Equilibrio di un'asta rigida in un sistema a tre assi
Buongiorno,
ho provato a risolvere questo quesito ma senza risultati, si trova sull'eserciziario del rosati, lo riporto per intero e poi scrivo come pensavo di rislolverlo.
- in un sistema di riferimento inerziale Oxyz un'asta AB, rigida ed omogenea, con sezione trasversale di dimensioni trascurabili, ha il suo punto medio incernierato senza attrito nel punto C(-1m, 1m, 1m). Nella priima estremità A(0, 2m, 2m) è applicata una forza Fa(0, 0, 8N) mentre nella seconda è applicata una forza Fb perpendicolare all'asta. Si determino le componenti di Fb secondo i tre assi coordinati se l'asta è in condizioni di equlibrio. (sol:$ Fb = -8/3N; -8/3N; 16/3N$).
Io ho provato imponendo la condizione che la risultante delle forze e dei momenti sia nulla negli assi x, y e z. ma non ne sono uscito vivo.
ho provato a risolvere questo quesito ma senza risultati, si trova sull'eserciziario del rosati, lo riporto per intero e poi scrivo come pensavo di rislolverlo.
- in un sistema di riferimento inerziale Oxyz un'asta AB, rigida ed omogenea, con sezione trasversale di dimensioni trascurabili, ha il suo punto medio incernierato senza attrito nel punto C(-1m, 1m, 1m). Nella priima estremità A(0, 2m, 2m) è applicata una forza Fa(0, 0, 8N) mentre nella seconda è applicata una forza Fb perpendicolare all'asta. Si determino le componenti di Fb secondo i tre assi coordinati se l'asta è in condizioni di equlibrio. (sol:$ Fb = -8/3N; -8/3N; 16/3N$).
Io ho provato imponendo la condizione che la risultante delle forze e dei momenti sia nulla negli assi x, y e z. ma non ne sono uscito vivo.
Risposte
Pensa la forza Fa scomposta secondo la direzione dell'asta e in quella perpendicolare.
Non occuparti di quella che ha la direzione dell'asta, questa sarà equilibrata dalla reazione della cerniera.
Resta quella perpendicolare. A questo punto è ovvio che la forza Fb deve essere uguale a questa (i momenti di Fa e Fb saranno opposti).
Quindi si tratta di trovare la componente di Fa perpendicolare all'asta.
L'asta ha la direzione del vettore 1,1,1. Il versore del piano perpendicolare all'asta è $vec n = 1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)$.
La proiezione di $vec F_a$ sul piano è data da $vec F_a - (vec n* vec F_a)*vecn = -8/3, -8/3, 16/3$
Non occuparti di quella che ha la direzione dell'asta, questa sarà equilibrata dalla reazione della cerniera.
Resta quella perpendicolare. A questo punto è ovvio che la forza Fb deve essere uguale a questa (i momenti di Fa e Fb saranno opposti).
Quindi si tratta di trovare la componente di Fa perpendicolare all'asta.
L'asta ha la direzione del vettore 1,1,1. Il versore del piano perpendicolare all'asta è $vec n = 1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3)$.
La proiezione di $vec F_a$ sul piano è data da $vec F_a - (vec n* vec F_a)*vecn = -8/3, -8/3, 16/3$
ti ringrazio, anche per l'agilità con cui maneggi grandezze vettoriali.
avevo ben chiaro che il problema fossse solo di trovare la componente perpendicolare all'asta, tuttavia sui vettori sono ancora fermo al livello di fisica 1 (prodotto scalere e vettoriale). Se non sbaglio è proprio l'imposizione della condizione di prodotto scalere nullo che trovi il vettore perpendicolare, ma mi perdo abbastanza facilmente nei calcoli, faccio prima a chiederti se hai da mandarmi quali altre proprietà hai applicato in modo che vado a studiarle e vedo di concludere l'esercizio.
avevo ben chiaro che il problema fossse solo di trovare la componente perpendicolare all'asta, tuttavia sui vettori sono ancora fermo al livello di fisica 1 (prodotto scalere e vettoriale). Se non sbaglio è proprio l'imposizione della condizione di prodotto scalere nullo che trovi il vettore perpendicolare, ma mi perdo abbastanza facilmente nei calcoli, faccio prima a chiederti se hai da mandarmi quali altre proprietà hai applicato in modo che vado a studiarle e vedo di concludere l'esercizio.
Non ho applicato nessuna proprietà "strana". Il trucco (che anch'io ho dovuto andare a cercare) per scomporre $vec F_a$ nelle due componenti parallela e perpendicolare all'asta consiste in:
1) trovare la componente parallela: il modulo è $vec n* vec F_a$ ossia $8/sqrt 3$, e la direzione è quella di $vec n$, quindi le componenti cartesiane sono tutte uguali a $8/sqrt 3 * 1/sqrt 3 = 8/3$
2) trovare la componente perpendicolare all'asta che è semplicemente la differenza fra $vec F_a$ e la componente parallela, quindi $0 - 8/3, 0 - 8/3, 8 - 8/3 = 16/3$
1) trovare la componente parallela: il modulo è $vec n* vec F_a$ ossia $8/sqrt 3$, e la direzione è quella di $vec n$, quindi le componenti cartesiane sono tutte uguali a $8/sqrt 3 * 1/sqrt 3 = 8/3$
2) trovare la componente perpendicolare all'asta che è semplicemente la differenza fra $vec F_a$ e la componente parallela, quindi $0 - 8/3, 0 - 8/3, 8 - 8/3 = 16/3$
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