Equilibrio cilindro su piano inclinato
Un cilindro omogeneo di raggio R = 1 cm e massa M = 0.1 kg è appoggiato su di un piano,
inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo a. Il cilindro è soggetto alla forza di attrito con
coefficiente di attrito statico pari 0.1 e ad una forza di reazione vincolare schematizzabile
con l’azione di un momento orizzontale e di modulo , calcolato rispetto al punto di
contatto P, che si oppone alla rotazione del cilindro. Nel caso statico Mr soddisfa la
disuguaglianza: , con N modulo della reazione vincolare normale e K = 2·10-4 m
coefficiente di proporzionalità. Si determini:
a) l’angolo massimo, max a , per cui il cilindro è in equilibrio;
b) l’angolo massimo, '
max a , per cui il cilindro rotola senza strisciare, supponendo che
i coefficienti K e ms siano uguali nel caso statico e in quello dinamico.
inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo a. Il cilindro è soggetto alla forza di attrito con
coefficiente di attrito statico pari 0.1 e ad una forza di reazione vincolare schematizzabile
con l’azione di un momento orizzontale e di modulo , calcolato rispetto al punto di
contatto P, che si oppone alla rotazione del cilindro. Nel caso statico Mr soddisfa la
disuguaglianza: , con N modulo della reazione vincolare normale e K = 2·10-4 m
coefficiente di proporzionalità. Si determini:
a) l’angolo massimo, max a , per cui il cilindro è in equilibrio;
b) l’angolo massimo, '
max a , per cui il cilindro rotola senza strisciare, supponendo che
i coefficienti K e ms siano uguali nel caso statico e in quello dinamico.
Risposte
Prendi la forza peso del cilindro (che è applicata al baricentro, che schematizzato in 2D sarà il centro del cerchio che identifica il cilindro).
Il piano inclinato ha angolo $alpha$.
Dividi la forza peso vettorialmente (seni e coseni) nelle due componenti parallela e perpendicolare al piano inclinato:
$Mg cos alpha=N$ = reazione vincolare normale
$Mg sin alpha=S$ = spinta in direzione di discesa e fonte della rotazione del cilindro con braccio pari al raggio
Trovi il valore limite di $M_r$ dato dal testo:
$M_r le 2*10^(-4)*N$
Per stare in equilibrio hai bisogno che:
1) la forza di attrito $mu*N$ sia maggiore della forza di spinta $S$;
2) il momento dato dalla forza di spinta $S$ moltiplicata per il raggio del cilindro (il braccio) sia minore del valore limite trovato sopra.
Verifichiamo la prima necessità:
$mu*(Mg cos alpha) ge Mg sin alpha$
$tan alpha le mu$
$alpha le 5.71°
Verifichiamo la seconda ipotesi:
$R*(Mg sin alpha) le 2*10^(-4)*(Mg cos alpha)$
$tan alpha le 2/R*10^(-4)$
$alpha le 1.1458°$
Tu necessiti che entrambe le condizioni siano verificate (la prima perchè il cilindro non si metta a strisciare ed il secondo perchè non rotoli), quindi la condizione vincolante per la prima domanda è l'angolo limite che soddisfa entrambe...$alpha le 1.1458°$
La seconda domanda permette il rotolamento (quindi non ti serve più la seconda condizione) ma richiede che non strisci, quindinecessiti della sola prima condizione, e l'angolo limite diventa $alpha le 5.71°$
Il piano inclinato ha angolo $alpha$.
Dividi la forza peso vettorialmente (seni e coseni) nelle due componenti parallela e perpendicolare al piano inclinato:
$Mg cos alpha=N$ = reazione vincolare normale
$Mg sin alpha=S$ = spinta in direzione di discesa e fonte della rotazione del cilindro con braccio pari al raggio
Trovi il valore limite di $M_r$ dato dal testo:
$M_r le 2*10^(-4)*N$
Per stare in equilibrio hai bisogno che:
1) la forza di attrito $mu*N$ sia maggiore della forza di spinta $S$;
2) il momento dato dalla forza di spinta $S$ moltiplicata per il raggio del cilindro (il braccio) sia minore del valore limite trovato sopra.
Verifichiamo la prima necessità:
$mu*(Mg cos alpha) ge Mg sin alpha$
$tan alpha le mu$
$alpha le 5.71°
Verifichiamo la seconda ipotesi:
$R*(Mg sin alpha) le 2*10^(-4)*(Mg cos alpha)$
$tan alpha le 2/R*10^(-4)$
$alpha le 1.1458°$
Tu necessiti che entrambe le condizioni siano verificate (la prima perchè il cilindro non si metta a strisciare ed il secondo perchè non rotoli), quindi la condizione vincolante per la prima domanda è l'angolo limite che soddisfa entrambe...$alpha le 1.1458°$
La seconda domanda permette il rotolamento (quindi non ti serve più la seconda condizione) ma richiede che non strisci, quindinecessiti della sola prima condizione, e l'angolo limite diventa $alpha le 5.71°$
"pizzaf40":
Prendi la forza peso del cilindro (che è applicata al baricentro, che schematizzato in 2D sarà il centro del cerchio che identifica il cilindro).
Il piano inclinato ha angolo $alpha$.
Dividi la forza peso vettorialmente (seni e coseni) nelle due componenti parallela e perpendicolare al piano inclinato:
$Mg cos alpha=N$ = reazione vincolare normale
$Mg sin alpha=S$ = spinta in direzione di discesa e fonte della rotazione del cilindro con braccio pari al raggio
Trovi il valore limite di $M_r$ dato dal testo:
$M_r le 2*10^(-4)*N$
Per stare in equilibrio hai bisogno che:
1) la forza di attrito $mu*N$ sia maggiore della forza di spinta $S$;
2) il momento dato dalla forza di spinta $S$ moltiplicata per il raggio del cilindro (il braccio) sia minore del valore limite trovato sopra.
Verifichiamo la prima necessità:
$mu*(Mg cos alpha) ge Mg sin alpha$
$tan alpha le mu$
$alpha le 5.71°
Verifichiamo la seconda ipotesi:
$R*(Mg sin alpha) le 2*10^(-4)*(Mg cos alpha)$
$tan alpha le 2/R*10^(-4)$
$alpha le 1.1458°$
Tu necessiti che entrambe le condizioni siano verificate (la prima perchè il cilindro non si metta a strisciare ed il secondo perchè non rotoli), quindi la condizione vincolante per la prima domanda è l'angolo limite che soddisfa entrambe...$alpha le 1.1458°$
La seconda domanda permette il rotolamento (quindi non ti serve più la seconda condizione) ma richiede che non strisci, quindinecessiti della sola prima condizione, e l'angolo limite diventa $alpha le 5.71°$
scusami ma il risultato non coincide, e comunque sia nella prima ipotesi non manca la forza che genera il momento resistente?
Nuuuuu ero andato così tranquillo 
chissà cosa non ho capito!
Pensavo che la direzione della forza che crea il momento fosse trascurabile perchè il testo dice che il tutto è schematizzabile come un momento...quindi non mi ero posto il problema, ma forse ho capito male e quella forza, che allora anch'io non comprendo, non mi fa tornare i conti! Buh...
Quali sono gli angoli dati come risultato? Il problema ha solo testo o anche immagini?
chissà cosa non ho capito!Pensavo che la direzione della forza che crea il momento fosse trascurabile perchè il testo dice che il tutto è schematizzabile come un momento...quindi non mi ero posto il problema, ma forse ho capito male e quella forza, che allora anch'io non comprendo, non mi fa tornare i conti! Buh...
Quali sono gli angoli dati come risultato? Il problema ha solo testo o anche immagini?
"pizzaf40":
Nuuuuu ero andato così tranquillo
Pensavo che la direzione della forza che crea il momento fosse trascurabile perchè il testo dice che il tutto è schematizzabile come un momento...quindi non mi ero posto il problema, ma forse ho capito male e quella forza, che allora anch'io non comprendo, non mi fa tornare i conti! Buh...
Quali sono gli angoli dati come risultato? Il problema ha solo testo o anche immagini?
no no mi da solo questo bellissimo testo..i risultati sono
a) 1°
b) 14°57'
Guarda, allora non so proprio, mi spiace tanto...credevo di aver fatto giusto, e non saprei come correggere 
Spero qualcun'altro ti sappia aiutare meglio di me!
Spero qualcun'altro ti sappia aiutare meglio di me!
Sono d'accordo con la risposta data da pizzaf40 alla prima parte (credo che la risposta 1° data dal testo sia un'approssimazione, sebbene non troppo corretta); per la seconda parte invece occorre fare attenzione.
Occorre prima scrivere l'equazione dei momenti e calcolare l'accelerazione angolare del cilindro, poi dall'equazione di Newton si può calcolare l'accelerazione del centro di massa e infine imporre la condizione di rotolamento ($a_c = dot omega * R$), da cui viene fuori la massima inclinazione del piano.
Occorre prima scrivere l'equazione dei momenti e calcolare l'accelerazione angolare del cilindro, poi dall'equazione di Newton si può calcolare l'accelerazione del centro di massa e infine imporre la condizione di rotolamento ($a_c = dot omega * R$), da cui viene fuori la massima inclinazione del piano.
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