Equipartizione dell'energia
La distribuzione di Boltzmann, che mi dà il numero di particelle nell'intervallo $dE$ per un gas all'equilibrio a temperatura $T$, è $dn(E)=Ae^(-E/(kT))dE$. Se io voglio trovare l'energia media, faccio energia totale su numero di particelle, cioè sommo tutte le energie di tutte le particelle e poi divido per il numero totale di particelle
$(int_0^{+infty} Edn(E))/(int_0^{+infty} dn(E)) = (int_0^{+infty} Ee^(-E/(kT))dE)/(int_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE) = kT$
ma questo non è in contrasto con l'equipartizione dell'energia, che per l'energia media di un gas monoatomico ad esempio mi dà $3/2kT$?
$(int_0^{+infty} Edn(E))/(int_0^{+infty} dn(E)) = (int_0^{+infty} Ee^(-E/(kT))dE)/(int_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE) = kT$
ma questo non è in contrasto con l'equipartizione dell'energia, che per l'energia media di un gas monoatomico ad esempio mi dà $3/2kT$?
Risposte
La popolazione di un livello energetico è proporzionale a $e^{-E/{kT}}$. Con il segno da te scelto inverti le popolazioni (e gli integrali che hai scritto divergono). Correggendo il segno, in pratica hai introdotto una funzione di partizione $Z=\int e^{-\beta E} dE$, ed hai ottenuto la relazione nota $<< E >> =-\frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z$ (problemi con parentesi angolari risolti, thanx Dissonance), dove $\beta=1/{kT}$. Come tiri fuori $<< E >> = kT$ da questo?
Le parentesi angolari in ASCIIMathML si scrivono con << e >>:
\$ << E >> \$ ---> $ << E >>$.
Invece in MathJax si usano \langle e \rangle:
\"(" \langle E \rangle \")" ---> \(\langle E \rangle\).
Buon proseguimento!
\$ << E >> \$ ---> $ << E >>$.
Invece in MathJax si usano \langle e \rangle:
\"(" \langle E \rangle \")" ---> \(\langle E \rangle\).
Buon proseguimento!
"falseaccuse":
La distribuzione di Boltzmann, che mi dà il numero di particelle nell'intervallo $dE$ per un gas all'equilibrio a temperatura $T$, è $dn(E)=Ae^(E/(kT))dE$ ...
Al di là del segno sbagliato all'esponente, probabilmente un errore di distrazione, chi ti dice che $[A]$ non possa dipendere da $[E]$?
Ho corretto il segno, lo avevo dimenticato. A non dipende da E, sicuramente: come ha detto Cmax, è l'inverso della funzione di partizione, che non dipende dall'energia.
Integro per parti
$int_0^{+infty} Ee^(-E/(kT))dE = (-kTEe^(-E/(kT)))_0^{+infty} + kTint_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE = kTint_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE$
quindi il rapporto con $int_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE$ dà proprio $kT$
"Cmax":
Come tiri fuori $<< E >> = kT$ da questo?
Integro per parti
$int_0^{+infty} Ee^(-E/(kT))dE = (-kTEe^(-E/(kT)))_0^{+infty} + kTint_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE = kTint_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE$
quindi il rapporto con $int_0^{+infty} e^(-E/(kT))dE$ dà proprio $kT$
Oppure, usando il metodo della funzione di partizione $<< E >> =-\frac{\partial}{\partial \beta} \ln int e^{-\beta E} dE = - 1/(int e^{-\beta E} dE) \frac{\partial}{\partial \beta} int e^{-\beta E} dE $ con $\frac{\partial}{\partial \beta} int e^{-\beta E} dE = - int Ee^{-\beta E} dE$ che porta alla stessa cosa di prima
"falseaccuse":
A non dipende da E ...
Se con $[A]$ intendi il fattore che moltiplica $[e^(-E/(kT))]$ ti sbagli.
"speculor":
[quote="falseaccuse"]
A non dipende da E ...
Se con $[A]$ intendi il fattore che moltiplica $[e^(-E/(kT))]$ ti sbagli.[/quote]
In MQ A è la densità degli stati, che può dipendere dall'energia in vari modi: ad esempio, per un gas di elettroni in un metallo va come $E^(1/2)$. Ma io mi riferivo ad un gas classico
Classicamente, per una sigola particella:
$[p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+p_z^2/(2m)<=E] rarr [p_x^2+p_y^2+p_z^2<=2mE] rarr [\Gamma(E)=4/3\piV(2mE)^(3/2)] rarr$
$rarr [g(E)=(d\Gamma(E))/(dE)=4\piVm(2mE)^(1/2)=4sqrt2\piVm^(3/2)E^(1/2)]$
$[p_x^2/(2m)+p_y^2/(2m)+p_z^2/(2m)<=E] rarr [p_x^2+p_y^2+p_z^2<=2mE] rarr [\Gamma(E)=4/3\piV(2mE)^(3/2)] rarr$
$rarr [g(E)=(d\Gamma(E))/(dE)=4\piVm(2mE)^(1/2)=4sqrt2\piVm^(3/2)E^(1/2)]$
e $g(E)$ moltiplica la distribuzione di Boltzmann? Scusa, ma sto imparando la meccanica statistica da autodidatta
Dovrebbe tornare con qualcosa del tipo $[AsqrtEe^(-E/(kT))]$. Prova a svolgere l'integrale, se non riesci ti posto tutti i passaggi. Purtroppo ho sostenuto l'esame quasi venti anni or sono. Il nostro testo di riferimento era il Huang. Se posso darti un consiglio, io seguirei il suo approccio piuttosto rigoroso. Questo argomento lo trovi nei primi capitoli, con un taglio che risulta piuttosto utile nel passaggio alla teoria quantistica. A proposito, devi sostenere un esame?
Statistical Mechanics dici? Ci ho dato un'occhiata, ma mi pare che lui la densità di stati la metta uguale a uno, poi non so devo guardare un po' meglio. Intanto ho trovato questa dispensa che un po' mi ha chiarito le idee http://www.robertosoldati.com/filepdf/d ... a/cap0.pdf
Con la densità che ti ho indicato:
$[barE=(\int_{0}^{+oo}EAsqrtEe^(-E/(kT))dE)/(\int_{0}^{+oo}AsqrtEe^(-E/(kT))dE)] rarr [barE=(\int_{0}^{+oo}EsqrtEe^(-E/(kT))dE)/(\int_{0}^{+oo}sqrtEe^(-E/(kT))dE)]$
Integrando mediante la sostituzione:
$[sqrtE=x] rarr [1/(2sqrtE)dE=dx] rarr [dE=2xdx]$
si ottiene la seguente espressione:
$[barE=(\int_{0}^{+oo}2x^4e^(-x^2/(kT))dx)/(\int_{0}^{+oo}2x^2e^(-x^2/(kT))dx)] rarr [barE=(\int_{0}^{+oo}x^4e^(-x^2/(kT))dx)/(\int_{0}^{+oo}x^2e^(-x^2/(kT))dx)]$
Utilizzando i seguenti integrali gaussiani noti:
$[\int_{0}^{+oo}x^4e^(-ax^2)dx=3/8sqrt(pi/a^5)] ^^ [\int_{0}^{+oo}x^2e^(-ax^2)dx=1/4sqrt(pi/a^3)]$
si arriva al risultato desiderato:
$[barE=(3/8sqrt(pik^5T^5))/(1/4sqrt(pik^3T^3))] rarr [barE=3/2kT]$
A proposito, il libro è quello. Il gas perfetto classico è trattato determinando l'entropia nell'ambito dell'insieme microcanonico. Non devi stupirti se ti capita di trovare approcci diversi. Il mio consiglio, soprattutto se devi studiare la materia rigorosamente, non cambia. Ovviamente il libro è ostico.
$[barE=(\int_{0}^{+oo}EAsqrtEe^(-E/(kT))dE)/(\int_{0}^{+oo}AsqrtEe^(-E/(kT))dE)] rarr [barE=(\int_{0}^{+oo}EsqrtEe^(-E/(kT))dE)/(\int_{0}^{+oo}sqrtEe^(-E/(kT))dE)]$
Integrando mediante la sostituzione:
$[sqrtE=x] rarr [1/(2sqrtE)dE=dx] rarr [dE=2xdx]$
si ottiene la seguente espressione:
$[barE=(\int_{0}^{+oo}2x^4e^(-x^2/(kT))dx)/(\int_{0}^{+oo}2x^2e^(-x^2/(kT))dx)] rarr [barE=(\int_{0}^{+oo}x^4e^(-x^2/(kT))dx)/(\int_{0}^{+oo}x^2e^(-x^2/(kT))dx)]$
Utilizzando i seguenti integrali gaussiani noti:
$[\int_{0}^{+oo}x^4e^(-ax^2)dx=3/8sqrt(pi/a^5)] ^^ [\int_{0}^{+oo}x^2e^(-ax^2)dx=1/4sqrt(pi/a^3)]$
si arriva al risultato desiderato:
$[barE=(3/8sqrt(pik^5T^5))/(1/4sqrt(pik^3T^3))] rarr [barE=3/2kT]$
A proposito, il libro è quello. Il gas perfetto classico è trattato determinando l'entropia nell'ambito dell'insieme microcanonico. Non devi stupirti se ti capita di trovare approcci diversi. Il mio consiglio, soprattutto se devi studiare la materia rigorosamente, non cambia. Ovviamente il libro è ostico.
Scusa, ho scritto veramente male l'integrale (e nemmeno me ne sono reso conto: ma dove ho la testa?). Il dominio d'integrazione ė sullo spazio delle fasi, non sull'energia.
Per rifarmi ad una famosa citazione, capisci quello che voglio dire, non quello che dico ...
Per rifarmi ad una famosa citazione, capisci quello che voglio dire, non quello che dico ...
"Cmax":
Scusa, ho scritto veramente male l'integrale (e nemmeno me ne sono reso conto: ma dove ho la testa?). Il dominio d'integrazione ė sullo spazio delle fasi, non sull'energia.
Per rifarmi ad una famosa citazione, capisci quello che voglio dire, non quello che dico ...
si ma avevo capito
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