Equilibrio rotazione moto laminare
Salve a tutti!!
Suppongo di considerare un fluido viscoso compreso tra due piani paralleli distanti [tex]h[/tex], il cui mobile (superiore) abbia velocità solo lungo lungo [tex]x[/tex] pari a [tex]U[/tex]. Suppongo che non vi siano gradienti di pressione e quindi che il gradiente di velocità [tex]du/dy[/tex] sia lineare (vedi figura).
Se prendo un elemento di fluido infinitesimo [tex]dxdy*1[/tex] (un parallelepipedo che proiettato sugli assi xy è un quadrato) dove [tex]1[/tex] sta ad indicare la dimensione lungo [tex]z[/tex] che suppongo non rilevante (cioè suppongo che i due piani fisso e mobile abbiano una dimensione infinita lungo l'asse z, per cui considero il problema come piano), e supponendo che questo abbia velocità solo lungo [tex]x[/tex] cioè [tex]u[/tex] su questo elemento agirà uno sforzo [tex]\tau_xy[/tex] sulla faccia superiore [tex]dx*1[/tex] e uno sforzo -[tex]\tau_xy[/tex] sulla faccia inferiore [tex]dx*1[/tex]. Supponendo che non vi siano gradienti di pressione in nessuna direzione (il gradiente di velocità è lineare), su ogni faccia agirà una pressione la cui forza di pressione avrà retta d'azione passante per il baricentro dell'elementino.
Ora per l'equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale non ho alcun problema, mentre i problemi nascono con l'equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro G dell'elementino, in quanto i due sforzi [tex]\tau_xy[/tex] e [tex]-\tau_xy[/tex] formano una coppia di momento non nullo che tende a far ruotare l'elemento fluido. Come lo si spiega questo paradosso? Qui sotto c'è l'immagine ovviamente.
Suppongo di considerare un fluido viscoso compreso tra due piani paralleli distanti [tex]h[/tex], il cui mobile (superiore) abbia velocità solo lungo lungo [tex]x[/tex] pari a [tex]U[/tex]. Suppongo che non vi siano gradienti di pressione e quindi che il gradiente di velocità [tex]du/dy[/tex] sia lineare (vedi figura).
Se prendo un elemento di fluido infinitesimo [tex]dxdy*1[/tex] (un parallelepipedo che proiettato sugli assi xy è un quadrato) dove [tex]1[/tex] sta ad indicare la dimensione lungo [tex]z[/tex] che suppongo non rilevante (cioè suppongo che i due piani fisso e mobile abbiano una dimensione infinita lungo l'asse z, per cui considero il problema come piano), e supponendo che questo abbia velocità solo lungo [tex]x[/tex] cioè [tex]u[/tex] su questo elemento agirà uno sforzo [tex]\tau_xy[/tex] sulla faccia superiore [tex]dx*1[/tex] e uno sforzo -[tex]\tau_xy[/tex] sulla faccia inferiore [tex]dx*1[/tex]. Supponendo che non vi siano gradienti di pressione in nessuna direzione (il gradiente di velocità è lineare), su ogni faccia agirà una pressione la cui forza di pressione avrà retta d'azione passante per il baricentro dell'elementino.
Ora per l'equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale non ho alcun problema, mentre i problemi nascono con l'equilibrio alla rotazione rispetto al baricentro G dell'elementino, in quanto i due sforzi [tex]\tau_xy[/tex] e [tex]-\tau_xy[/tex] formano una coppia di momento non nullo che tende a far ruotare l'elemento fluido. Come lo si spiega questo paradosso? Qui sotto c'è l'immagine ovviamente.
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