Equilibrio molla appesa soffitto
Scusate se il problema è estremamente banale, ma non capisco dove sbaglio.
Ho una molla di lunghezza a riposo L e costante elastica K attaccata al soffitto con una massa m appesa all'estremita, il sistema è vincolato a muoversi in verticale, voglio trovare a quale distanza dal soffitto si trova la posizione di equilibrio del sistema.
allora posso semplicemente uguagliare le forze per cui:
K(x-L)= mg --> x= L+mg/K.
però ho pensato di risolverlo anche considerando la conservazione dell'energia. La forza peso è l'unica che agisce ed è conservativa, dunque la variazione di energia potenziale gravitazionale deve essere uguale all'energia potenziale elastica che si accumula nella molla no? quindi:
$1/2 K(x-L)^2 = -mg(x-L)$ per risolverla ho posto $x-L=t$ e mi viene come soluzione $x=L$ che non considero, e $x=L-2mg/k$
che è diverso dal risultato trovato con le forze.. cosa sbaglio?
Ho una molla di lunghezza a riposo L e costante elastica K attaccata al soffitto con una massa m appesa all'estremita, il sistema è vincolato a muoversi in verticale, voglio trovare a quale distanza dal soffitto si trova la posizione di equilibrio del sistema.
allora posso semplicemente uguagliare le forze per cui:
K(x-L)= mg --> x= L+mg/K.
però ho pensato di risolverlo anche considerando la conservazione dell'energia. La forza peso è l'unica che agisce ed è conservativa, dunque la variazione di energia potenziale gravitazionale deve essere uguale all'energia potenziale elastica che si accumula nella molla no? quindi:
$1/2 K(x-L)^2 = -mg(x-L)$ per risolverla ho posto $x-L=t$ e mi viene come soluzione $x=L$ che non considero, e $x=L-2mg/k$
che è diverso dal risultato trovato con le forze.. cosa sbaglio?
Risposte
"alice88":
Scusate se il problema è estremamente banale, ma non capisco dove sbaglio.
Ho una molla di lunghezza a riposo L e costante elastica K attaccata al soffitto con una massa m appesa all'estremita, il sistema è vincolato a muoversi in verticale, voglio trovare a quale distanza dal soffitto si trova la posizione di equilibrio del sistema.
allora posso semplicemente uguagliare le forze per cui:
K(x-L)= mg --> x= L+mg/K.
però ho pensato di risolverlo anche considerando la conservazione dell'energia. La forza peso è l'unica che agisce ed è conservativa, dunque la variazione di energia potenziale gravitazionale deve essere uguale all'energia potenziale elastica che si accumula nella molla no? quindi:
$1/2 K(x-L)^2 = -mg(x-L)$ per risolverla ho posto $x-L=t$ e mi viene come soluzione $x=L$ che non considero, e $x=L-2mg/k$
che è diverso dal risultato trovato con le forze.. cosa sbaglio?
Attenta, sbagli perche' hai fatto un po' di confusione.
L'equazione che scrivi e' valida per ogni punto in cui la velocita' e' nulla. Nella fattispecie, per esempio, perche' ignori x=0???. quella sarebbe una soluzione perfettamente accettabile, eppure tu non la consideri. Sulla scorta di quali considerazioni?
Il fatto e' che tu stai cercando una posizione di equilibrio: allora devi prendere l'equzaione che hai scritto tu (non ho controllato i segni, mi fido che sia giusta). La derivi per trovare dove U e' minimo (o massimo), cioe' imponi $dU/dx=0$.
Poi risolvi e quelli sono i punti di equilibrio. La derivata seconda ti dice anche se sono di equilibrio stabile o instabile.
D'altra parte, hai scritto tu stessa: "dunque la variazione di energia potenziale gravitazionale..............". poi pero' non hai scritto LA VARIAZIONE, ma hai scritto l'energia potenziale e l'hai eguagliata alla quella elastica.
Complimenti, pero'. Ci sono poche persone in questo sito che ragionano criticamente come hai fatto tu e non si limitano af applicare le formulette, ma vanno oltre, come hai fatto tu. Queste persone meritano tutto l'aiuto possibile, quindi, quando vuoi, scrivi i tuoi dubbi, c'e' un sacco di ragazzi preparati pronti a darti una mano.
intanto grazie della risposta, però continuo a fare confusione. Non so se ho capito bene il metodo della derivata perchè non mi tornano i segni.. Nei punti a velocità nulla l'energia totale sarà quella potenziale gravitazionale più quella potenziale elastica cioè $U=mgx+1/2m(x-L)^2$, ma se derivo e cerco il minimo mi viene $x=L-mg/k$ mentre con le forze ottenevo $x=L+mg/k$ e in effetti non ha senso che mi venga un meno perchè la molla si deve allungare... e a drila tutta non mi torna nemmeno che venga una soluzione sola, me ne aspettavo due, una nell'allungamento in basso, e una per quando ritorna su e raggiunge l'altezza massima.. Tornando al mio precedente ragionamento continuo a non capire anche li cosa sia sbagliato; Io considero i due punti dove la velocità è nulla, cioè il punto iniziale L dove ha all'inizio solo energia potenziale $mgL$ e il punto finale x dove ha energia potenziale gravitazionale $mgx$ ed elstica $1/2k(x-L)^2$, poichè l'energia si conserva imponendo l'uguaglianza tra x ed L avrò, $mgL= mgx+1/2k(x-L)^2$ da cui $1/2k(x-L)^2=-mg(x-L)$ dove $mg(x-L)$ è appunto la VARIAZIONE di energia potenziale gravitazionale tra i due punti..
x=L ho scritto che non lo considero perchè lo interpreto come 0=0 ovvero quando non essendoci allungamento non c'è nessuna variazione di energia ne gravitazionale ne elastica.
spero che ci sia qualcuno paziente capace di illuminarmi ^_^
x=L ho scritto che non lo considero perchè lo interpreto come 0=0 ovvero quando non essendoci allungamento non c'è nessuna variazione di energia ne gravitazionale ne elastica.
spero che ci sia qualcuno paziente capace di illuminarmi ^_^
"alice88":
intanto grazie della risposta, però continuo a fare confusione. Non so se ho capito bene il metodo della derivata perchè non mi tornano i segni.. Nei punti a velocità nulla l'energia totale sarà quella potenziale gravitazionale più quella potenziale elastica cioè $U=mgx+1/2m(x-L)^2$, ma se derivo e cerco il minimo mi viene $x=L-mg/k$ mentre con le forze ottenevo $x=L+mg/k$ e in effetti non ha senso che mi venga un meno perchè la molla si deve allungare... e a drila tutta non mi torna nemmeno che venga una soluzione sola, me ne aspettavo due, una nell'allungamento in basso, e una per quando ritorna su e raggiunge l'altezza massima.. Tornando al mio precedente ragionamento continuo a non capire anche li cosa sia sbagliato; Io considero i due punti dove la velocità è nulla, cioè il punto iniziale L dove ha all'inizio solo energia potenziale $mgL$ e il punto finale x dove ha energia potenziale gravitazionale $mgx$ ed elstica $1/2k(x-L)^2$, poichè l'energia si conserva imponendo l'uguaglianza tra x ed L avrò, $mgL= mgx+1/2k(x-L)^2$ da cui $1/2k(x-L)^2=-mg(x-L)$ dove $mg(x-L)$ è appunto la VARIAZIONE di energia potenziale gravitazionale tra i due punti..
x=L ho scritto che non lo considero perchè lo interpreto come 0=0 ovvero quando non essendoci allungamento non c'è nessuna variazione di energia ne gravitazionale ne elastica.
spero che ci sia qualcuno paziente capace di illuminarmi ^_^
Allora, cerco di illuminarti dalla Spagna.
Perdonami se non considero le tue equazioni. dovrei verificare segni e sistemi di riferimento. cerchero' di farmi perdonare indicandoti il metodo da seguire (si applica sempre). vediamo i due metodi da te usati.
Equilibrio delle forze:
sistema di riferimento orientato verso il basso, origine nel soffitto.
La molla si allunga di x, e l'estremita raggiunge quindi un punto a coordinata $(L+x)$. qunidi la forza, orientata verso l'alto e negativa, della molla e'
$F=-k(x+L-L)=-kx$
il peso e' $P=mg$.
la somma di queste forze e' nulla, quindi $-kx+mg=0$ da cui si ottiene $x=mg/k$. La distanza dal soffitto e' ovviamente $mg/k+L$ (ricordati che x e' l'allungamneto dalla posizione di equilibrio.
Questo e' il mprocedimento che hai seguito tu (ma tu hai chiamato x l'allungamento totale della molla, contato dal soffitto, quindi, giustamente, hai scritto $-k(x-L)+mg=0$ da cui ti e/ venuto$x=mg/k+L$. E' solo una questione di sistema di riferimento. Io mi trovo meglio a chiamare x l'allungamento della molla a partire dal punto di riposo, tu preferisci chiamare x l'allungamento della molla a partire dal soffitto.
secondo metodo.
Prendiamo, visto che io sono piu' bello di te, il sistema di riferimento come piace a me. Io, per gusto, lo prendo nel punto in cui la molla e' a riposo.
Quando la molla si allunga verso il basso, la sua energia e': $U_m=1/2kx^2$. Attenzione, e' SEMPRE positiva: la molla e' sempre in grado di cedere energia quando caricata a trazione o a compressione.
Invece l' $E_p$ gravitazionale della sfera e': $-mgx$: la sfera e' scesa, quindi $E_p$ diminuisce, poiche ci vorrebbe un lavoro negativo (quindi fornito ALLA pallina) per riportarla a U=0.
quindi l'energia totale e' $U=1/2kx^2-mgx$.
Per trovare il punto di equilibrio (che e' unico, non te ne devi apsettare 2, perche' ti e' venuto quel dubbio? le equazioni delle forze te ne danno uno di punto di equilibrio!) devi imporre che $dU/dx=0$.
ti rendi subito conto che $dU/dx=kx-mg$ che ti fa tornare il valore $x=mg/k$. siccome io, in qualita' di George Clooney dei fisici avevo scelto il mio sistema a partire dalla posizione a riposo della molla, la distanza dal soffitto e' $L+mg/k$.
Adesso supponiamo che tu sia piu' bella di me, (per assurdo...), e prendiamo il sistema di riferimento come piace a te (a partire dal soffitto, cioe' dall'estremita' murata della molla).
La molla si allunga di x in quel caso, a cui va sottratta la lunghezza a riposo della molla L. Ente, l'energia elastica e'
$=1/2k(x-L)^2$.
L'energia potenziale ora vale $-mgx$.
$U = 1/2k(x-L)^2-mgx$
DI NUOVO DERIVI, imponi =0 e ottieni $x=L+mg/k$.
Per finire: se derivi due volte, trovi che $d^2U/dt^2=k$ che e' sempre >0. quindi il punto di equilibrio $x=L+mg/k$ e' un punto di equilibrio stabile: la molla oscillera' attorno a quella posizione indefintiamente (se non vi sono attriti), qunado spostata infinitesimalmente da quella posizione.
Io ti consiglio smepre di rislovere questi esercizi usando l'estremita libera della molla. La sua lugnhezza a riposo e' costante, e confonde solo il calcolo, come hai avuto modo di vedere. Pero' questo dipende anche dalla forma mentis di chi fa l'esercizio.
Vorrei infine ripetere che il punto di equilibrio e' uno solo. il punto x=L (nel tuo sistema di riferimento) non e' punto di equilibrio. Per x=L, la molla sarebbe scarica, e non in grado di reggere il peso della pallina. Il punto da te menzionato ("quando ritorna su e raggiunge l'altezza massima") e' "solo" un punto a velocita' nulla, ma questo non implica, in genere, equilibrio ne' stabile, ne instabile
Spero di aver fugato ogni dubbio, e di averti fatto capire che il sistema di riferimento lo impone il piu' bello di tutti, non e' soggettivo, ne' una convenzione, come ti faranno credere in molit durante it tuoi studi
PS: la tua equazione iniziale ha un segno sbagliato: non e' $U=mgx+1/2m(x-L)^2$, ma $U=-mgx+1/2m(x-L)^2$ come descritto sopra.
Hasta luego!
non so davvero come ringraziarti!! sei chiarissimo.. avevo fatto una boiata io coi sistemi di riferimento, pensavo l'origine alll'altezza del pavimento e poi pero usavo L che è a partire dal soffitto, che scema.. grazie ancora!! ciao!
"alice88":
non so davvero come ringraziarti!! sei chiarissimo.. avevo fatto una boiata io coi sistemi di riferimento, pensavo l'origine alll'altezza del pavimento e poi pero usavo L che è a partire dal soffitto, che scema.. grazie ancora!! ciao!
Prego, di niente, come ti ho detto, e' facile spiegare a chi ha voglia di imparare. In bocca al lupo e scrivi se hai altri dubbi
Riguardo al problema della molla, io l'avrei risolto passando dalla conservazione dell'energia meccanica totale, ma non capisco dove sbaglio. In questo caso, la variazione dell'energia potenziale gravitazionale \(\displaystyle mgx \) dev'essere uguale all'energia potenziale elastica \(\displaystyle \frac 1 2 k x^2 \) accumulata dalla molla. Uguagliando le due si ricava
\(\displaystyle x=\frac{2mg}{k}\)
Dov'e l'errore?
\(\displaystyle x=\frac{2mg}{k}\)
Dov'e l'errore?
Ciao itshaiku, benvenuto sul Forum
Ti do alcuni suggerimenti per rispondere da solo:
1) la conservazione dell'energia meccanica totale prevede in realtà anche il termine cinetico
2) è vero che quando il termine cinetico è nullo la forza di richiamo della molla eguaglia il peso?
Ti do alcuni suggerimenti per rispondere da solo:
1) la conservazione dell'energia meccanica totale prevede in realtà anche il termine cinetico
2) è vero che quando il termine cinetico è nullo la forza di richiamo della molla eguaglia il peso?
Ciao ingres, grazie per la risposta. Ci avevo pensato anch'io, il problema è che sia all'inizio che alla fine il peso è fermo, quindi l'energia cinetica compare solo nel periodo di transizione tra la configurazione iniziale e finale. Questo non dovrebbe importare, visto che le forze in gioco sono tutte conservative, per cui conta solo il punto iniziale e finale:
All'inizio abbiamo solo energia potenziale gravitazionale, alla fine abbiamo in parte la potenziale gravitazionale e in parte la potenziale elastica.
Ho intuito il ruolo impiegato dalla cinetica, ma non capisco come inserirla nel bilancio dell'energia visto che il corpo è fermo, sia all'inizio che alla fine.
All'inizio abbiamo solo energia potenziale gravitazionale, alla fine abbiamo in parte la potenziale gravitazionale e in parte la potenziale elastica.
Ho intuito il ruolo impiegato dalla cinetica, ma non capisco come inserirla nel bilancio dell'energia visto che il corpo è fermo, sia all'inizio che alla fine.
Il problema è che se il corpo è posto nella posizione di equilibrio con molla già allungata rimane fermo, altrimenti comincia ad oscillare attorno alla posizione di equilibrio per cui non c'è una fine.
Infatti supponiamo a t=0 il corpo fermo nella posizione iniziale a distanza L dal soffitto e quindi con molla a riposo e prendiamo come riferimento tale punto. L'equazione del moto è (x spostamento verso il basso)
$m ddotx = mg -kx$
con $x(0) =0$ , $dotx(0) =0$
Questa è l'equazione dei moti armonici. Se moltiplico per $dotx$ ed integro ottengo il bilancio energetico
$1/2 m dot x^2 - mgx +1/2k*x^2 =0$
Dalla comparazione delle due formule si ottiene la risposta analitica al tuo dubbio che è data dal fatto (tutto sommato intuitivo) che quando il corpo è fermo (molla non estesa x=0 o tutta estesa x=2mg/k) l'accelerazione non è nulla perchè la gravità o la molla tendono a richiamare il corpo nella posizione di equilibrio (x=mg/k) e quando l'accelerazione è nulla (cioè corpo che passa per la posizione di equilibrio statico) il corpo non è fermo perchè ha una certa velocità e quindi energia cinetica.
Nella realtà per effetto degli attriti lentamente le oscillazioni si smorzano e alla fine il corpo si ferma nella posizione di equilibrio statico, ma in questo caso ovviamente non si conserva l'energia meccanica.
Infatti supponiamo a t=0 il corpo fermo nella posizione iniziale a distanza L dal soffitto e quindi con molla a riposo e prendiamo come riferimento tale punto. L'equazione del moto è (x spostamento verso il basso)
$m ddotx = mg -kx$
con $x(0) =0$ , $dotx(0) =0$
Questa è l'equazione dei moti armonici. Se moltiplico per $dotx$ ed integro ottengo il bilancio energetico
$1/2 m dot x^2 - mgx +1/2k*x^2 =0$
Dalla comparazione delle due formule si ottiene la risposta analitica al tuo dubbio che è data dal fatto (tutto sommato intuitivo) che quando il corpo è fermo (molla non estesa x=0 o tutta estesa x=2mg/k) l'accelerazione non è nulla perchè la gravità o la molla tendono a richiamare il corpo nella posizione di equilibrio (x=mg/k) e quando l'accelerazione è nulla (cioè corpo che passa per la posizione di equilibrio statico) il corpo non è fermo perchè ha una certa velocità e quindi energia cinetica.
Nella realtà per effetto degli attriti lentamente le oscillazioni si smorzano e alla fine il corpo si ferma nella posizione di equilibrio statico, ma in questo caso ovviamente non si conserva l'energia meccanica.
[xdom="Faussone"]Vabbè che le molle appese ai soffitti non invecchiano più di tanto, però riesumare una discussione del 2008....
@itshaiku
La prossima volta magari piuttosto apri una nuova discussione.[/xdom]
@itshaiku
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