Equilibrio: Hessiano
Ciao, ho dei dubbi sulla ricerca dei punti di stabilità.
Se scrivo il potenziale (non l'energia potenziale!), e poi vado a fare l'Hessiano ho che: se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi, ho un massimo del potenziale, cioè un minimo dell'energia potenziale, e quindi ho un equilibrio stabile.
Se considero invece l'energia potenziale, nell'Hessiano questa volta avrò le derivate dell'energia potenziale e non più del potenziale. Se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi l'equilibrio com'è? Stabile o instabile? Grazie.
Se scrivo il potenziale (non l'energia potenziale!), e poi vado a fare l'Hessiano ho che: se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi, ho un massimo del potenziale, cioè un minimo dell'energia potenziale, e quindi ho un equilibrio stabile.
Se considero invece l'energia potenziale, nell'Hessiano questa volta avrò le derivate dell'energia potenziale e non più del potenziale. Se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi l'equilibrio com'è? Stabile o instabile? Grazie.
Risposte
Ma non mi sembra un grosso problema... Se \(U\) è il potenziale e \(V\) l'energia potenziale allora \(U=-V\). L'Hessiano cambia segno se il sistema ha un numero dispari di gradi di libertà e non cambia segno in caso contrario. Le entrate della matrice Hessiana invece cambiano sempre segno. Con queste informazioni si ricava la risposta alla tua domanda. Io però, per non confondermi, cambierei il segno in modo da usare sempre la stessa funzione, nel tuo caso \(U\).

"dissonance":
Con queste informazioni si ricava la risposta alla tua domanda.
Instabile quindi?
Ma a che tipo di sistemi ti riferisci, con coordinate cartesiane o anche con coordinate generalizzate?
Coordinate generalizzate.
Puoi darmi una mano per favore? Grazie, ciao.
Si, guarda, non ti ho ancora risposto perché secondo me c'è qualcosa che non va già nel tuo primo post. Infatti io credo che, sia considerando \(U\) sia considerando \(V\) dovresti distinguere il caso di un sistema con un numero dispari di gradi di libertà da uno con un numero pari. Però non sono un esperto e potrei facilmente sbagliarmi... Dove hai letto il criterio che citi?
Questa è la foto della pagina del libro, pag. 29 http://imageshack.us/photo/my-images/268/2829h.jpg/
Quest è invece un esempio in cui viene usata l'energia potenziale. Vedi equazione $(6.15)$ http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/mec ... ode19.html
Nel caso del potenziale, autovalori entrambi positivi $->$ equilibrio instabile.
Nel caso dell'energia potenziale, autovalori positivi $->$ equilibrio stabile.
Quest è invece un esempio in cui viene usata l'energia potenziale. Vedi equazione $(6.15)$ http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/mec ... ode19.html
Nel caso del potenziale, autovalori entrambi positivi $->$ equilibrio instabile.
Nel caso dell'energia potenziale, autovalori positivi $->$ equilibrio stabile.
"Mirino06":
...se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi...
dissonance aveva ragione. Non avevi parlato di autovalori, ma di elementi sulla diagonale, presumo principale. In generale, indipendentemente dal fatto che tu stia considerando il potenziale o l'energia potenziale, il problema è capire se il corrispondente Hessiano è definito positivo oppure negativo. Nel caso in cui si decida di diagonalizzarlo, se gli autovalori sono tutti positivi allora l'Hessiano è definito positivo e si ha un minimo, se gli autovalori sono tutti negativi allora l'Hessiano è definito negativo e si ha un massimo. Non necessariamente devi preoccuparti del determinante. Tuttavia, per risparmiare tempo, esiste un metodo che non richiede la diagonalizzazione. In questo caso si applica una regola che coinvolge i minori principali, tra i quali rientra anche il determinante. La puoi trovare sui manuali di Analisi ma anche qui:
http://cide.univr.it/aperetti/matematic ... atiche.pdf
"speculor":
[quote="Mirino06"]
...se il $det>0$ e se gli elementi della diagonale sono negativi...
indipendentemente dal fatto che tu stia considerando il potenziale o l'energia potenziale, il problema è capire se il corrispondente Hessiano è definito positivo oppure negativo. Nel caso in cui si decida di diagonalizzarlo, se gli autovalori sono tutti positivi allora l'Hessiano è definito positivo e si ha un minimo, se gli autovalori sono tutti negativi allora l'Hessiano è definito negativo e si ha un massimo.[/quote]
Quindi se ho un minimo dell'energia potenziale (autovalori tutti positivi) l'equilibrio è stabile.
"Mirino06":
Quindi se ho un minimo dell'energia potenziale (autovalori tutti positivi) l'equilibrio è stabile.
Certamente.
Vi ringrazio molto.
Se io ho $A=((a,b/2),(b/2,c))$, come c'è scritto a pag. 4 del pdf che hai postato, nel caso in cui il $det=0$ e $a>=0, c>=0, A$ è semidefinita positiva. Ma cosa posso dire riguardo la stabilità: stabile, instabile o punto di sella?
Grazie, ciao.
Grazie, ciao.
In generale, quando il determinante dell'Hessiano è nullo e senza ulteriori calcoli, non si può dire nulla. Così come non si può dire nulla nel caso di funzioni di una sola variabile quando si annullano sia la derivata prima che la derivata seconda.
Come si fa allora a capire se è un max, min o punto di sella?
Grazie, ciao.
Grazie, ciao.
Bisognerebbe adottare i metodi che si studiano sommariamente in Analisi II. In ogni modo, gli esercizi di meccanica razionale vengono solitamente impostati in modo da evitare queste problematiche.
Ti ringrazio. Riguarderò gli appunti di analisi 2 perché avevo trovato appunto un esercizio d'esame in cui avevo il $det=0$.