Equilibrio elettrostatico
Salve a tutti. Ho un sistema come in figura e voglio calcolare il potenziale della prima e seconda lastra. Per calcolarli é giusto considerare il potenziale uguale a zero sulla prima distribuzione di carica (quella completamente a sx). Cosí facendo ottengo:
$ V1=1/(2epsi_0)(\sigma-(Q1+Q2)/S) d$
$ V1=1/(2epsi_0)(\sigma-(Q1+Q2)/S)d+\sigma/(2epsi_0)d $
Ho considerati le due cariche diverse perche dal problema non riesco a capire se sono uguali o meno.
Se poi colleghiamo le due lastre in teoria dovrebbero avere stesso potenziale, ma cosí facendo trovo che $ (Q1-Q2)/S
=-\sigma $ , ma non ne riesco a vedere il significato fisico. Inoltre se le due cariche fossero state uguali, una volte collegate le lastre cosa avremmo avuto? Perche con lo stesso procedimento di prima trovo che sigma é uguale a 0. Qualcuno sa aiutarmi, questo problema mi sta un po confondendo
(Con S indico la superficie non l'interruttore come scritto sul testo)
$ V1=1/(2epsi_0)(\sigma-(Q1+Q2)/S) d$
$ V1=1/(2epsi_0)(\sigma-(Q1+Q2)/S)d+\sigma/(2epsi_0)d $
Ho considerati le due cariche diverse perche dal problema non riesco a capire se sono uguali o meno.
Se poi colleghiamo le due lastre in teoria dovrebbero avere stesso potenziale, ma cosí facendo trovo che $ (Q1-Q2)/S
=-\sigma $ , ma non ne riesco a vedere il significato fisico. Inoltre se le due cariche fossero state uguali, una volte collegate le lastre cosa avremmo avuto? Perche con lo stesso procedimento di prima trovo che sigma é uguale a 0. Qualcuno sa aiutarmi, questo problema mi sta un po confondendo
(Con S indico la superficie non l'interruttore come scritto sul testo)
Risposte
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Mi accorgo solo ora che in quel problema o manca un dato o c'è sotto un trabocchetto.
Mi accorgo solo ora che in quel problema o manca un dato o c'è sotto un trabocchetto.
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Proverei a fare questo ragionamento.
Supponendo, per motivi di simmetria, il campo elettrico costante in ogni fetta di spazio, usando il T. Gauss si ottengono 3 equazioni nei 4 campi incogniti.
L'ultima equazione si basa sul fatto che a grandi distanze i due campi per x<<0 e per x>>2d vedono la distribuzione come una singola distribuzione piana (somma di tutte le cariche) e quindi sempre per simmetria i 2 campi in questione devono essere uguali in modulo.
Noti i campi ...
Supponendo, per motivi di simmetria, il campo elettrico costante in ogni fetta di spazio, usando il T. Gauss si ottengono 3 equazioni nei 4 campi incogniti.
L'ultima equazione si basa sul fatto che a grandi distanze i due campi per x<<0 e per x>>2d vedono la distribuzione come una singola distribuzione piana (somma di tutte le cariche) e quindi sempre per simmetria i 2 campi in questione devono essere uguali in modulo.
Noti i campi ...
I campi che ho trovato dal teorema di Gauss sono i seguenti:
$ E1= -1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2+sigma3+sigma4)=-1/(2epsi_0)(sigma+(Q1+Q2)/S) $
$ E2= 1/(2\epsi_0)(sigma-sigma1-sigma2-sigma3-sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma-(Q1+Q2)/S) $
$ E3= 1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2-sigma3-sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma+(Q1-Q2)/S) $
$ E4= 1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2+sigma3+sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma+(Q1+Q2)/S) $
$ E1= -1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2+sigma3+sigma4)=-1/(2epsi_0)(sigma+(Q1+Q2)/S) $
$ E2= 1/(2\epsi_0)(sigma-sigma1-sigma2-sigma3-sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma-(Q1+Q2)/S) $
$ E3= 1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2-sigma3-sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma+(Q1-Q2)/S) $
$ E4= 1/(2\epsi_0)(sigma+sigma1+sigma2+sigma3+sigma4)=1/(2epsi_0)(sigma+(Q1+Q2)/S) $
Poi dal campo elettrico 2 e dal campo elettrico 3 ho trovato i potenziai che ho scritto nel primo post.
Per il primo ho integrato il campo2 da 0 a d, mentre per il secondo ho integrato il campo2 da 0 a d sommando poi il campo3 integrato tra d e 2d
Per il primo ho integrato il campo2 da 0 a d, mentre per il secondo ho integrato il campo2 da 0 a d sommando poi il campo3 integrato tra d e 2d
$ (sigma1+sigma2)S=Q1 $
$ (sigma3+sigma4)S=Q2 $
In particolare Q1 é la carica sulla lastra a sx e Q2 quella della lastra a dx
$ (sigma3+sigma4)S=Q2 $
In particolare Q1 é la carica sulla lastra a sx e Q2 quella della lastra a dx
OK. I valori mi sembrano tutti corretti e per la domanda a) Q1=Q2=Q.
La risposta alla domanda b è banale.
Nella domanda c) oltre a quella condizione che hai scritto vale che Q1+Q2 = 2Q che permette di trovare come si ridistribuiscono le cariche.
La risposta alla domanda b è banale.
Nella domanda c) oltre a quella condizione che hai scritto vale che Q1+Q2 = 2Q che permette di trovare come si ridistribuiscono le cariche.
Per quanto riguarda la domanda c se eguaglio i potenziali trovo la condizione che ho scritto all"inizio:
$ (Q1-Q2)/S=sigma $ e se Q1=Q2 trovo che la densita ti carica $ sigma $ é uguale a 0. Non capisco se sbaglio qualcosa perché non ne riesco a capire il significato
$ (Q1-Q2)/S=sigma $ e se Q1=Q2 trovo che la densita ti carica $ sigma $ é uguale a 0. Non capisco se sbaglio qualcosa perché non ne riesco a capire il significato
Sono 2 situazioni diverse
Nelle prime domande Q1=Q2=Q perchè le cariche sono isolate.
Nella domanda c) le cariche possono rimescolarsi e quindi hai
$Q_2 -Q_1 = S*sigma$
$Q_2+Q_1 = 2Q$
e quindi
$Q_2= Q+S*sigma/2$
$Q_1= Q- S*sigma/2$
in pratica le cariche si ridispongono opportunamente per avere potenziale costante tra le due armature.
Nelle prime domande Q1=Q2=Q perchè le cariche sono isolate.
Nella domanda c) le cariche possono rimescolarsi e quindi hai
$Q_2 -Q_1 = S*sigma$
$Q_2+Q_1 = 2Q$
e quindi
$Q_2= Q+S*sigma/2$
$Q_1= Q- S*sigma/2$
in pratica le cariche si ridispongono opportunamente per avere potenziale costante tra le due armature.
Ok quindi in sostanza:
Nel primo punto le cariche Q1 é Q2 sono uguali.
Nel punto c le cariche si ripartiscono tra le due lastre in modo da avere lo stesso potenziale (se non fosse presente la distribuzione sigma, le cariche rimarrebbero invece invariate essendo uguali, giusto?)
Quindi non posso imporre che V1=V2 con i potenziali trovati prima perché come già detto troverei:
$ 1/(2epsi_0)(sigma-2Q/S)d=1/(2epsi_0)(sigma-2Q/S)d+sigma/(2epsi_0)d $ e quindi sigma=0 ma non penso abbia senso: collegando le lastre perché mai dovrebbe annullarsi la distribuzione di carica?
Diciamo che il fatto di eguagliare i potenziali nuovi (per intenderci quelli con Q1 diverso da Q2) possiamo farlo per trovare il valore di queste nuove cariche, giusto? E in realtà i campi elettrici che ho scritto qualche post fa vanno bene per il punto c (volendo posso esprimere anche i valori di Q1 e Q2), mentre per il primo punto posso scriverli considerando Q1=Q2.
Nel primo punto le cariche Q1 é Q2 sono uguali.
Nel punto c le cariche si ripartiscono tra le due lastre in modo da avere lo stesso potenziale (se non fosse presente la distribuzione sigma, le cariche rimarrebbero invece invariate essendo uguali, giusto?)
Quindi non posso imporre che V1=V2 con i potenziali trovati prima perché come già detto troverei:
$ 1/(2epsi_0)(sigma-2Q/S)d=1/(2epsi_0)(sigma-2Q/S)d+sigma/(2epsi_0)d $ e quindi sigma=0 ma non penso abbia senso: collegando le lastre perché mai dovrebbe annullarsi la distribuzione di carica?
Diciamo che il fatto di eguagliare i potenziali nuovi (per intenderci quelli con Q1 diverso da Q2) possiamo farlo per trovare il valore di queste nuove cariche, giusto? E in realtà i campi elettrici che ho scritto qualche post fa vanno bene per il punto c (volendo posso esprimere anche i valori di Q1 e Q2), mentre per il primo punto posso scriverli considerando Q1=Q2.
"giuseppe.b_02":
(se non fosse presente la distribuzione sigma, le cariche rimarrebbero invece invariate essendo uguali, giusto?)
Corretto.
"giuseppe.b_02":
collegando le lastre perché mai dovrebbe annullarsi la distribuzione di carica?
Infatti non c'è motivo e possibilità, mentre invece si possono muovere le cariche tra le 2 lastre grazie al filo che le congiunge.
"giuseppe.b_02":
Diciamo che il fatto di eguagliare i potenziali nuovi (per intenderci quelli con Q1 diverso da Q2) possiamo farlo per trovare il valore di queste nuove cariche, giusto? E in realtà i campi elettrici che ho scritto qualche post fa vanno bene per il punto c (volendo posso esprimere anche i valori di Q1 e Q2), mentre per il primo punto posso scriverli considerando Q1=Q2.
Corretto.
Perfetto grazie mille, sei stato molto d'aiuto. Comunque alla fine per calcolare la variazione di energia ho fatto la differenza tra l'energia del sistema 2 e quella del sistema 1 e in sostanza, se non ho sbagliato, si riduce alla differenza tra l'energia contenuta nella regione 3 prima e dopo, perché sostituendo le cariche che abbiamo ricavato trovo che i campi rimangono tutti invariati eccetto il terzo che viene giustamente uguale a 0. Il risultato che trovo é il seguente:
$ DeltaU_e=-1/8sigma^2/epsi_0Sd $
Non capisco peró cosa richiede esattamente col bilancio energetico nell'ultimo punto.
$ DeltaU_e=-1/8sigma^2/epsi_0Sd $
Non capisco peró cosa richiede esattamente col bilancio energetico nell'ultimo punto.
In pratica credo che chieda di giustificare che fine ha fatto l'energia che si è persa visto che vi è meno energia nella nuova configurazione. Tu cosa ne pensi?
Magari é l'energia usata per spostare le cariche da una piastra all'altra?
Non proprio. Il discorso è legato ovviamente allo spostamento delle cariche, ma non ad un semplice discorso di energia del campo elettrostatico, che peraltro è conservativo.
Una soluzione facile è quella di pensare che il filo abbia un resistenza piccolissima, ma non nulla. Poichè lo spostamento delle cariche da una lastra all'altra è rapidissimo, le correnti sono elevatissime e quindi l'energia va persa come effetto Joule.
Più in generale si tratta dell'ennesima variante del paradosso dei due condensatori.
Qui trovi un'esauriente spiegazione del paradosso e di tutte le sue possibili soluzioni.
https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso ... 20infinita.
Una soluzione facile è quella di pensare che il filo abbia un resistenza piccolissima, ma non nulla. Poichè lo spostamento delle cariche da una lastra all'altra è rapidissimo, le correnti sono elevatissime e quindi l'energia va persa come effetto Joule.
Più in generale si tratta dell'ennesima variante del paradosso dei due condensatori.
Qui trovi un'esauriente spiegazione del paradosso e di tutte le sue possibili soluzioni.
https://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso ... 20infinita.
Grazie mille, non lo conoscevo vado subito a leggerlo
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