uteriori generalizzazioni, come quello di non considerare dei punti materiali, ma dei corpi estesi sui quali la forza di gravità non è perpendicolare ad un piano tangente al suolo, bensì radiale rispetto a questo.
Comunque la spiegazione che mi serviva, era quella meno complessa e più semplice che mi ha dato hamilton, dato che il Mazzoldi considerava il campo gravitazionale costante, e considerava due punti materiali.
vi ringrazio entrambi!
Comunque la spiegazione che mi serviva, era quella meno complessa e più semplice che mi ha dato hamilton, dato che il Mazzoldi considerava il campo gravitazionale costante, e considerava due punti materiali.
vi ringrazio entrambi!
Grazie a te per aver letto e commentato la mia risposta.
Certamente se consideri il campo gravitazionale "uniforme" in una certa zona di spazio non c'è alcuna "forza di marea" , né nella direzione verticale $z$ nè su piani orizzontali $xy$ (questo "effetto marea" su piani orizzontali è quello che si ha proprio considerando che per un corpo esteso le verticali per punti distanti non sono parallele, ma convergono verso il centro della Terra, per cui ci sono "accelerazioni di marea" anche in direzioni orizzontali).
Questi effetti, di solito trascurabili per campi gravitazionali deboli e corpi poco estesi, diventano invece importanti quando si considerano campi gravitazionali molto intensi e/o corpi molto estesi, come per esempio vicino a stelle di neutroni o buchi neri. Ne abbiamo parlato un po' in questo topic, dove ho messo un disegnino col calcolo delle accelerazioni di marea proprio nel primo messaggio del 26.4. :
viewtopic.php?f=19&t=115146&hilit=curvatura+geodetiche
Certamente se consideri il campo gravitazionale "uniforme" in una certa zona di spazio non c'è alcuna "forza di marea" , né nella direzione verticale $z$ nè su piani orizzontali $xy$ (questo "effetto marea" su piani orizzontali è quello che si ha proprio considerando che per un corpo esteso le verticali per punti distanti non sono parallele, ma convergono verso il centro della Terra, per cui ci sono "accelerazioni di marea" anche in direzioni orizzontali).
Questi effetti, di solito trascurabili per campi gravitazionali deboli e corpi poco estesi, diventano invece importanti quando si considerano campi gravitazionali molto intensi e/o corpi molto estesi, come per esempio vicino a stelle di neutroni o buchi neri. Ne abbiamo parlato un po' in questo topic, dove ho messo un disegnino col calcolo delle accelerazioni di marea proprio nel primo messaggio del 26.4. :
viewtopic.php?f=19&t=115146&hilit=curvatura+geodetiche
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