Equilibrio al nodo
Sono abbastanza sicuro che si possa scomporre ma non riesco a trovare le equazioni necessarie per calcolare le incognite.
Avendo un nodo con una forza orrizzontale $F$ io vorrei scomporla in altre tre forze di angolature prefissate.
In tutto ho 4 vettori complanari di tutti conosco il verso e la direzione ma solo di uno conosco il modulo.
Come faccio a scomporli per equilibrare il sistema, e scrivere un sistema di equazioni analitico?
Grazie.
Avendo un nodo con una forza orrizzontale $F$ io vorrei scomporla in altre tre forze di angolature prefissate.
In tutto ho 4 vettori complanari di tutti conosco il verso e la direzione ma solo di uno conosco il modulo.
Come faccio a scomporli per equilibrare il sistema, e scrivere un sistema di equazioni analitico?
Grazie.
Risposte
io metterei i vettori su di un piano cartesiano centrati nell'origine degli assi. Poi scriverei ogni vettore come la somma vettoriale delle sue due componeti da calcolare per il versore dell'asse cui fanno riferimento. Conoscendo gli angoli, basta giusto un po' di geometria (se uno non conosce direttamente le formule per farlo) per ottenere le relazioni che legano ra loro i vari vettori e i relativi moduli. Nota, visto che F è tutta orizzontale, ed è la risultante, anche in virtù della regola del parallelogramma, dovrai avere forze con angolo tale che il vettore è sopra l'asse delle x, ma qualcuna dovrà capitare anche sotto l'asse.
provaci se non ci riesci ti posto la parte analitica.
provaci se non ci riesci ti posto la parte analitica.
effettivamente per via grafica ho ragionato anch'io col poligono funicolare....ma vorrei avere un qualcosa di analitico.
Il fatto è che facendo un sistema posso al massimo scrivere solamente 2 equazioni (nel piano) quando invece ho solamente 3 incognite
Il fatto è che facendo un sistema posso al massimo scrivere solamente 2 equazioni (nel piano) quando invece ho solamente 3 incognite
Perdonami può darsi che io non abbia capito il problema, ma se tu dici di avere il modulo di un solo vettore diciamo di F, se lo vuoi equilibrare con altri tre vettori di modulo incognito e direzione fissata hai infinite soluzioni. Cioè la soluzione sarebbe stata unica se i vettori fossero stati due.
Se le direzioni secondo cui scomporre F fossero 2 la soluzione sarebbe univoca, mentre mi pare che scomponendo secondo 3 direzioni le soluzioni siano infinite. Per dimostrare ciò procedo nel seguente modo.
Dette 1, 2 e 3 le direzioni, scelgo una quarta direzione non coincidente con alcuna delle precedenti, che chiamo 4.
Scompongo F secondo le direzioni 1 e 4. La componente F4 la scompongo a sua volta nelle direzioni 2 e 3. In questo modo ho F1, F2, F3 la cui somma è F. Però siccome la direzione 4 è stata scelta in modo arbitrario, ne concludo che le soluzioni possibili sono infinite.
Dette 1, 2 e 3 le direzioni, scelgo una quarta direzione non coincidente con alcuna delle precedenti, che chiamo 4.
Scompongo F secondo le direzioni 1 e 4. La componente F4 la scompongo a sua volta nelle direzioni 2 e 3. In questo modo ho F1, F2, F3 la cui somma è F. Però siccome la direzione 4 è stata scelta in modo arbitrario, ne concludo che le soluzioni possibili sono infinite.
E' vero ragazzi, sono arrivato anch'io a concludere che ho infinite soluzioni, almeno una componente dei 3 vettori deve essere specificata.
Mi chiedevo allora se si potesse utilizzare un qualche metodo di congruenza, ad esempio il plv (forse dico una cavolata) perchè è un problema che credo avvenga spesso nella realtà.
Ad esempio nel mio caso devo ancorare una portante di teleferica a terra tramite 3 tiranti, per quello dovrei sapere quanta tensione l'uno devono essere in grado di sopportare
Mi chiedevo allora se si potesse utilizzare un qualche metodo di congruenza, ad esempio il plv (forse dico una cavolata) perchè è un problema che credo avvenga spesso nella realtà.
Ad esempio nel mio caso devo ancorare una portante di teleferica a terra tramite 3 tiranti, per quello dovrei sapere quanta tensione l'uno devono essere in grado di sopportare
Ecco perché dicevi di conoscere il verso, quindi in questo caso hai una forza che può avere infinite direzioni e, scelta una direzione, almeno un tirante sarà scarico e gli altri due andrebbero ad equilibrare la forza. Il caso più sfarovele, e quindi quello che ti serve per dimensionare i tiranti, è quello della forza che ha la stessa direzione di uno dei tiranti, infatti in questo caso avresti gli altri due tiranti scarichi. Potrebbe essere questa la tua soluzione
Si ho pensato anch'io di far coincidere uno dei tiranti con la direzione della forza, e quindi dimensionarlo in relazione ad essa, cioè a tensione max ma nella pratica non è esattamente così....la forza si dovrebbe distribuire proporzionalemente in un qualche odo calcolabile lungo tutti i tiranti....e non capisco proprio come fare
Forse ho capito cosa intendi, al momento della messa in opera i tiranti vengono già portati in tensione anche se la forza F è nulla, e quindi ammettendo che arrivi una folata di vento ad un dato istante le tensioni dei tiranti cambiano.
Credo che il problema si risolva facendo entrare in gioco la deformazione lineare dei tiranti, devi scrivere qualche equazione di congruenza altrimenti non ne vieni a capo. Se non hai molta familiarità con la scienza delle costruzioni puoi schematizzarlo come un sistema di molle, che abbiano già subito un certo allungamento, collegate ad un nodo a cui può essere applicata una forza avente diverse direzioni. Così dovresti individuare, assegnata una forza, un'unica soluzione.
Credo che il problema si risolva facendo entrare in gioco la deformazione lineare dei tiranti, devi scrivere qualche equazione di congruenza altrimenti non ne vieni a capo. Se non hai molta familiarità con la scienza delle costruzioni puoi schematizzarlo come un sistema di molle, che abbiano già subito un certo allungamento, collegate ad un nodo a cui può essere applicata una forza avente diverse direzioni. Così dovresti individuare, assegnata una forza, un'unica soluzione.
pensavo proprio a quello...magari all'utilizzo del plv ma non saprei come impostarlo...
Guarda secondo me potresti anche fare diversamente, se è il calcolo di una tensione massima nei tiranti che ti interessa, puoi supporre la forza avente la direzione di uno dei tiranti, i due tiranti che si scarcano li consideri come un unico tirante avente un coefficiente elastico equivalente al sistema dei due (il coefficiente elastico è pari all'allungamento dovuto ad una forza unitaria ed è funzione della sezione e della lunghezza del tirante) e quindi immagini un sistema costituito da due tiranti e un nodo. Imponi che l'allungamento dell'uno deve essere pari all'accorciamento dell'altro ed entrambi pari ad uno spostamento imposto e calcoli la forza che occorre per imporre questo spostamento che è uguale alla differenza delle tensioni dei due tiranti.
Ovviamente non conosco la geometria del problema, ma in linea generale è una congruenza che devi applicare imponendo uguali spostamenti.
Di più non so dirti perché dovrei sapere la geometria del problema per capire qual'è la direzione della forza che fornisce la condizione più gravosa e per poter scrivere le equazioni, spero almeno di essere riuscito a fornirti un input
Ovviamente non conosco la geometria del problema, ma in linea generale è una congruenza che devi applicare imponendo uguali spostamenti.
Di più non so dirti perché dovrei sapere la geometria del problema per capire qual'è la direzione della forza che fornisce la condizione più gravosa e per poter scrivere le equazioni, spero almeno di essere riuscito a fornirti un input
dunque la congruenza posso cercarla utilizzando una sorta di coefficenti di influenza?ma ho a che fare con dei continui...
Questo è lo schema con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ arbitrari (e noti).
Questo è lo schema con $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ arbitrari (e noti).
Non ti seguo...insomma se imponiamo uno spostamento al nodo, avremmo che alcuni tiranti si allungheranno e altri si accorceranno, in questa nuova configurazione se io lasciassi libero il nodo avrei che il sistema tornerebbe nella configurazione iniziale (quella prima dello spostamento), ma quindi nella configurazione deformata (dopo lo spostamento imposto) posso calcolare le tensioni dei tre tiranti e quindi arrivare a conoscere la forza F che dovrei imporre al nodo per portarlo in questa configurazione. Se abbiamo una simmetria nella geometria e nelle caratteristiche dei tiranti (modulo di Young, sezione, lunghezza) il problema dovrebbe essere di facile soluzione(sempre che il nostro obiettivo sia dimensionare i tiranti), basta scegliere adeguatamente la direzione dello spostamento.
Correggimi se sbaglio in qualcosa
Correggimi se sbaglio in qualcosa
come lo imposteresti con i calcoli?
Abbiamo un tirante di lunghezza $l_o$ esso viene messo in opera e nel tenderlo si allunga di una quantità pari a $\delta_0$, partendo dalla relazione tra deformazione e tensione calcoliamo la tensione nel tirante:
$\sigma$=$E*\epsilon$
moltiplicando entrambi i membri per la sezione del tirante e tenendo conto che:
$\epsilon$=$\delta_0/l_o$
otteniamo:
T=$A*\sigma$=$A*E*\epsilon$=$A*E*\delta_0/l_o$.
Dopo la messa in opera imponiamo lo spostamento al nodo, calcoliamo l'allungamento (o accorciamento) del tirante in base al modulo dello spostamento e della sua direzione e in base all'angolo che il tirante forma con il vettore spostamento.
Avendo il nuovo allungamento calcoli la tensione del tirante come abbiamo fatto prima.
Fai lo stesso per tutti i tiranti e poi sommi i vettori tensione e ottieni il vettore risultante che è pari alla forza che si deve applicare al nodo per garantire al sistema l'equilibrio nella nuova configurazione.
$\sigma$=$E*\epsilon$
moltiplicando entrambi i membri per la sezione del tirante e tenendo conto che:
$\epsilon$=$\delta_0/l_o$
otteniamo:
T=$A*\sigma$=$A*E*\epsilon$=$A*E*\delta_0/l_o$.
Dopo la messa in opera imponiamo lo spostamento al nodo, calcoliamo l'allungamento (o accorciamento) del tirante in base al modulo dello spostamento e della sua direzione e in base all'angolo che il tirante forma con il vettore spostamento.
Avendo il nuovo allungamento calcoli la tensione del tirante come abbiamo fatto prima.
Fai lo stesso per tutti i tiranti e poi sommi i vettori tensione e ottieni il vettore risultante che è pari alla forza che si deve applicare al nodo per garantire al sistema l'equilibrio nella nuova configurazione.
grazie delle idee, molto gentile. Vedo se riesco a buttar giù qualcosa
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