Equilibrio e stabilità 2

[Pivot1]

Nel piano verticale $Oxy$, con $y$ verticale discendente, sia data un'asta pesante rigida $AB$ di lunghezza $2l$, il cui estremo $A$ sia incernierato in $O$, e al cui estremo $B$ sia fissata una molla di costante di richiamo $k>0$ , il cui altro estremo termini con un punto $P$ di massa $m$, proiezione ortogonale di $B$ sull'asse $x$, dove è vincolato a muoversi senza attrito. Inoltre allo stesso estremo di $B$ sia fissata una seconda molla $BC$, di costante di richiamo $k>0$, con $C$ punto materiale di massa $m$ proiezione ortogonale di $B$ sull'asse $y$ su cui si muove senza attrito.
Nell'ipotesi che l'astra sia non omogenea e la densità in un suo punto $Q$ sia data da
$ro=(m*|AQ|)/l^2$ determinare equilibrio e stabilità del sistema.

Ho risolto questo problema ma non sn sicuro del risultato!

Osservazioni:

1) l'asta è non omogenea, quindi il baricentro non è a metà ma nel punto a densità maggiore.

2)a me viene con un grado di liberà, cioè l'angolo che l'asta forma con il semiasse discendente delle $y$; infatti la traccia parla di una molle al cui estramo si trova un punto $P$ di massa $m$ proiezione ortogonale sugli assi! Quindi nella risoluzione li ho considerati, come cateti del triangolo di ipotenula la lunghezza della sbarra $2l$

Secondo vuoi è giusto? come vi trovate con i gradi di libertà?

Grazie anticipate

[Pivot1]

nessuno lo sa?

[|cri114]

Ho provato a risolvere il problema, ma l'asta a densità non omogenea mi causa qualche problema nel calcolo del potenziale... Secondo i tuoi conti quali sono le coordinate del baricentro? il mio risultato non mi convince molto, forse è perchè non ricordo bene la formula...

Del numero di gradi di libertà, invece, sono abbastanza sicura, ne ha solo uno. Come variabile puoi considerare o l'angolo formato dall'asta con l'asse $y$ o quello formato con l'asse $x$ (si scambiano solo seni e coseni, non fa differenza nel calcolo delle posizioni di equilibrio).

[Pivot1]

Perfatto...ci siamo!
Mi trovo con quanto dici per il grado di libertà. Per la massa a densità variabile io ho fatto cosi:
Osservazione:

1) Poichè l'asta è non omogenea il baricentro non è a metà ma nel punto a densità maggiore.


$M = int da 0 a 2l di ro(Q)ds = int da 0 a 2l di (ms)/l^2 in ds = 2m$

avendo sostituito $AQ = s$

2)

$G - O = int da 0 a 2l di 1/M * ro(Q) in ds..... = a conti fatti 4l/3$


$x_G = 4l/3 * sen(teta)$
$y_G = 4l/3 * cos(teta)$

$x_B = 2l*sen(teta)$
$y_B = 2l*cos(teta)$


$(B - C)^2 = (2l)^2 - (2lcos(teta)^2 = 4l^2 * (sen(tate))^2$

$(B - P)^2 = (2l)^2 - (2lsen(teta)^2 = 4l^2 * (cos(teta))^2$


$U_F_p = (8mlgsen(teta))/3$

$U_F_el1 = -k/2 * 4l^2 * (sen(tate))^2$

$U_F_el2 = -k/2 * 4l^2 * (cos(teta))^2$

$U_tot = 8/3 * mglcos(teta)$

Poichè siamo nel caso ad un grado di libertà come vedo se i pundi di equilibrio sono anche stabili per il sistema?
Io ho valutato, al solito, il segno della derivata seconda e quindi se è maggiore di 0 si tratta di equilibrio stabile altrimenti, minore di zero, equilibrio instabile.

Non riesco bene a postare bene alcune formule come gli integrali e le parentisi ai sistemi....mi dispiace per la poca chiarezza

[|cri114]

Non ti preoccpare per le formule, i calcoli sono gli stessi che ho fatto io, quindi sono riuscita a capire abbastanza bene. In effetti avevo proprio sbagliato a calcolare il baricentro

Poichè il sistema ha solo un grado di libertà basta studiare il segno della derivata seconda, però non dovrebbe essere il contrario? Cioè equilibrio stabile se il potenziale ha un massimo e quindi la derivata seconda è negativa, viceversa equilibrio instabile se la derivata seconda è positiva. O almeno, il mio libro di analisi dice così...

[Pivot1]

Si hai ragione sul fatto della stabilità, io mi confondo sempre! Riassumendo:

Con due grandi di libertà:

se det H > 0 e H_1,1 > 0 è un punto di equilibrio stabile

se det H < 0 e H_1,1 < 0 è un punto di equilibrio instabile


Con un solo grado di libertà:
setudio il segno della derivata seconda solamente!

derivata seconda < 0 punto di equilibrio stabile
derivata seconda > 0 punto di equilibrio instabile

Ovviamente le derivate e i determinanti si intendono calcolati nei punti di equilibrio precedentemente trovati.

Giuto?

Ps.
anche a me ha fatto piacere questo scambio di idee che sicuramente ha reso piu chiaro il dafarsi.
Io ho l'esame tra 10 giorndi... speriamo bene;
penso di esercitarmi ancora un po in questi giorni specie per quei problemi dove c'è anche la rotazione di un asse o del sistema stasso......

alla prissima ciao