Equilibrio statico fluidi
Salve, ho un problema con questo esercizio:
In un bicchiere di raggio $R_2$ parzialmente pieno d'acqua per un'altezza $H$ è immerso (parzialmente) un altro bicchiere vuoto di raggio $R_1$, massa $m$ e altezza $h$ e viene raggiunto l'equilibrio. I 2 bicchieri hanno lo stesso spessore $s$; le densità di acqua $\rho_(vetro)$ e acqua $\rho_(acqua)$ sono note. Determinare il livello finale dell'acqua.
Io ho fatto così:
$F_g = F_a$
$F_g = m*g = \rho_(vetro) * (\pi * R_1^2 * h)*g$
$F_a = (m_(H2O))*g = \rho_(acqua) * (\pi * R_1^2 * \Deltah)*g$
$\Deltah = ((\rho_(vetro)) / (\rho_(acqua))) * h$
E' sbagliato? Ci sono altri modi? Grazie
In un bicchiere di raggio $R_2$ parzialmente pieno d'acqua per un'altezza $H$ è immerso (parzialmente) un altro bicchiere vuoto di raggio $R_1$, massa $m$ e altezza $h$ e viene raggiunto l'equilibrio. I 2 bicchieri hanno lo stesso spessore $s$; le densità di acqua $\rho_(vetro)$ e acqua $\rho_(acqua)$ sono note. Determinare il livello finale dell'acqua.
Io ho fatto così:
$F_g = F_a$
$F_g = m*g = \rho_(vetro) * (\pi * R_1^2 * h)*g$
$F_a = (m_(H2O))*g = \rho_(acqua) * (\pi * R_1^2 * \Deltah)*g$
$\Deltah = ((\rho_(vetro)) / (\rho_(acqua))) * h$
E' sbagliato? Ci sono altri modi? Grazie
Risposte
Il problema pare molto più complicato di come lo semplifichi tu.
Occorre considerare che il bicchiere immerso è vuoto, mentre tu calcoli come se fosse fatto di vetro pieno. Se fosse di vetro pieno il bicchiere affonderebbe, perché sarebbe più pesante dell'acqua che sposta.
Il peso del bicchiere è dato dal peso della sua superficie laterale (e qui occorre usare lo spessore s) più il peso del fondo, che nessuno dice quanto sia spesso, ma la cui massa si può determinare per differenza tra la massa totale m e la massa della superficie laterale. E anche così facendo, il calcolo si può fare solo approssimato nel caso in cui s sia molto minore di R1.
Occorre considerare che il bicchiere immerso è vuoto, mentre tu calcoli come se fosse fatto di vetro pieno. Se fosse di vetro pieno il bicchiere affonderebbe, perché sarebbe più pesante dell'acqua che sposta.
Il peso del bicchiere è dato dal peso della sua superficie laterale (e qui occorre usare lo spessore s) più il peso del fondo, che nessuno dice quanto sia spesso, ma la cui massa si può determinare per differenza tra la massa totale m e la massa della superficie laterale. E anche così facendo, il calcolo si può fare solo approssimato nel caso in cui s sia molto minore di R1.
quindi avrei dovuto fare:
$F_g = \rho_(vetro) * (\pi * R_1^2 * h - \pi * (R_1 -s)^2 * (h-s)) *g$
$F_a = \rho_(acqua) * (\pi * R_1^2 * \Deltah)*g$
$\Deltah = (\rho_(vetro) / \rho_(acqua)) * ((\pi * R_1^2 * h - \pi * (R_1 -s)^2 * (h-s)) / (\pi * R_1^2))$
lo spessore $s$ è uniforme su tutto il bicchiere
scrivi qualche calcolo sennò non ci si capisce
$F_g = \rho_(vetro) * (\pi * R_1^2 * h - \pi * (R_1 -s)^2 * (h-s)) *g$
$F_a = \rho_(acqua) * (\pi * R_1^2 * \Deltah)*g$
$\Deltah = (\rho_(vetro) / \rho_(acqua)) * ((\pi * R_1^2 * h - \pi * (R_1 -s)^2 * (h-s)) / (\pi * R_1^2))$
lo spessore $s$ è uniforme su tutto il bicchiere
scrivi qualche calcolo sennò non ci si capisce
Mi pare stiate inutilmente complicando un problema che non lo è.
In un recipiente sufficientemente capiente e contenente acqua q.b. immergo un oggetto, di quanto si alza il livello dell'acqua se l'oggetto galleggia? Di quanto si alzerebbe se avessi aggiunto una massa d'acqua pari a quella dell'oggetto. Quindi:
$ \Delta H=m/(\pi \cdot R_3^2 \cdot \rho_{acqua}) $; dove $ R_3=R_2-s $ è il raggio interno del bicchiere grande.
Ciao
B.
In un recipiente sufficientemente capiente e contenente acqua q.b. immergo un oggetto, di quanto si alza il livello dell'acqua se l'oggetto galleggia? Di quanto si alzerebbe se avessi aggiunto una massa d'acqua pari a quella dell'oggetto. Quindi:
$ \Delta H=m/(\pi \cdot R_3^2 \cdot \rho_{acqua}) $; dove $ R_3=R_2-s $ è il raggio interno del bicchiere grande.
Ciao
B.
"orsoulx":
Mi pare stiate inutilmente complicando un problema
La tua soluzione è giusta, ammesso che sia vero il tuo "q.b." e che il bicchiere interno abbia caratteristiche geometriche tali da non sprofondare del tutto.
Ma a che servono allora il dato della densità del vetro e l'altezza h del bicchiere interno? Forse chi propone l'esercizio vorrebbe che venisse discussa la soluzione anche in casi non così ovvi? Oppure semplicemente ha messo dati sovrabbondanti solo per confondere le idee? In questa seconda ipotesi l'autore si guadagna una nota di demerito.
ma nella mia soluzione utilizzo sia $\rho_(vetro)$ che $h$ quindi nella mia soluzione il dato sovrabbondante sarebbe $R_2$. Nella soluzione di orsoul invece c'è $R_2$ ma non ci sono $\rho_(vetro)$ e $h$. Evidentemente il problema dava la possibilità di essere svolto in più modi. Cmq grazie orsoul, una risposta sintetica e efficace senza tanti giri di parole
"Boomer hxh":
ma nella mia soluzione utilizzo sia $\rho_(vetro)$ che $h$ quindi nella mia soluzione il dato sovrabbondante sarebbe $R_2$. Nella soluzione di orsoul invece c'è $R_2$ ma non ci sono $\rho_(vetro)$ e $h$. Evidentemente il problema dava la possibilità di essere svolto in più modi. Cmq grazie orsoul, una risposta sintetica e efficace senza tanti giri di parole
Il fatto è che tu non hai risposto alla domanda, che chiedeva l'incremento di altezza dell'acqua prima e dopo l'inserimento del bicchiere.
Tu calcolavi la differenza di altezza tra il pelo dell'acqua e il fondo del bicchiere, cosa che non era richiesta.
No, io chiedevo di determinare il livello finale dell'acqua, quindi $H_(i) + \Deltah$; cmq io ho trovato $\Deltah$ ossia di quanto incrementa il livello dell'acqua.
"Boomer hxh":
Evidentemente il problema dava la possibilità di essere svolto in più modi. Cmq grazie orsoul, una risposta sintetica e efficace senza tanti giri di parole
Prego, ma non è necessario ringraziare. La soluzione non può prescindere da $ R_2 $: più la superficie libera del fluido è estesa e meno aumenterà il livello del medesimo.
"Falco5x":
... l'autore si guadagna una nota di demerito.
La domanda potrebbe far parte di una batteria in cui compaiono altre richieste tipo: "di quanto emerge il secondo bicchiere?", "di quanto varia l'altezza del fluido, se il bicchiere affonda?, ecc.
Comunque io auspicherei problemi in cui compaiono dati 'superflui', eccedenti quelli strettamente necessari per giungere alla soluzione.
Ciao
B.
@Falco5x:
[ot]Ho seguito, con un misto di incazzatura e divertimento, la discussione sulla relatività cui partecipavi; ti faccio tanti complimenti per l'autocontrollo che hai mostrato.[/ot]
"Boomer hxh":
No, io chiedevo di determinare il livello finale dell'acqua, quindi $H_(i) + \Deltah$; cmq io ho trovato $\Deltah$ ossia di quanto incrementa il livello dell'acqua.
Attento, ti faccio notare che non è come dici. Infatti la tua soluzione prescinde da R2, mentre quella di orsoulx dipende strettamente da R2. E infatti è giusto il calcolo di orsoulx. La tua soluzione determina un delta h che non va sommato alla H iniziale per dare la H finale. Prendi ad esempio il caso che la tazza che fa da contenitore fosse grande come il mare. L'immersione del bicchiere darebbe comunque luogo a un delta h come tu hai calcolato, ma il livello del mare non si alzerebbe di un millimetro. In realtà la grandezza della tazza che fa da contenitore è invece fondamentale per rispondere correttamente alla domanda.
ok ho capito
"orsoulx":
Comunque io auspicherei problemi in cui compaiono dati 'superflui', eccedenti quelli strettamente necessari per giungere alla soluzione.
Mi permetto di non essere d'accordo con te. L'essenzialità dei dati secondo me è una garanzia che chi ha proposto il problema abbia scritto il testo in modo inequivocabile. Ci sono troppi casi di esercizi scritti male, con errori, con testi ambigui dall'interpretazione dubbia. Scrivere un buon testo non è tanto facile, evidentemente, e dunque chi lo fa deve dare la sensazione, anche con la non sovrabbondanza dei dati, a chi lo sta leggendo che sta interpretando correttamente il testo e i quesiti che esso pone.
@orsoulx
[ot]
"orsoulx":
@Falco5x:
Ho seguito, con un misto di incazzatura e divertimento, la discussione sulla relatività cui partecipavi; ti faccio tanti complimenti per l'autocontrollo che hai mostrato.
Ti ringrazio. Ormai ho raggiunto la convinzione che la relatività sia qui un argomento pericoloso, dunque d'ora in poi limiterò proprio al minimo i miei commenti quando ricomparirà (e periodicamente ricompare).
In generale, e senza riferimenti a qualche discussione o a qualche utente di questo forum in particolare, io penso che sia un argomento pericoloso perché si tratta di qualcosa che nell'esperienza comune di tutti i giorni non è facilmente verificabile, come potrebbe invece esserlo la meccanica classica, dunque si presta alle più fantasiose interpretazioni da parte di opinionisti non sempre attrezzati con i corretti strumenti teorici necessari per affrontarla.[/ot]
"Falco5x":
Mi permetto di non essere d'accordo con te
Devi permetterti. Dal confronto (aperto e con spirito collaborativo) di opinioni diverse, possono nascere idee interessanti.
Concordo pienamente sulla pessima deriva della precisione linguistica nella formulazione delle richieste; ma non credo che, per ovviare a questo malcostume, serva più di tanto l'essenzialità dei dati forniti.
Ti faccio un esempio, questo è il testo completo di una domanda, cui ho provato a rispondere sabato scorso:
"Per x=1 e no per x=3/2.
Quale metodo posso adottare per risolvere esercizi di questo tipo?"
Ah! Il titolo era: "Trovare una serie di potenza" (sic).
Ti assicuro che i dati si sono rivelati tutti indispensabili.
Dati appena sufficiente alla risoluzione mi possono andar bene se l'obiettivo dell'esercizio è, unicamente, controllare/autocontrollare l'assimilazione delle nozioni. Lo scopo di un problema potrebbe, però, esser anche abituare lo studente ad affrontare problemi reali, dove le misure necessarie non te le fornisce nessuno.
Ciao
B.
Non volevo aprire una diatriba di questo tipo, mi interessava capire come risolvere l'esercizio. Cmq il testo è di un compito d'esame, la sovrabbondanza di dati è tipica del professore. Penso sia inutile discutere di questo quì, il mio problema è stato risolto.
"Boomer hxh":
Non volevo aprire una diatriba di questo tipo,
Non devi preoccuparti. Conosco, attraverso la lettura dei suoi interventi, sempre precisi, pacati ed illuminanti, Falco5x abbastanza bene da esser certo che, come me, non ha alcuna intenzione di aprire diatribe. Si discuteva, ne convengo un po' fuori tema, dell'importanza e dell'opportunità di fornire in un esercizio/problema solo i dati strettamente necessari alla sua soluzione.
Ciao
B.
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