Equilibrio elettrostatico

[AlexlovesUSA]

Ciao a tutti. Ho l'esame di Fisica 1 giorno 1 e sto facendo un bel ripasso ma mi è venuto un dubbio. Quando un conduttore è carico ed isolato, è in equilibrio elettrostatico?

Il dubbio mi è venuto osservando questo problema che vi sarei moolto grato se me lo risolvete. Insomma io l'ho fatto ma poichè è uno di esame e non c'è la soluzione vorrei essere sicuro che faccio le cose giuste.

TESTO
Un guscio sferico di raggio interno a=10.0cm e raggio esterno b=20.0cm è caricato con densità di carica volumetrica ro=1.84 nC/m3. Si determini il valore del campo elettrico nei punti r=0, r=a/2, r=a, r=1.5a, r=b, r=3.00b. Calcolare inoltre la diff. di potenziale tra a e b.

Grazie anticipatamente

[dissonance]

Non è scritto da nessuna parte che il guscio sferico è conduttore. Quindi non devi considerarlo tale. Tra l'altro se si parla di densità di carica volumetrica il sospetto che non si tratti di un conduttore dovrebbe venirti: un conduttore carico e in equilibrio elettrostatico concentra la carica in eccesso sulle proprie superfici.

[AlexlovesUSA]

ah già ha ragione non ci avevo fatto caso. Tutto questo significa che è un isolante carico? quindi la carica è distribuita uniformemente in tutto il volume? Se è così allora il campo elettrico è 0 all'interno del guscio giusto? Come calcolo il campo elettrico per r=a e per r=1,5a e r=b? Per r=3.0b è lo stesso di quello generato da una sfera carica. Come calcolo infine la diff. di potenziale tra a e b?

[stefano_89]

"AlexlovesUSA":ah già ha ragione non ci avevo fatto caso. Tutto questo significa che è un isolante carico? quindi la carica è distribuita uniformemente in tutto il volume? Se è così allora il campo elettrico è 0 all'interno del guscio giusto? Come calcolo il campo elettrico per r=a e per r=1,5a e r=b? Per r=3.0b è lo stesso di quello generato da una sfera carica. Come calcolo infine la diff. di potenziale tra a e b?

Per il campo elettrico, la formula è: $E(r) = \rho/(3\epsilon_0)r$
Per la diff di potenziale devi fare l' integrale: $V = \int_{r_a}^{r_b}E(r)dr => \rho/(3\epsilon_0)\int_{r_a}^{r_b} rdr$

[dissonance]

Si, la formula è quella ma io suggerirei di non impararla a memoria. Intanto la distribuzione della carica è data esplicitamente dal testo, è una distribuzione uniforme con densità data. Poi, considera la particolare simmetria del problema. Piazzando l'origine $O$ di un sistema di riferimento nel centro del guscio sferico, e indicando con $vec r$ il vettore di posizione rispetto ad $O$, hai che necessariamente il campo elettrico deve avere simmetria radiale, quindi puoi scrivere $vec E = E(r) (vecr)/r$.

Ora applica il teorema di Gauss per calcolare esplicitamente $E(r)$. Partiamo da un punto esterno al guscio, quindi con $r>20$. Per il teorema di Gauss il flusso uscente da una sfera di centro $O$ e raggio $r$ è pari alla carica complessiva del guscio diviso $epsilon_0$, in formule:

$intint_{S_r}E(r){vec r}/{r}*vecn"d"S=Q_{"tot"}/epsilon_0$

ed essendo ${vec r}/{r}*vecn=1$ hai che

$E(r)intint_{S_r}"d"S=Q_{"tot"}/epsilon_0$ (NOTA BENE: Posso portare $E(r)$ fuori dal segno di integrale perché è costante su tutto il dominio di integrazione. Questo punto è essenziale, senza questa simmetria del campo elettrico avremmo dovuto seguire un approccio completamente diverso.)

ovvero, ricordando che la superficie della sfera di raggio $r$ è $4pir^2$:

$E(r)4pir^2=Q_{"tot"}/epsilon_0$

da cui ricavi $E(r)$ (ti ricordo, per $r>20$).

Con lo stesso procedimento ricavati $E(r)$ per $10

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[AlexlovesUSA]

Grazie ragazzi per le risposte. No io non imparo nnt a memoria so dimostrare quanto vale il campo elettrico in un det punto. Comunque ricapitolando all'esterno vale kQ/ $ (r)^(2) $ dove a Q sostituisco q=ro*V quindi E=kroV/ $ (r)^(2) $ giusto?
Per trovare E per r=1,5a cioè nel centro del guscio la carica vele esattamente metà di quella totale o sbaglio? qundi basta sostituire Qtot/2 a Qtot? Qella formula di E(r) che mi ha dato stefano è la formula del campo elettrico all'esterno? o vale per tutti i punti con ovvie modifiche alla carica ? quello che mi ha fatto cofondere è che il volume di una sfera piena è (4pigreco $ (r)^(3) $ )/3 ma quì parliamo di un guscio sferico quindi il volume non dovrebbe essere quello totale meno quello della sfera interna mancante?
Infine per trovare il potenziele sostituisco la formula di E all'interno del guscio nell'integrale tra 10cm e 20cm e lo risolvo giusto?

L'unico dubbio che mi resta è come faccio a trovare il capo elettrico per r=10 e per r=20? cioè per la sup interna ed esterma del guscio, non dovrebbe essere la stessa formula di E esterno soltanto che cambia il valore di r e di Q? Cioè all'interno Q è 0. A metà del guscio è Q/2 e per r=10 e r=20 quanto è?

[dissonance]

"AlexlovesUSA":Qella formula di E(r) che mi ha dato stefano è la formula del campo elettrico all'esterno?

No, quella è la formula del campo elettrico generato da una sfera carica uniformemente, ed è valida solo nei punti interni alla sfera. All'esterno la devi cambiare un po'.

quello che mi ha fatto cofondere è che il volume di una sfera piena è (4pigreco $ (r)^(3) $ )/3 ma quì parliamo di un guscio sferico quindi il volume non dovrebbe essere quello totale meno quello della sfera interna mancante?

Si.

Infine per trovare il potenziele sostituisco la formula di E all'interno del guscio nell'integrale tra 10cm e 20cm e lo risolvo giusto?

Si ma esprimiti bene. Non devi trovare "il potenziale" ma "la differenza di potenziale".

L'unico dubbio che mi resta è come faccio a trovare il capo elettrico per r=10 e per r=20? cioè per la sup interna ed esterma del guscio, non dovrebbe essere la stessa formula di E esterno soltanto che cambia il valore di r e di Q? Cioè all'interno Q è 0. A metà del guscio è Q/2 e per r=10 e r=20 quanto è?

Per $r=10$ hai già risposto. Quanta carica è racchiusa nella cavità interna alla sfera? Mentre per $r=20$ (cioè il raggio della sfera più grande) la risposta è tanto banale che non te la dico per non offenderti.


P.S.: Per favore, scrivi bene le formule! Guarda la differenza tra una formula come la scrivi tu:

(4pigreco $ r^3 $)/3

e come la scrivo io:

$(4 pi r^3)/3$

ovvero \$(4 pi r^3)/3\$. Non è per niente difficile.

[AlexlovesUSA]

scusa per le formule, ancora devo prenderci la mano, a proposito mi puoi dire come si scrive tipo EPSILON con 0?
Per quanto riguarda il problema quindi all'interno della sfera E=0 e quindi pure per r=a lo è giusto? Per r=20 invece è la formula del campo elettrico della sfera con r=20, naturalmente con q=ro*V dove V è come ho detto prima la differenza tra il vol totale e Quello della sfera mancante giusto? Quindi nella formula per trovare la dd.potenziale del campo elettrico devo andare a sostituire questa formula E= $ ro4pi((ra)^(3) - (rb)^(3))/ (3(r)^(3) ) $ e integrare da a in b? mentre per r=1,5a la carica è Q=$ (roV)/2 $
Dai ragazzi perfavore non potreste dirmi a quanto equivale E in ogni punto? sto facendo confusione, è giusto come ho detto io adesso?


Se è così non ho più problemi riguardanti queste cose ma vorrei chiarirmi alcuni concetti ossia quelli che legano il lavoro all'en.potenziale elettrica e al potenziale elettrico. Allora come si sa dalla meccanica per una forza conservativa W=-(deltaU) (come si scrive delta?) poichè anche la forza elettrica è conservativa allora si dice che se spostassimo una carica nel campo elettrico allora W compiuto dalla forza esterna per spostare la carica è l'opposto del lavoro compiuto dal campo elettrico quindi deltaU=-q $ int_(a)^(b) E*ds $ poichè la diff di potenziale è la differenza di en. pot. fratto la carica allora è uguale al lavora fatto dalla forza esterna per spostare la carica di prova da A a B senza variare l'en cinetica della carica(ma perchè senza variarla?)
Ora mi sorgono alcuni dubbi leggendo la dimostrazione dell'energia immagazzinata in un condensatore carico che dice che se carichiamo il condensatore portando una carica da un'armaura a un'altra manualmente ogni qualvolta aumenta la diff. di pot e quì ci siamo ora penso che se portiamo una carica quando già c'è una diff di pot tra le armature da un'arm. all'altra per esempio da quella negativa a quella positiva la carica viene respinta dal campo elettrico giusto? ma ci siamo noi che la teniamo e facciamo lavoro nel trasportarla e dW=(deltaV)dq che integriamo e troviamo l'en. pot che è positiva perchè accumuliamo energia. Ora s volessimo sapere il lavoro che fa invece il campo elettrico è l'opposto dell'en. potenziale trovata? cioè -U?

Quando in un circuito mettiamo la batteria un elettrone si muove da quale polo a quale polo? se una carica positiva si muove nel verso del campo elettrico e quindi da pot + a pot - allora la carica negativa si muove al contrario quindi la corrente va dal polo negativo a quello positivo?


Scusate tanto per tutte queste domande e vi ringrazio per l'aiuto ma devo chiarirmi le idee prima dell'esame che è soltanto orale e quindi mi confondo di + dello scritto XD

P.S. Perchè nella formula del momento del dipolo immerso in un campo elettrico c'è il meno davanti?

[dissonance]

No, aspetta, non si capisce più niente. Fai una domanda alla volta sennò non ti risponderà mai nessuno. E poi $epsilon_0$ si scrive \$ epsilon_0 \$, $rho$ si scrive \$rho\$.

[AlexlovesUSA]

Grazie per la dritta sulle formule XD
Ora prendo quello che ho scritto prima e divido pezzo per pezzo così rendo tutto più chiaro.

1)Per quanto riguarda il problema quindi all'interno della sfera E=0 e quindi pure per r=a lo è giusto? Per r=20 invece è la formula del campo elettrico della sfera con r=20, naturalmente con q=$rho$*V dove V è come ho detto prima la differenza tra il vol totale e Quello della sfera mancante giusto? Quindi nella formula per trovare la dd.potenziale quale valore del campo elettrico deo andarea sostituire? mentre per r=1,5a la carica è ?
Ragazzi facciamo una cosa perfavore cortesemente non potreste risolvere il problema voi e scrivere i calcoli così evito di fare confusione e dopo vi dico i dubbi che avevo?


2)Perchè nella formula del momento del dipolo immerso in un campo elettrico c'è il meno davanti?

3)In un circuito chiuso fatto da una batteria collegaa in serie a una resistenza e collegato a terra prima della batteria, consideriamo una particella carica che si muove dal punto immediatamente prima della batteria quindi dal polo - verso il polo +, ma perchè acquista energia potenziale e non la perde? Cioè il campo elettrico ha lo stesso verso della corrente( ovviamente opposto a quello degli elettroni)quindi va dal polo a potenziale maggiore a quello con potenziale minore quindi da + verso - e la carica è positiva, ma una carica che si muove nel verso del campo elettrico non perde energia potenziale?

[dissonance]

Ti scrivo come lo risolverei io a questo punto. Attenzione però che non sto a rifare tutto il ragionamento col teorema di Gauss che ho fatto sopra. Partiamo da una formula assodata per il campo generato da una distribuzione di carica $rho$ uniforme su una sfera piena di centro l'origine di un sistema di riferimento e raggio $R$, dove $vec r$ è il vettore posizione:

$vec E (vec r)={((R^3rho)/(3epsilon_0r^2)(vec r)/r , r>R), ( (rho vec r)/(3epsilon_0), 0<=r<=R):}$

Nel nostro caso ad essere carico è un guscio sferico di raggio interno $a$ e raggio esterno $b$. Per il principio di sovrapposizione, il campo generato da questa distribuzione di carica è lo stesso che si avrebbe considerando una distribuzione uniforme $rho$ su una sfera di raggio $b$ e una distribuzione uniforme $-rho$ su una sfera di raggio $a$. Chiamiamo $vec E_+$ il campo generato dalla prima distribuzione e $vec E_-$ quello generato dalla seconda. Calcoliamo:

$vec E_+(0)+ vec E_{-} (0)=\vec0 + \vec 0= \vec 0$;
$vec E_+ (a/2)+vec E_{-} (a/2)= 1/(3 epsilon_0) (rho-rho)\vec r= \vec 0$;
$vec E_+ (a)+vec E_{-} (a)= 1/(3 epsilon_0) (rho-rho)\vec r= \vec 0$;
$vec E_+ (b) + vec E_{-} (b) =rho/(3 epsilon_0) vec r (1 - (a^3)/(3 epsilon_0 r^3))$
$vec E_+ (3b) + vec E_{-} (3b)= (rho(b^3-a^3))/(3 epsilon_0 r^3)\vec r$

mi pare che ci sia tutto. Dei conti non sono sicuro neanche un po' perché odio farli. Vedi un po' se ti ritrovi.

2)Perchè nella formula del momento del dipolo immerso in un campo elettrico c'è il meno davanti?

E come si fa a rispondere? Devi scriverla questa formula, sennò non si capisce.

[AlexlovesUSA]

Grazie mille per la risposta. C'è quasi tutto, manca solo il campo elettrico nel punto r=1,5a cioè nel mezzo del guscio che è quello che vorrei sapere e la diff. di potenziale tra a e b quale formula di E devo sostituire per trovare la ddp tra a e b?

La formula del momento del dipolo è $tau$=- p x E dove p è il momento del dipolo che va dalla carica negativa a quella positiba con p=2aq dove 2a è la distanza che separa le cariche e q il valore della carica.

[dissonance]

Se $r=1.5a$ è nel mezzo del guscio devi usare l'espressione esterna di $vec E_{-}$ e quella interna di $vec E_{+}$. Per calcolare la ddp, siccome viaggi tra il guscio interno e quello esterno, devi usare l'espressione esterna di $vec E_{-}$ e quella interna di $vec E_{+}$.

Per il momento di dipolo, non mi risulta quel meno. La formula è $vec tau= vec p \times \vec E$, dove $vec p$ è il momento di dipolo e $vec E$ il campo elettrico esterno.

[AlexlovesUSA]

Quindi praticamente usando Gauss dovrei ricavarmi il campo elettrico E+ interno e quello E- esterno poi fare la differenza e sostituire il risultato nell'integrale? Ma coma hai pensato a due campi elettrici differenti? Io non ho mai visto nel mio libro un esempio del genere XD

Per la formula del momento del dipolo davvero dici che non c'è il meno? Infatti a me sembra molto strana questa cosa, il meno appare all'improvviso e il bello è che sono due le formule con il meno davanti, c'è anche quella dell'energia del dipolo U = - pEcos$teta$, sarà un errore del libro magari?

[dissonance]

Per il momento di dipolo forse il libro intende $vec p$ come il vettore che punta dalla carica positiva a quella negativa... Controlla bene.

Per l'altro esercizio ho seguito la strada delle due distribuzioni di carica proprio per non usare Gauss. Il concetto è: invece di usare direttamente il teorema di Gauss, che è quanto stavo facendo nei post precedenti, mi ricordo che conosco già l'espressione del campo elettrostatico generato da una distribuzione sferica e uniforme di carica, e tento di sfruttarla.
Una distribuzione equivalente a quella data si ottiene riempiendo tutta la sfera più grande (anche la cavità interna) con densità di carica $rho$ e poi riempiendo la sfera più piccola con densità di carica $-rho$. Per il principio di sovrapposizione, l'effetto è lo stesso di una sfera carica con densità $rho$ con una cavità interna, ovvero la distribuzione che ci dà la traccia.

[AlexlovesUSA]

Ah sisi adesso ci siamo finalmente ma l'espressione da sostituire per trovare la diff di potenziale ossia l'esressione del campo elettrico tra a e b che è uguale a quella per r=1,5a come la trovo? Da quello ho capito è questa $ E_- (1,5a) + E_+(1,5a) $ cioè considero le espressioni generali dove sostituisco r=1,5a giusto?

Per quanto riguarda la formula ho controllato un po di cose, ho fatto un po di calcoli e ho scoperto che era un errore del libro, infatti la formula del momento del dipolo è positiva mentre quella dell'energia del dipolo è con il segno meno. Lo stesso vale per una spira immersa in un campo magnetico le formule sono quasi uguali

[dissonance]

Stai attento che stai sbagliando, rivedi la teoria. Per calcolare la d.d.p. tra due punti $P_1, P_2$ non ti basta conoscere il campo elettrico in un solo punto e neanche in tutti e due, lo devi conoscere lungo tutta una linea congiungente $P_1$ e $P_2$. A quel punto la ddp è uguale all'integrale di linea $-int_{P_1}^{P_2} vec E * d vec s$.

[AlexlovesUSA]

Esattamente. Ma essendo il guscio sferico carico uniformemente non dovrebbeavere lo stesso campo elettrico in ogni punto? Se no, allora quale è la formula giusta? (Quello che mi confonde è che per r=a è 0 per r= b è uguale a un'altra cosa e per r=1,5a pure allora io che devo calcolarlo tra a e b quale formula del campo eletrrico uso ?

[dissonance]

"AlexlovesUSA":Esattamente. Ma essendo il guscio sferico carico uniformemente non dovrebbeavere lo stesso campo elettrico in ogni punto?

No! Stai più attento, questo è un errore brutto. Immagina di introdurre una carica puntiforme $q_0$ in una sfera carica uniformemente. Se la metti esattamente al centro della sfera, la carica non sentirà alcuna forza, questo mi pare intuitivo e lo puoi dimostrare ricorrendo alla formula per il campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica. Ora sposta la carica puntiforme $q_0$ in superficie. Adesso questa carica sentirà MOLTA più forza di prima... Precisamente la forza massima possibile. Ti sembra che la sfera carica uniformemente abbia campo elettrico uguale in ogni punto?

Analogamente, anche il guscio sferico non ha campo elettrico uguale in ogni punto.

Se no, allora quale è la formula giusta?

Te l'ho detto prima. Se vuoi usare la tecnica della sovrapposizione di $vec E_{+}, vec E_{-}$, il campo nell'interno del guscio è $vec E= vec E_{-}^{"est"} + vec E_{+}^{"int"}$, dove uso $"int", "est"$ per indicare quale delle due formule devi usare.

[AlexlovesUSA]

Ok allora devo usare questa formula ci siamo. E se invece avessi voluto usare Gauss la formula del campo elettrico all'interno sarebbe stata questa $ E(4pir^2) =( rho)/(epsilon_0) $ giusto?(dove al raggio r vado a sostituire 1,5r e al volume la differenza tra quello della sfera piena e quello della sfera interna) e dopo avrei dovuto usare questa stessa formula per trovare la diff. di potenziale?

[dissonance]

No, Alex, non ci siamo proprio. Hai le idee molto confuse. La formula del campo elettrico non deve dipendere dal particolare metodo che usi per ricavarla. Che tu usi direttamente Gauss, o che tu usi il principio di sovrapposizione, la formula deve essere sempre quella.

Inoltre deve essere una funzione di $vec r$, cioè una relazione che ad ogni punto dello spazio, rappresentato dal vettore di posizione $vec r$, associa un unico vettore $vec E$; questo sarà schematizzato dalla scrittura $vec E(vec r)$.

Sono funzioni, ad esempio, $vec F( vec r)=2 vec r$, o anche $vec F (vec r)= sqrt(r) vec i + r vec j+ r^2 vec k$. Quella che hai scritto tu che cos'è? $vec E(4 pi r^2)$??? Cosa ci azzecca quel $4 pi r^2$?