Equivalenza tra circuiti
Salve, per definizione due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione.
Negli esercizi si sostituiscono circuiti equivalenti all'interno di un altro circuito, ad esempio:
Risolvo il secondo circuito ottenendo la tensione in R23 ed uso la stessa tensione nel primo circuito per calcolare R2 e R3. Non mi è chiaro perchè posso usare la stessa tensione visto che i circuiti sono diversi ed hanno differenti equazioni di Kirchhoff.
Come faccio a dimostrare in modo rigoroso, partendo dalla definizione di circuiti equivalenti data sopra, che in generale è lecito portare la tensione ai capi di due sottocircuiti equivalenti collegati con un circuito dello stesso tipo?
Negli esercizi si sostituiscono circuiti equivalenti all'interno di un altro circuito, ad esempio:
Risolvo il secondo circuito ottenendo la tensione in R23 ed uso la stessa tensione nel primo circuito per calcolare R2 e R3. Non mi è chiaro perchè posso usare la stessa tensione visto che i circuiti sono diversi ed hanno differenti equazioni di Kirchhoff.
Come faccio a dimostrare in modo rigoroso, partendo dalla definizione di circuiti equivalenti data sopra, che in generale è lecito portare la tensione ai capi di due sottocircuiti equivalenti collegati con un circuito dello stesso tipo?
Risposte
Non mi è chiaro perchè posso usare la stessa tensione visto che i circuiti sono diversi...
Puoi usare la stessa tensione, perchè nel circuito di sinistra le due resistenze $R_2$ ed $R_3$ sono in parallelo, e ai capi di due resistenze in parallelo c'è la stessa tensione.
Ai capi di due resistenze in parallelo c'è sempre una sola tensione ma perchè la tensione del secondo è uguale al primo?
Chi sarebbe il secondo ? Il circuito di destra ? Hai trovato $R_(23) $ , che è la resistenza equivalente alle due resistenze in parallelo del primo circuito ? Si, e per trovare la resistenza equivalente si parte proprio dalla uguaglianza della tensione, nei due circuiti.
Si esatto il secondo è quello di destra. Chi mi assicura che le tensioni sono uguali? Di fatto sono due circuiti distinti che hanno un pezzo interno tra loro equivalenti secondo la definizione data. Qual è il passaggio logico che mi dice che se io risolvo i due circuiti le tensioni a capi di R2, R3 nel primo ed i R23 nel secondo sono uguali?
Sono comunque interessato a una dimostrazione rigorosa che vale in generale, l'esercizio che ho dato è solo un esempio.
Sono comunque interessato a una dimostrazione rigorosa che vale in generale, l'esercizio che ho dato è solo un esempio.
La parte a sinistra (generatore e $R_1$) è la stessa nei due casi; le parti a destra sono equivalenti ovvero si comportano esattamente allo stesso modo rispetto al mondo esterno (altrimenti cosa significa "equivalenti" ? ) quindi in entrambi i casi le due parti sono le "stesse", di conseguenza anche il comportamento ed i vari parametri saranno gli stessi.
"si comportano esattamente allo stesso modo rispetto al mondo esterno"
Potresti dare una definizione più rigorosa e comunque equivalenti se non erro dovrebbe essere la definizione che ho dato.
La tua definizione di equivalenza può essere ricavata dalla mia?
Potresti dare una definizione più rigorosa e comunque equivalenti se non erro dovrebbe essere la definizione che ho dato.
La tua definizione di equivalenza può essere ricavata dalla mia?
Appunto, l'hai detto tu!
"Equivalenti" significa che per il mondo esterno al rettangolo tratteggiato è indifferente ciò che esso contiene.
"Equivalenti" significa che per il mondo esterno al rettangolo tratteggiato è indifferente ciò che esso contiene.
Ho dato di definizione di equivalenza nel messaggio iniziale. Bisogna definire esattamente cosa vuol dire "il mondo esterno al rettangolo tratteggiato è indifferente ciò che esso contiene." e poi eventualmente fare una dimostrazione che è possibile fare le sostituzioni con circuiti equivalenti.
Non è necessario.
Se sostituisco un pezzo di circuito (qualsiasi esso sia) con un altro pezzo ad esso equivalente, ciò significa che il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni).
Nel momento che dici "equivalente" affermi questo. Punto.
Non confondere questo con il dimostrare che un circuito è "equivalente" ad un altro.
Cordialmente, Alex
Se sostituisco un pezzo di circuito (qualsiasi esso sia) con un altro pezzo ad esso equivalente, ciò significa che il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni).
Nel momento che dici "equivalente" affermi questo. Punto.
Non confondere questo con il dimostrare che un circuito è "equivalente" ad un altro.
Cordialmente, Alex
Per definizione due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione.
Il punto è che se uno definisce due cose usando il termine "equivalenti" non vuol dire che posso sostituirle tra loro solo perchè le ho chiamate equivalenti, se si può sostituire la cosa va dimostrata.
Se io dico che due numeri a e b sono "equivalenti" quando a non è b non vuol dire che posso sostituire 1 con 2 in una espressione anche se 1 è "equivalente" a 2 secondo la mia definizione.
Il punto è che se uno definisce due cose usando il termine "equivalenti" non vuol dire che posso sostituirle tra loro solo perchè le ho chiamate equivalenti, se si può sostituire la cosa va dimostrata.
Se io dico che due numeri a e b sono "equivalenti" quando a non è b non vuol dire che posso sostituire 1 con 2 in una espressione anche se 1 è "equivalente" a 2 secondo la mia definizione.
Se 1 è equivalente a 2 secondo la tua definizione, certo che puoi sostituire 1 a 2 ! 
(in quel contesto con quella definizione ovviamente, non sempre ed ovunque)
Il senso della parola "equivalente" è proprio questo: uno vale l'altro (Ripeto: non in assoluto ma relativamente al contesto e alle condizioni in cui hai dimostrato l'equivalenza).
Prima dimostri che sono equivalenti, se lo sono allora puoi sostituire uno con l'altro tutte le volte che vuoi.
Ti sei incartato.
Per esempio io posso sostituire questa equazione $x^2+5x+6=0$ con questa $(x-2)(x-3)=0$ (nel contesto della ricerca delle soluzioni di un'equazione di secondo grado) perché qualcuno dimostrò (prima) che data l'equazione $x^2+sx+p=0$ e dette $x_1$ e $x_2$ le due radici allora $s=x_1+x_2$ e $p=x_1*x_2$.
Le due equazioni sono equivalenti.
(in quel contesto con quella definizione ovviamente, non sempre ed ovunque)Il senso della parola "equivalente" è proprio questo: uno vale l'altro (Ripeto: non in assoluto ma relativamente al contesto e alle condizioni in cui hai dimostrato l'equivalenza).
"giov__":
Il punto è che se uno definisce due cose usando il termine "equivalenti" non vuol dire che posso sostituirle tra loro solo perchè le ho chiamate equivalenti, se si può sostituire la cosa va dimostrata.
Prima dimostri che sono equivalenti, se lo sono allora puoi sostituire uno con l'altro tutte le volte che vuoi.
Ti sei incartato.
Per esempio io posso sostituire questa equazione $x^2+5x+6=0$ con questa $(x-2)(x-3)=0$ (nel contesto della ricerca delle soluzioni di un'equazione di secondo grado) perché qualcuno dimostrò (prima) che data l'equazione $x^2+sx+p=0$ e dette $x_1$ e $x_2$ le due radici allora $s=x_1+x_2$ e $p=x_1*x_2$.
Le due equazioni sono equivalenti.
Il fatto è che io cerco una dimostrazione che vale sempre o almeno in determinate ipotesi. In sostanza i circuiti si risolvono in modo più agevole con le sostituzioni suddette ma io non ho trovato un teorema che in generale mi giustifichi queste sostituzioni. Se devo fare vedere che la sostituzione è lecita caso per caso dovrò risolvere le equazioni di kirchhoff per i due circuiti ma questo è quello che si vuole evitare, cioè negli esercizi ci si appoggia al secondo circuito per non dover risolvere per intero il primo con kirchhoff.
Spero di essere stato chiaro e comunque grazie per la tua attenzione
Spero di essere stato chiaro e comunque grazie per la tua attenzione
Tra il "caso per caso" e il "sempre" c'è una via di mezzo …
Ogni volta che dichiari che due "cose" sono equivalenti devi certamente definire le condizioni per cui è valida questa equivalenza. Ma è un fatto del tutto normale, non è esclusivo dell'Elettrotecnica o della Fisica.
Peraltro, molto spesso queste condizioni sono abbastanza "lasche" (per non dire che valgono quasi sempre).
Per esempio, per quel che ricordo, i concetti di "resistenze in parallelo" o di "resistenze in serie" sostituibili in modo trasparente da una "resistenza equivalente" sono concetti sempre validi nei "normali" circuiti e presumo che su un qualsiasi libro che tratti questi argomenti ci sia la dimostrazione del fatto che siano equivalenti.
Ogni volta che dichiari che due "cose" sono equivalenti devi certamente definire le condizioni per cui è valida questa equivalenza. Ma è un fatto del tutto normale, non è esclusivo dell'Elettrotecnica o della Fisica.
Peraltro, molto spesso queste condizioni sono abbastanza "lasche" (per non dire che valgono quasi sempre).
Per esempio, per quel che ricordo, i concetti di "resistenze in parallelo" o di "resistenze in serie" sostituibili in modo trasparente da una "resistenza equivalente" sono concetti sempre validi nei "normali" circuiti e presumo che su un qualsiasi libro che tratti questi argomenti ci sia la dimostrazione del fatto che siano equivalenti.
LA discussione si è spostata, mi pare, dalla fisica all'italiano. Ma credo che la difficoltà di @Giov stia proprio nell'accettare che tra morsetti prima e dopo le resistenze in parallelo ci sia la stessa tensione, sia nel circuito di sinistra che in quello di destra.
Giov, guarda questa paginetta (presa dal Mencuccini-Silvestrini):
la d.d.p. tra N ed M è la stessa per le due resistenze, Nei due nodi vale inoltre le legge di Kirchhoff per le correnti:
$I=I_1+I_2$
sei d'accordo fin qui? Il resto è una conseguenza di queste semplici considerazioni, come dimostrato nella pagina , e vale una volta per tutte. Non devi applicare Kirchhoff ogni volta. Quando sfrutti il teorema di Pitagora, non devi dimostrarlo ogni volta che lo usi, sai che è stato dimostrato e vale sempre, nella geometria euclidea. Che cosa possiamo mettere , al posto delle due resistenze in parallelo $R_1$ ed $R_2$ ? Un resistenza che "equivalga" alle due , nel senso che :
1) la d.d.p. ai suoi capi sia la stessa di prima
2) la corrente che circola in essa sia la somma delle correnti circolanti in $R_1$ e in $R_2$ .
--------------------------------------------
A proposito della storia " 1 = 2 " , c'è un aneddoto riguardante Bertrand Russell , filosofo e matematico. Non so se lo conosci, ma ad ogni modo lo riporto, anche se qui non c'entra molto :
Un altro classico: se 2=1 allora io sono il Papa
Un tale chiese al famoso logico Bertrand Russell.
- E' vero che partendo da premesse false si può dimostrare qualunque cosa?
E Russell rispose:
- Certo!
- Lei sarebbe capace di dimostrare che se 2=1 allora lei è il Papa?
Bertrand Russell ci pensò un po' su poi chiese:
- Secondo lei, io ed il Papa quanti siamo?
- Due.
- Ma siccome 2=1 allora io e il Papa siamo 1. Perciò io sono il Papa.
Giov, guarda questa paginetta (presa dal Mencuccini-Silvestrini):
la d.d.p. tra N ed M è la stessa per le due resistenze, Nei due nodi vale inoltre le legge di Kirchhoff per le correnti:
$I=I_1+I_2$
sei d'accordo fin qui? Il resto è una conseguenza di queste semplici considerazioni, come dimostrato nella pagina , e vale una volta per tutte. Non devi applicare Kirchhoff ogni volta. Quando sfrutti il teorema di Pitagora, non devi dimostrarlo ogni volta che lo usi, sai che è stato dimostrato e vale sempre, nella geometria euclidea. Che cosa possiamo mettere , al posto delle due resistenze in parallelo $R_1$ ed $R_2$ ? Un resistenza che "equivalga" alle due , nel senso che :
1) la d.d.p. ai suoi capi sia la stessa di prima
2) la corrente che circola in essa sia la somma delle correnti circolanti in $R_1$ e in $R_2$ .
--------------------------------------------
A proposito della storia " 1 = 2 " , c'è un aneddoto riguardante Bertrand Russell , filosofo e matematico. Non so se lo conosci, ma ad ogni modo lo riporto, anche se qui non c'entra molto :
Un altro classico: se 2=1 allora io sono il Papa
Un tale chiese al famoso logico Bertrand Russell.
- E' vero che partendo da premesse false si può dimostrare qualunque cosa?
E Russell rispose:
- Certo!
- Lei sarebbe capace di dimostrare che se 2=1 allora lei è il Papa?
Bertrand Russell ci pensò un po' su poi chiese:
- Secondo lei, io ed il Papa quanti siamo?
- Due.
- Ma siccome 2=1 allora io e il Papa siamo 1. Perciò io sono il Papa.
Il discorso è che nella definizione si pone la tensione uguale mentre se i due circuiti equivalanti vengono immersi in un altro circuito non posso a priori se le tensioni saranno uguali a meno che non si dimostra con un ragionamento che prende in considerazioni le leggi di kirchhoof ed eventualmente sotto opportune ipotesi.
Ad esempio esiste il teorema di sostituzione che riguarda i generatori di tensione e di corrente e che ha una sua dimostrazione che riporto:
ENUNCIATO
Si consideri una rete arbitraria contenente elementi qualsiasi inclusi generatori indipendenti. Si consideri un lato particolare, per esempio il lato K che non sia accoppiato ad altri lati della rete, cioè, il lato K non può essere un lato di induttore accoppiato e nemmeno un lato di un generatore dipendente. Si supponga che per le eccitazioni date, la rete ammetta soluzione unica per tutte le tensioni e le correnti dei lati.Siano iK(t) e vK(t) le forme d’onda della corrente e della tensione di lato K.
Si supponga che il lato K sia sostituito da un generatore di corrente indipendente con forma d’onda iK(t), uguale a quella del lato sostituito, o da un generatore di tensione indipendente con forma d’onda vK(t), uguale a quella del lato sostituito. Se la rete modificata ammette ancora soluzione unica per ogni corrente e tensione di lato, allora tutte le correnti e le tensioni della rete modificata risultano identiche a quelle della rete originale.
DIMOSTRAZIONE
Siano v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib le tensioni e le correnti dei lati della rete originale; siccome la rete ammette per ipotesi soluzione unica, questo significa che le predette tensioni e correnti sono le sole che soddisfano le relazioni LKT e LKC, le condizioni iniziali e le equazioni di lato della rete data. La rete modificata si ottiene sostituendo il lato K-esimo con un generatore di tensione vK o di corrente iK, come discusso nell’enunciato. Siccome per ipotesi la rete modificata ammette ancora soluzione unica, poiché la topologia della rete data e della rete modificata è la stessa, le LKC e le LKT coincidono per le due reti, le condizioni iniziali sono le stesse per entrambe le reti, tutte le equazioni di lato sono le stesse eccetto quelle del lato k-esimo, ma per tale lato è stato scelto un generatore avente come grandezza impressa proprio vK o iK. In virtù dell’unicità della soluzione le v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib della rete originaria e modificata coincidono.
Una dimostrazione simile secondo me occorre quando si sostituiscono circuiti equivalenti.
Ad esempio esiste il teorema di sostituzione che riguarda i generatori di tensione e di corrente e che ha una sua dimostrazione che riporto:
ENUNCIATO
Si consideri una rete arbitraria contenente elementi qualsiasi inclusi generatori indipendenti. Si consideri un lato particolare, per esempio il lato K che non sia accoppiato ad altri lati della rete, cioè, il lato K non può essere un lato di induttore accoppiato e nemmeno un lato di un generatore dipendente. Si supponga che per le eccitazioni date, la rete ammetta soluzione unica per tutte le tensioni e le correnti dei lati.Siano iK(t) e vK(t) le forme d’onda della corrente e della tensione di lato K.
Si supponga che il lato K sia sostituito da un generatore di corrente indipendente con forma d’onda iK(t), uguale a quella del lato sostituito, o da un generatore di tensione indipendente con forma d’onda vK(t), uguale a quella del lato sostituito. Se la rete modificata ammette ancora soluzione unica per ogni corrente e tensione di lato, allora tutte le correnti e le tensioni della rete modificata risultano identiche a quelle della rete originale.
DIMOSTRAZIONE
Siano v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib le tensioni e le correnti dei lati della rete originale; siccome la rete ammette per ipotesi soluzione unica, questo significa che le predette tensioni e correnti sono le sole che soddisfano le relazioni LKT e LKC, le condizioni iniziali e le equazioni di lato della rete data. La rete modificata si ottiene sostituendo il lato K-esimo con un generatore di tensione vK o di corrente iK, come discusso nell’enunciato. Siccome per ipotesi la rete modificata ammette ancora soluzione unica, poiché la topologia della rete data e della rete modificata è la stessa, le LKC e le LKT coincidono per le due reti, le condizioni iniziali sono le stesse per entrambe le reti, tutte le equazioni di lato sono le stesse eccetto quelle del lato k-esimo, ma per tale lato è stato scelto un generatore avente come grandezza impressa proprio vK o iK. In virtù dell’unicità della soluzione le v1, v2, …, vb e i1, i2, …, ib della rete originaria e modificata coincidono.
Una dimostrazione simile secondo me occorre quando si sostituiscono circuiti equivalenti.
Senti Giov, basta mezza paginetta per determinare la resistenza equivalente di due o piu resistenze in parallelo. Se ogni volta che si deve risolvere un circuito si deve fare tutto quel ragionamento, e applicare Kirchhoff ogni volta, stiamo freschi !
Non occorre moltiplicare gli enti senza necessità , diceva Occam. Ma ognuno è libero di fare come vuole. Ciao.
Non occorre moltiplicare gli enti senza necessità , diceva Occam. Ma ognuno è libero di fare come vuole. Ciao.
Non devi farlo ogni volta ma farlo solo nella dimostrazione di un teorema che poi applichi. Il mio obiettivo non è determinare la resistenza equivalente di due o più resistenze in parallelo ma dimostrare che in generale posso in un circuito sostituire una sua sottoparte A con una ad essa equivalente A' (secondo la definizione da me data) ed avere così di fatto un'altro circuito in cui la tensione in A' è quella in A nel circuito di partenza.
Forse purtroppo non riesco a spiegarmi bene non so, comunque grazie lo stesso per la tua attenzione.
Forse purtroppo non riesco a spiegarmi bene non so, comunque grazie lo stesso per la tua attenzione.
Per maggiore chiarezza:
La definizione di "equivalente" è: due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione. Chiamo questa proposizione A.
La definizione di "equivalente" non è: il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni). Chiamo questa proposizione B.
Il punto è che quando si fa la sostituzione si ottengono alla fine due circuiti differenti (quello originario e quello ottenuto con la sostituzione) e di fatto la tensione o la corrente non è decisa da noi ma dal circuito per intero risolvendo le equazioni di kirchhoff che sono differenti.
Io voglio dimostrare che A implica B, a qualcuno potrà sembrare intuitivo che vale l'implicazione ma di fatto sono due affermazioni differenti che bisogna dimostrare.
Grazie comunque ad axpgn per le sue osservazioni.
La definizione di "equivalente" è: due circuiti sono equivalenti rispetto a due morsetti (ciascuna coppia per ogni circuito) se applicando la stessa tensione ai morsetti dei due circuiti otteniamo la stessa corrente e se applichiamo la stessa corrente con un generatore di corrente otteniamo la stessa tensione. Chiamo questa proposizione A.
La definizione di "equivalente" non è: il resto del circuito (ovvero la parte che è rimasta tale e quale a come era prima della sostituzione) NON si deve accorgere del cambiamento (non deve risentirne in nessun modo, non solo le correnti e le tensioni). Chiamo questa proposizione B.
Il punto è che quando si fa la sostituzione si ottengono alla fine due circuiti differenti (quello originario e quello ottenuto con la sostituzione) e di fatto la tensione o la corrente non è decisa da noi ma dal circuito per intero risolvendo le equazioni di kirchhoff che sono differenti.
Io voglio dimostrare che A implica B, a qualcuno potrà sembrare intuitivo che vale l'implicazione ma di fatto sono due affermazioni differenti che bisogna dimostrare.
Grazie comunque ad axpgn per le sue osservazioni.
Ti sei incartato sul nulla …
Non è una questione di Fisica né di Italiano ma di Logica.
$\text("A' è equivalente ad A") <=> \text("ho dimostrato che posso sostituire A con A'")$
Questo è il senso di equivalente, o meglio ancora, di "relazione di equivalenza" ed è per questo che è così importante (in generale, non solo in Fisica).
Quando io ho dimostrato l'equivalenza, qualsiasi elemento appartenente alla stessa classe di equivalenza è intercambiabile.
Ovviamente nell'ambito di quella relazione di equivalenza.
Insomma, se sei riuscito a dimostrare UNA VOLTA che puoi sostituire $n$ resistenze in parallelo con una sola resistenza equivalente secondo certe regole e sotto certe condizioni, tutte le volte che si ripresentano le stesse condizioni puoi fare la sostituzione (anche al contrario) senza doverlo dimostrare di nuovo. Punto.
Non è una questione di Fisica né di Italiano ma di Logica.
$\text("A' è equivalente ad A") <=> \text("ho dimostrato che posso sostituire A con A'")$
Questo è il senso di equivalente, o meglio ancora, di "relazione di equivalenza" ed è per questo che è così importante (in generale, non solo in Fisica).
Quando io ho dimostrato l'equivalenza, qualsiasi elemento appartenente alla stessa classe di equivalenza è intercambiabile.
Ovviamente nell'ambito di quella relazione di equivalenza.
Insomma, se sei riuscito a dimostrare UNA VOLTA che puoi sostituire $n$ resistenze in parallelo con una sola resistenza equivalente secondo certe regole e sotto certe condizioni, tutte le volte che si ripresentano le stesse condizioni puoi fare la sostituzione (anche al contrario) senza doverlo dimostrare di nuovo. Punto.
Ok grazie per il tuo commento
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo