Equilibrio e stabilità 3
Nel piano $Oxy$ con $y$ verticale discendente sia dato il sistema meccanico formata da un'asta pesante rigida $CD$ di lunghezza $2l$, il cui estremo $C$ sia incernierato in $O$, e all'altro estremo siano fissate due molle di costante di richiamo $k>0$. La prima molla abbia l'estremo libero $A$, proiezione ortogonale su $y$, mentre la seconda molla abbia estermo $P$ libero di muoversi sull'asse $x$. Il sistema è vincolato a moversi nel piano verticale.
Nell'ipotesi che l'asta sia omogenea di massa $m$ determinare le posizioni di equilibrio, discutendone la stabilità.
Per questo problema invece ho fatto cosi:
1) l'esta è omogenea e quindi il suo baricentro è a metà della stessa.
2) poichè la prima molla ha l'estremo libero $A$ proiezione ortogonale su $y$, l'ho considerata come catedo del triangolo avente per ipotenusa l'asta di lunghezza $2l$.
3) mentre la seconda molla che ha l'estemo $P$ libero di muoversi sull'asse delle $x$ non è proiezione ortogonale, e quindi si procede con considerazioni geometriche......
4) A me il sistema viene con due gradi di libertà....
Come vi trovate voi? Secondo voi è giusto?
Grazie anticipate.
Nell'ipotesi che l'asta sia omogenea di massa $m$ determinare le posizioni di equilibrio, discutendone la stabilità.
Per questo problema invece ho fatto cosi:
1) l'esta è omogenea e quindi il suo baricentro è a metà della stessa.
2) poichè la prima molla ha l'estremo libero $A$ proiezione ortogonale su $y$, l'ho considerata come catedo del triangolo avente per ipotenusa l'asta di lunghezza $2l$.
3) mentre la seconda molla che ha l'estemo $P$ libero di muoversi sull'asse delle $x$ non è proiezione ortogonale, e quindi si procede con considerazioni geometriche......
4) A me il sistema viene con due gradi di libertà....
Come vi trovate voi? Secondo voi è giusto?
Grazie anticipate.
Risposte
Sono d'accordo con quanto hai scritto.
Anche secondo me il sistema ha due gradi di libertà, come coordinate lagrangiane potresti usare l'angolo formato dall'asta con l'asse $x$ e l'ascissa del punto $P$.
Per trovare le posizioni di equilibrio, poi, si può calcolare il potenziale. Supposti i vincoli lisci ed essendo le forze agenti sul sistema conservative, le posizioni di equilibrio corrispondono ai valori critici del potenziale (quindi i punti in cui si annulla il suo gradiente). Per studiarne la stabilità, basta vedere se i valori appena trovati sono massimi o minimi per il potenziale.
Spero di esserti stata d'aiuto, se vuoi posso provare a fare i calcoli per confrontare i risultati.
Anche secondo me il sistema ha due gradi di libertà, come coordinate lagrangiane potresti usare l'angolo formato dall'asta con l'asse $x$ e l'ascissa del punto $P$.
Per trovare le posizioni di equilibrio, poi, si può calcolare il potenziale. Supposti i vincoli lisci ed essendo le forze agenti sul sistema conservative, le posizioni di equilibrio corrispondono ai valori critici del potenziale (quindi i punti in cui si annulla il suo gradiente). Per studiarne la stabilità, basta vedere se i valori appena trovati sono massimi o minimi per il potenziale.
Spero di esserti stata d'aiuto, se vuoi posso provare a fare i calcoli per confrontare i risultati.
mi potreste per favore spiegare come si calcolano i gradi di libertà??? grazie
Grazie 44gatti, per la conferma. Non ti preoccupare per i conti, quelli sn matematica......quello che mi preme è il ragionamento come impostare il sistema e le equazioni. 
Una cosa:
1) so che per vedere se i punti di equilibrio sono anche punti di stabilità per il sistema bisogna calcolare il determinante della matrice Hessiana, avante in ingresso le derivarte seconde del potenziale totale, nei punti di equilibrio del sistema.
Se il $det H_punto di eq. > 0$ è un punto di equilibrio stabile altrimenti instabile (parlo sempre di due gradi di libertà)
Il fatto è che il più delle volte vengono espressioni del tipo:
$det H _(0,0) = (8mglk)/3 - 4*k^2 * l^2$
$det H_(pi,0) = -(8mglk)/3 + 4*k^2 * l^2$
eccc. cioè espressioni parametriche con segni alterni di cui conosco sempre $k>0$ dalla traccia e non so vedere bene se sn maggiori o minori di 0
Ancora
Vorrei per favore un tuo parere un un altro problema! Lo trovi nel forum università col titolo: $equilibrio e stabilità 2$
è un pò in dietro....mi pare che nessumo mi ha risp.....
ciao e grazie.
Una cosa:
1) so che per vedere se i punti di equilibrio sono anche punti di stabilità per il sistema bisogna calcolare il determinante della matrice Hessiana, avante in ingresso le derivarte seconde del potenziale totale, nei punti di equilibrio del sistema.
Se il $det H_punto di eq. > 0$ è un punto di equilibrio stabile altrimenti instabile (parlo sempre di due gradi di libertà)
Il fatto è che il più delle volte vengono espressioni del tipo:
$det H _(0,0) = (8mglk)/3 - 4*k^2 * l^2$
$det H_(pi,0) = -(8mglk)/3 + 4*k^2 * l^2$
eccc. cioè espressioni parametriche con segni alterni di cui conosco sempre $k>0$ dalla traccia e non so vedere bene se sn maggiori o minori di 0
Ancora
Vorrei per favore un tuo parere un un altro problema! Lo trovi nel forum università col titolo: $equilibrio e stabilità 2$
è un pò in dietro....mi pare che nessumo mi ha risp.....
ciao e grazie.
Non ho ben capito quello che hai scritto riguardo alla stabilità del punto di equilibrio, probabilmente è solo perchè abbiamo notazioni leggermente diverse...
Nel caso di due gradi di libertà, per avere una posizione di equilibrio stabile non basta che il determinate della matrice hessiana $H$ sia positivo nel punto critico. Bisogna anche che $H_11$ (ovvero l'entrata 1,1 della matrice) sia negativo.
In altre parole si cercano i punti di massimo per il potenziale totale (funzione di due variabili in questo caso), bisogna quindi guardare la segnatura della matrice hessiana e non solo il suo determinante.
Riassumendo:
$det H<0$ => sella (per la funzione del potenziale) => eq. instabile
$det H>0$ e $H_11>0$ => minimo => eq. instabile$
$det H>0$ e $H_11<0$ => massimo => eq. stabile$
Per quel che riguarda la presenza di parametri nel risultato, a volte succede... di solito negli esercizi che svolgo io, però, ci sono ulteriori condizioni su $k$ o $l$ in modo da rendere chiaro il segno del determinate. In questo caso puoi fare una discussione tu...
Do un'occhiata all'altro esercizio dopo cena, se nessuno ha ancora risposto.
Nel caso di due gradi di libertà, per avere una posizione di equilibrio stabile non basta che il determinate della matrice hessiana $H$ sia positivo nel punto critico. Bisogna anche che $H_11$ (ovvero l'entrata 1,1 della matrice) sia negativo.
In altre parole si cercano i punti di massimo per il potenziale totale (funzione di due variabili in questo caso), bisogna quindi guardare la segnatura della matrice hessiana e non solo il suo determinante.
Riassumendo:
$det H<0$ => sella (per la funzione del potenziale) => eq. instabile
$det H>0$ e $H_11>0$ => minimo => eq. instabile$
$det H>0$ e $H_11<0$ => massimo => eq. stabile$
Per quel che riguarda la presenza di parametri nel risultato, a volte succede... di solito negli esercizi che svolgo io, però, ci sono ulteriori condizioni su $k$ o $l$ in modo da rendere chiaro il segno del determinate. In questo caso puoi fare una discussione tu...
Do un'occhiata all'altro esercizio dopo cena, se nessuno ha ancora risposto.
ah! questo non lo avevo capito a lezione!!!! 
Quindi il determitante unito al segno della prima entrata della matrice. (Ma perchè proprio l'elemento di posto $(1,1)$ ?)
si ma come faccio a capire se il det è maggiore o minore con tutti quei parametri.
Ti ringrazio molto per la chiarezza. A presto ciao
Quindi il determitante unito al segno della prima entrata della matrice. (Ma perchè proprio l'elemento di posto $(1,1)$ ?)
si ma come faccio a capire se il det è maggiore o minore con tutti quei parametri.
Ti ringrazio molto per la chiarezza. A presto ciao
Si tratta di uno studio di massimi e minimi di una funzione in due variabili, quindi si studiano i segni dei determinanti di una successione di minori incapsulati della matrice hessiana.
Mi spiego meglio, se la matrice è $((a,b),(c,d))$, le possibili successioni di minori incapsulati sono:
{$((a,b),(c,d))$,$a$} oppure {$((a,b),(c,d))$,$d$}. Passando ai determinanti, sono {$ad-bc$,$a$} oppure {$ad-bc$,$d$}.
Tornando al tuo esercizio, per avere un massimo e quindi una posizione di equilibrio stabile devi avere $det H>0$ e l'entrata (1,1)$<0$ oppure, equivalentemente, $det H>0$ e l'entrata (2,2)$<0$. Se noti, infatti, i numeri della matrice sulla diagonale principale (calcolati nella posizione di equilibrio) hanno sempre lo stesso segno.
Lo studio di massimi e minimi di funzioni in più variabili non è difficile e la stessa tecnica si può applicare, con qualche dettaglio in più, anche in dimensione $n$. Non ti ho scritto il caso generale per non confonderti (e per paura di sbagliare qualche segno
), se dovessi averne bisogno comunque chiedi pure.
Per quel che riguarda i parametri, $detH_(0,0)=8/3mglk-4k^2l^2>0 <=> k<2/3mg$, io lo lascerei così... se però non è l'ultima domanda dell'esercizio, cioè se devi fare dei calcoli sulla posizione di equilibrio stabile dopo che l'hai trovata, non so proprio che dirti... Usando il buon senso, comunque, le costanti elastice sono abbastanza piccole, mentre le masse sono di solito di un ordine di grandezza maggiore, quindi la disuguaglianza di sopra potrebbe essere vera. Lo so che non è un ragionamento molto matematico (si tratta più di andare a occhio), infatti ti consiglio di lasciarlo indicato se possibile.
Mi spiego meglio, se la matrice è $((a,b),(c,d))$, le possibili successioni di minori incapsulati sono:
{$((a,b),(c,d))$,$a$} oppure {$((a,b),(c,d))$,$d$}. Passando ai determinanti, sono {$ad-bc$,$a$} oppure {$ad-bc$,$d$}.
Tornando al tuo esercizio, per avere un massimo e quindi una posizione di equilibrio stabile devi avere $det H>0$ e l'entrata (1,1)$<0$ oppure, equivalentemente, $det H>0$ e l'entrata (2,2)$<0$. Se noti, infatti, i numeri della matrice sulla diagonale principale (calcolati nella posizione di equilibrio) hanno sempre lo stesso segno.
Lo studio di massimi e minimi di funzioni in più variabili non è difficile e la stessa tecnica si può applicare, con qualche dettaglio in più, anche in dimensione $n$. Non ti ho scritto il caso generale per non confonderti (e per paura di sbagliare qualche segno
), se dovessi averne bisogno comunque chiedi pure.Per quel che riguarda i parametri, $detH_(0,0)=8/3mglk-4k^2l^2>0 <=> k<2/3mg$, io lo lascerei così... se però non è l'ultima domanda dell'esercizio, cioè se devi fare dei calcoli sulla posizione di equilibrio stabile dopo che l'hai trovata, non so proprio che dirti... Usando il buon senso, comunque, le costanti elastice sono abbastanza piccole, mentre le masse sono di solito di un ordine di grandezza maggiore, quindi la disuguaglianza di sopra potrebbe essere vera. Lo so che non è un ragionamento molto matematico (si tratta più di andare a occhio), infatti ti consiglio di lasciarlo indicato se possibile.
bene ora ho capito....è come per analisi due, la ricerca degli estremanti di una funzione a due variabili!
Grazie per la spiagazione 44gatti....sei stata molto chiara....magari provo al postare qualche altro esercizio tra un po di giorni....cosi mi metto in forma per l'esame:)
Grazie per la spiagazione 44gatti....sei stata molto chiara....magari provo al postare qualche altro esercizio tra un po di giorni....cosi mi metto in forma per l'esame:)
Non c'è di che...
Anche io ho un esame su questi argomenti, tra una settimana, per la precisione; fare esercizi e discuterne insieme è utile anche a me. :)
Anche io ho un esame su questi argomenti, tra una settimana, per la precisione; fare esercizi e discuterne insieme è utile anche a me. :)
"Littlestar":
mi potreste per favore spiegare come si calcolano i gradi di libertà??? grazie
in base a quanti sono i "parametri lagrangiani"......se vi può essere utile qua trovate degli esercizi risolti molto tattici
http://www.ing.unitn.it/~siboni/proveMR1no/
anch'io ho l'orale la prox settimana....anke se non credo di riusscire a prepararmi adeguatamente....
ciao e in bocca al lupo.
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