Equivalente elttrico

29 giu 2019, 22:46

"dRic":
... Mi potreste spiegare come si arriva al seguente equivalente elettrico a partire dal seguente sistema di eq differenziali? ...

Semplicemente notando che, "viste" quelle grandezze T come dei potenziali V, quelle due equazioni differenziali possono essere "viste" come due principi di Kirchhoff alle correnti, di un circuito elettrico composto da resistori e condensatori, alimentato da un generatore di corrente (non di tensione).

Cercando di indovinare

... nient'altro che un problema termico "trasformato" in un circuito equivalente elettrico.

"dRic":
... In particolare ho chiaro come collocare la resistenza e il generatore di tensione (Q), ma non ho capito perché i condensatori sono messi a quel modo. ...

Le resistenze elettriche corrispondono a quelle termiche, le capacità elettriche a quelle termiche, il GIC corrisponde alla potenza termica iniettata e il riferimento del potenziale a zero, alla temperatura ambiente (ipotizzata costante).

"dRic":
... PS: Tra l'altro non manca una resistenza tra Tc e Tin ?

Troppa fatica indicarla e spiegare cosa sia Tin ?

BTW Certo che, per un iscritto da due anni con quasi mille post, non sapere postare un disegno decente e un paio di formule in codice LaTeX, direi violi tutte le regole del Forum, non credi?

dRic

29 giu 2019, 23:42

"RenzoDF":

BTW Certo che, per un iscritto da due anni con quasi mille post, non sapere postare un disegno decente e un paio di formule in codice LaTeX, direi violi tutte le regole del Forum, non credi?

LaTeX lo so usare, ma non saprei fare un disegno del circuito elettrico. Quindi, dovendo fare uno schreenshot, ho optato per metterci dentro anche le equazioni per fare prima... un po' di pigrizia qui, ammetto la colpa

"RenzoDF":

Troppa fatica indicarla e spiegare cosa sia Tin ?

La prima equazione recita
$$ m_c C_c \frac {dT_c}{dt} = k(T_f - T_c) - 2 \Gamma C_c(T_c - T_{in})$$

quindi c'è una differenzia di potenziale e $\frac 1 { 2 \Gamma C_c}$ è la relativa resistenza giusto ? La quale dovrebbe essere messa dopo Tc (nel disegno) dove ci sono quella specie di puntini tratteggiati.

"RenzoDF":

il GIC corrisponde alla potenza termica iniettata e il riferimento del potenziale a zero, alla temperatura ambiente (ipotizzata costante)

Non capisco il mettere questo riferimento uguale a zero... dici che corrisponde alla temperatura ambiente, ma qui non la vedo nelle equazioni... vedo solo un Tc un Tf (che sono le incognite) e una temperatura Tin che è una costante.

RenzoDF

30 giu 2019, 07:26

"dRic":
... La prima equazione recita
$$ m_c C_c \frac {dT_c}{dt} = k(T_f - T_c) - 2 \Gamma C_c(T_c - T_{in})$$

quindi c'è una differenzia di potenziale e $\frac 1 { 2 \Gamma C_c}$ è la relativa resistenza giusto ? La quale dovrebbe essere messa dopo Tc (nel disegno) dove ci sono quella specie di puntini tratteggiati.

Visto che continui a non chiarirci il contesto [nota]Che comunque è evidente dalla simbologia usata nella scrittura.[/nota], supponendo di ignorare a cosa corrispondano i termini e i coefficienti di quelle equazioni differenziali, come dicevo, possiamo in ogni caso metterle in analogia alle due KCL ai nodi di un circuito elettrico (ohmico capacitivo).

In particolare le variabili $T_i $ possiamo "vederle" come potenziali $V_i $ dei nodi della rete e, ricordando le relazioni costitutive dei bipoli elettrici, possiamo "vedere" il termine a primo membro come una corrente capacitiva e i termini a secondo membro come correnti resistive, se proporzionali a differenze $T_i-T_j$, o correnti forzate da generatori di corrente, nel caso di termini costanti.
Per quanto riguarda i coefficienti, a primo membro possiamo "vedere" i prodotti $M_ic_i$ come capacità, a secondo membro $k$ e $2 \Gamma C_c$ come conduttanze elettriche, $\dot{Q}$ come corrente impressa da un GIC, $T_i-T_j$ come differenze di potenziale.

"dRic":
... Non capisco il mettere questo riferimento uguale a zero... dici che corrisponde alla temperatura ambiente, ma qui non la vedo nelle equazioni... vedo solo un Tc un Tf (che sono le incognite) e una temperatura Tin che è una costante.

Il "riferimento a zero" è un modo convenzionale per dire che i potenziali vengono riferiti ad un punto particolare del circuito che, pur normalmente assunto a potenziale nullo, può tranquillamente essere assunto pari ad un altro (qualsiasi) valore, in questo caso, vista l'equazione, lo possiamo assumere pari a $T_{\text{in}}$ [nota]Che, diversamente da $T_c$ e da $T_f$ dovrà essere una costante, altrimenti l'analogia non regge (lascio a te capire perché).[/nota].

In sostanza, per concludere quelle due equazioni differenziali non sono altro che l'applicazione del metodo risolutivo dei potenziali nodali a quella rete elettrica.

... e, giusto per farti vedere che con FidoCadJ si sta un attimo a costruire uno schema (completamente riciclabile)

[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC C 2.5
FJC A 0.35
FJC B 0.2
EV 19 19 27 27 0
LI 20 23 26 23 0
LI 23 19 23 13 0
LI 23 13 47 13 0
MC 52 13 0 0 ey_libraries.pasres0
MC 41 26 2 0 ey_libraries.pascap0
MC 68 26 2 0 ey_libraries.pascap0
LI 23 27 23 34 0
LI 23 34 89 34 0
LI 41 16 41 13 0
LI 41 31 41 34 0
LI 62 13 89 13 0
MC 89 21 1 0 ey_libraries.pasres0
LI 68 16 68 13 0
LI 68 31 68 34 0
LI 89 16 89 13 0
LI 89 31 89 34 0
MC 16 25 3 0 074
TY 38 6 4 3 0 0 0 * Vf
TY 65 6 4 3 0 0 0 * Vc
TY 48 20 4 3 0 0 0 * Cf
TY 74 20 4 3 0 0 0 * Cc
TY 9 20 4 3 0 0 0 * J
TY 52 4 4 3 0 0 0 * R1
TY 93 20 4 3 0 0 0 * R2
TY 43 35 4 3 0 0 0 * Vin
PL 61 39 55 39 1 0
LI 58 39 58 34 0[/fcd]

dRic

30 giu 2019, 08:00

"RenzoDF":

Visto che continui a non chiarirci il contesto1,

Scusami, è che, per come ho approcciato il problema, pensavo che avrei dovuto risolvere il problema senza "sapere" cosa significhino i vari termini, ma solo guardano l'equazioni. Che si tratti di scambio termico mi pare ovvio, ma non pensavo fosse importante capire la geometria del sistema e/o il tipo di scambio termico perché le equazioni sono già state scritte. Non è quindi un mio non voler dare informazioni è proprio che io stesso mi volevo mettere nella posizione di non sapere e fare da zero. Nel senso: se ci fosse stato scritto un circuito lì, con le tensioni e le correnti e tutto, non sarei comunque capace di disegnarlo...

In particolare, so che la mia domanda sarà stupida, ma potrei sapere perché il circuito rimane aperto e non si chiude ?

Grazie mille per l'aiuto.

Vidocq

30 giu 2019, 08:18

"dRic":
In particolare, so che la mia domanda sarà stupida, ma potrei sapere perché il circuito rimane aperto e non si chiude ?

Se ti riferisci alla linea tratteggiata della tua figura abbiamo due possibili ipotesi:

RenzoDF

30 giu 2019, 10:55

"dRic":
... mi volevo mettere nella posizione di non sapere e fare da zero.

E la risposta che ti ho dato è stata proprio, in quel senso, generica.

... se ci fosse stato scritto un circuito lì, con le tensioni e le correnti e tutto, non sarei comunque capace di disegnarlo...

Questa non l'ho capita: ... "se ci fosse stato scritto un circuito lì ", perché mai avresti dovuto ridisegnarlo.

dRic

30 giu 2019, 14:08

"RenzoDF":

Questa non l'ho capita: ... "se ci fosse stato scritto un circuito lì ", perché mai avresti dovuto ridisegnarlo.

Nel senso che il problema non è comprendere l'analogia tra temperatura e potenziale, ma è proprio disegnare il circuito.

Comunque ho capito un paio di cose finalmente. Ringrazio entrambi per la pazienza. In particolare le due equazioni altro non sono che la conservazione della corrente scritta per il nodo Tf e Tc, giusto ?

Mi rimane un po ' arduo da capire il concetto di potenziale di riferimento. Io semplicemente avrei sommato le due equazioni differenziali e mi sarei ricavato la seguente equazione differenziale (la scrivo già in forma "elettrica"):
$$C_f \frac {dV_f}{dt} + C_c \frac {dV_c}{dt} = Q - R_2(T_c - T_{in})$$
In questo modo posso vedere questa ultima equazione come la conservazione della corrente per il nodo Tin e poi, osservando che in questo nodo entrano le correnti generate da R2 e dai due capacitori, mi verrebbe da chiudere il circuito e disegnarlo come avete fatto entrambi.
Non capisco la possibilità di scegliere il potenziale zero come arbitrario.

Inoltre non ho ben capito questo:

"RenzoDF":

Che, diversamente da Tc e da Tf dovrà essere una costante, altrimenti l'analogia non regge (lascio a te capire perché).

Se Tin non fosse una costante non avrei un sistema di 2 equazioni in 3 incognite ? Mi mancherebbe una equazione.

RenzoDF

3 lug 2019, 06:51

"dRic":
... In particolare le due equazioni altro non sono che la conservazione della corrente scritta per il nodo Tf e Tc, giusto ?

Diciamo della "conservazione della carica", ma non capisco perché tu non le voglia considerarle corrispondenti all'applicazione del principio di Kirchhoff ai nodi, che spero tu conosca.

"dRic":
... Mi rimane un po ' arduo da capire il concetto di potenziale di riferimento ... Non capisco la possibilità di scegliere il potenziale zero come arbitrario.

Il potenziale, come ben sai, è definito a meno di una costante, cambiando la quale nulla cambia nel circuito, visto che per il suo regime sono importanti solo le differenze di potenziale, invarianti rispetto a quella costante; questo avviene anche
in geofisica, scegliendo una altezza nulla associata al livello del mare, oppure in termodinamica, scegliendo il punto di riferimento a zero gradi (per i $\text{ }^\circ \text{C}$ o $\text{K}$ ).
Nel caso particolare in oggetto Gmardar Pantaloni per "convenienza" assumere come riferimento per $T$ quello indicato con $T_{\text{in}}$ che, nel caso $T$ corrisponda alla temperatura, potrebbe corrispondere alla temperatura ambiente. Nei circuiti elettrici normalmente si assume come potenziale di riferimento a zero volt quello di un "conveniente" punto del circuito, ma nulla vieta di sceglierlo pari ad un qualsiasi altro valore.

"dRic":
... Io semplicemente avrei sommato le due equazioni differenziali e mi sarei ricavato la seguente equazione differenziale (la scrivo già in forma "elettrica"):

Non capisco perché mai dovresti andare a sommarle, quel sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle variabili $T_c$ e $T_f$ è chiaro che dovrà essere risolto [nota]Passando per una equazione differenziale del secondo ordine, oppure dalla descrizione matriciale del sistema (autovalori ecc.).[/nota], al fine di determinare le funzioni del tempo $T_c(t)$ e $T_f\ (t)$.

"dRic":
... Inoltre non ho ben capito questo:
[quote="RenzoDF"]
Che, diversamente da Tc e da Tf dovrà essere una costante, altrimenti l'analogia non regge (lascio a te capire perché).

Se Tin non fosse una costante non avrei un sistema di 2 equazioni in 3 incognite ? Mi mancherebbe una equazione.[/quote]
Certo, se Tin non fosse costante, non potremmo inoltre semplificare le correnti capacitive nel seguente modo

$\frac{\text{d}(T_f-T_{\text{in}})}{\text{d}t}=\frac{\text{d}T_f}{\text{d}t}$

$\frac{\text{d}(T_c-T_{\text{in}})}{\text{d}t}=\frac{\text{d}T_c}{\text{d}t}$

e quindi quel circuito non sarebbe più equivalente a quel sistema di equazioni differenziali.

dRic

3 lug 2019, 17:26

Grazie mille, ora ho finalmente le idee abbastanza chiare. Proverò a fare altri equivalenti elettrici per vedere se ho afferrato il concetto!

"RenzoDF":

Non capisco perché mai dovresti andare a sommarle, quel sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle variabili Tc e Tf è chiaro che dovrà essere risolto1, al fine di determinare le funzioni del tempo Tc(t) e Tf (t).

Questo perché non avevo ben capito il discorso del potenziale di riferimento.

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