Equilibrio a momento pendolo doppio
Ciao a tutti !
Oggi vi disturbo per un chiarimento su un esercizio di meccanica. L'esercizio in questione è tratto dal testo Mechanical Vibrations di S. Rao ed è il seguente:
Ecco la prima parte della risoluzione che lui propone:
Ora, so che le equazioni del moto potrebbero essere ricavate in vari modi, ad esempio usando la lagrangiana, ma, al momento, mi interessa capire il metodo da lui usato. In particolare, se non sbaglio, ha usato l'equilibrio a momento intorno al punto O e al punto $m_1$. Le mie domande in particolare sono due:
1- Perché nell'equilibrio a momento intorno al punto O (equazione $E_1$) ha considerato solo le forze agenti su $m_1$ come se $m_2$ non ci fosse e così pure solo il momento di inerzia di $m_1$ ?
2- Ma soprattutto, nell'equazione $E_2$, da dove viene fuori il termine evidenziato $m_2*l_2(l_1*ddot(theta_1))$ e cosa rappresenta ?
Mi rendo conto che ho un bel problema di basi e sto cercando di rimediare. A tal riguardo vi chiedo anche un consiglio su uno (o più) buon testo dal quale partire per colmare le mie lacune e capire come risolvere esercizi di questo tipo ad esempio trovare le equazioni del moto usando le leggi di Newton.
Grazie a quanti risponderanno !
Saluti
Oggi vi disturbo per un chiarimento su un esercizio di meccanica. L'esercizio in questione è tratto dal testo Mechanical Vibrations di S. Rao ed è il seguente:
Ecco la prima parte della risoluzione che lui propone:
Ora, so che le equazioni del moto potrebbero essere ricavate in vari modi, ad esempio usando la lagrangiana, ma, al momento, mi interessa capire il metodo da lui usato. In particolare, se non sbaglio, ha usato l'equilibrio a momento intorno al punto O e al punto $m_1$. Le mie domande in particolare sono due:
1- Perché nell'equilibrio a momento intorno al punto O (equazione $E_1$) ha considerato solo le forze agenti su $m_1$ come se $m_2$ non ci fosse e così pure solo il momento di inerzia di $m_1$ ?
2- Ma soprattutto, nell'equazione $E_2$, da dove viene fuori il termine evidenziato $m_2*l_2(l_1*ddot(theta_1))$ e cosa rappresenta ?
Mi rendo conto che ho un bel problema di basi e sto cercando di rimediare. A tal riguardo vi chiedo anche un consiglio su uno (o più) buon testo dal quale partire per colmare le mie lacune e capire come risolvere esercizi di questo tipo ad esempio trovare le equazioni del moto usando le leggi di Newton.
Grazie a quanti risponderanno !
Saluti
Risposte
Fermo restando che secondo me è puro masochismo usare la seconda equazione cardinale quando si ha una certa dimestichezza con la meccanica razionale 
Spero di esserti utile suggerendoti che il termine aggiuntivo in \(\displaystyle E_2 \) è dovuto al fatto che \(\displaystyle m_1 \) è un polo mobile. Se hai un libro di fisica 1 alla mano certamente vi è dimostrata la formula e puoi controllare la correttezza dell'espressione (leggasi: mi sono dimenticato l'equazione
)
Spero di esserti utile suggerendoti che il termine aggiuntivo in \(\displaystyle E_2 \) è dovuto al fatto che \(\displaystyle m_1 \) è un polo mobile. Se hai un libro di fisica 1 alla mano certamente vi è dimostrata la formula e puoi controllare la correttezza dell'espressione (leggasi: mi sono dimenticato l'equazione
)
Ciao @sphyr !
Innanzitutto grazie della risposta ! Eh, il problema è lì. Ho un polo mobile, ma questa formula di cui parli io non riesco a trovarla sul mio libro (Mazzoldi-Nigro-Voci edizione preriforma)](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
. E non l'ho adocchiata nemmeno su testi di meccanica classica internazionali come il Morin. Sapresti consigliarmi dove cercarla ?
Intendi con Lagrange, ad esempio ?
Innanzitutto grazie della risposta ! Eh, il problema è lì. Ho un polo mobile, ma questa formula di cui parli io non riesco a trovarla sul mio libro (Mazzoldi-Nigro-Voci edizione preriforma)
. E non l'ho adocchiata nemmeno su testi di meccanica classica internazionali come il Morin. Sapresti consigliarmi dove cercarla ?"sphyr":
Fermo restando che secondo me è puro masochismo usare la seconda equazione cardinale quando si ha una certa dimestichezza con la meccanica razionale
Intendi con Lagrange, ad esempio ?
\( \displaystyle \vec{\tau}_P=\frac{d\vec{L}_P}{dt}+\vec{V}\times\vec{p} \)\( \displaystyle \vec{\tau}_P=\frac{d\vec{L}_P}{dt}+\vec{V}\times\vec{p} \)Vediamo di dimostrarla allora:
Sia data un'origine \(\displaystyle O \) e un polo \(\displaystyle P \) in moto con velocità \(\displaystyle \vec{V} \) rispetto ad essa. Allora il momento angolare rispetto a P di un punto materiale con qdm \(\displaystyle \vec{p} \) e distanza dall'origine \(\displaystyle \vec{r} \) è
\(\displaystyle \vec{L}_P=(\vec{r}-\vec{OP})\times\vec{p}=\vec{L}_O-\vec{OP}\times\vec{p} \)
Adesso, indicando con \(\displaystyle \ \vec{\tau}_P \) il momento delle forze rispetto a P,
\(\displaystyle \frac{d\vec{L}_P}{dt}=(\frac{d\vec{r}}{dt}-\frac{d\vec{OP}}{dt})\times\vec{p}+(\vec{r}-\vec{OP})\times\vec{F}=-\vec{V}\times\vec{p}+\vec{\tau}_P \)
da cui otteniamo la seconda equazione cardinale per un polo mobile:
\(\displaystyle \vec{\tau}_P=\frac{d\vec{L}_P}{dt}+\vec{V}\times\vec{p} \)
Curioso che non si trovi nemmeno sul Morin. Fammi sapere se ti aiuta a comprendere meglio lo svolgimento
Sia data un'origine \(\displaystyle O \) e un polo \(\displaystyle P \) in moto con velocità \(\displaystyle \vec{V} \) rispetto ad essa. Allora il momento angolare rispetto a P di un punto materiale con qdm \(\displaystyle \vec{p} \) e distanza dall'origine \(\displaystyle \vec{r} \) è
\(\displaystyle \vec{L}_P=(\vec{r}-\vec{OP})\times\vec{p}=\vec{L}_O-\vec{OP}\times\vec{p} \)
Adesso, indicando con \(\displaystyle \ \vec{\tau}_P \) il momento delle forze rispetto a P,
\(\displaystyle \frac{d\vec{L}_P}{dt}=(\frac{d\vec{r}}{dt}-\frac{d\vec{OP}}{dt})\times\vec{p}+(\vec{r}-\vec{OP})\times\vec{F}=-\vec{V}\times\vec{p}+\vec{\tau}_P \)
da cui otteniamo la seconda equazione cardinale per un polo mobile:
\(\displaystyle \vec{\tau}_P=\frac{d\vec{L}_P}{dt}+\vec{V}\times\vec{p} \)
Curioso che non si trovi nemmeno sul Morin. Fammi sapere se ti aiuta a comprendere meglio lo svolgimento
Allora, supponiamo che abbia capito quella formula (tra poco me la rivedo con calma e mi rifaccio la dimostrazione sperando di afferrarla). Sul Mazzoldi non riuscivo a trovarla perché non c'è. O meglio, nel caso di singolo punto materiale tratta unicamente un polo fisso, mentre nel caso di un sistema di punti materiali si arriva ad una formula simile a quella che hai postato tu con l'unica differenza che, invece di $vec(p)$ del singolo punto si ha $Mvec(v)_(CM)$.
Ora non vorrei sembrarti assillante, ma non è che avresti qualche minuto per mostrarmi passaggio per passaggio come applicarla al problema sopra ? Se non puoi/vuoi capisco benissimo e ti ringrazio ancora.
Ora non vorrei sembrarti assillante, ma non è che avresti qualche minuto per mostrarmi passaggio per passaggio come applicarla al problema sopra ? Se non puoi/vuoi capisco benissimo e ti ringrazio ancora.
"BayMax":
Non è che avresti qualche minuto per mostrarmi passaggio per passaggio come applicarla al problema sopra ? Se non puoi/vuoi capisco benissimo e ti ringrazio ancora.
Lo farei volentieri, ma ho appena provato a scrivere le equazioni e, calcolando \(\displaystyle V\times p \), non mi pare sia questo il metodo utilizzato. Mi scuso per le false speranze :/
Figurati, già sei stato oltremodo utile !
Secondo me il metodo che hai proposto funziona, solo che mi impiccio con le velocità assolute e relative per trovare il momento angolare e non riesco a venirne a capo.
Secondo me il metodo che hai proposto funziona, solo che mi impiccio con le velocità assolute e relative per trovare il momento angolare e non riesco a venirne a capo.
Si è parlato spesso in passato del momento angolare rispetto ad un polo mobile. Nel messaggio seguente :
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8463466
ci sono dei link ad altri messaggi, che bisognerebbe guardare. Qui c’entra poco però.
Ha ragione sphyr , è pazzesco affrontare lo studio del doppio pendolo con la meccanica newtoniana classica, visto anche che prima o poi il moto diventa caotico. Molto meglio usare Lagrange.
Ho fatto qualche ricerca , e ho trovato innanzitutto questo , dove si può notare come la trattazione con Lagrange già sia abbastanza complessa.
Ma siccome sono curioso, e ho buona memoria, mi sono ricordato di un libro di dinamica ( dopo ti dico il nome ) , che riporta queste pagine a proposito della trattazione del doppio pendolo con la meccanica newtoniana
Come vedi, per la massa $m_1$ l’autore usa le coordinate polari, mentre per la massa $m_2$ usa le coordinate cartesiane. Poi ad un certo punto accenna alla linearizzazione delle equazioni, sostituendo i seni degli angoli con gli angoli stessi, ma non so fino a che punto questo sia valido, visto che gli angoli possono diventare comunque grandi nel caso generale.
Io ti passo questa roba, senza neanche provare a soffermarmici, visto che ho anche un bel mal di testa in questo momento. Il libro è questo :
ti auguro buona lettura.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6#p8463466
ci sono dei link ad altri messaggi, che bisognerebbe guardare. Qui c’entra poco però.
Ha ragione sphyr , è pazzesco affrontare lo studio del doppio pendolo con la meccanica newtoniana classica, visto anche che prima o poi il moto diventa caotico. Molto meglio usare Lagrange.
Ho fatto qualche ricerca , e ho trovato innanzitutto questo , dove si può notare come la trattazione con Lagrange già sia abbastanza complessa.
Ma siccome sono curioso, e ho buona memoria, mi sono ricordato di un libro di dinamica ( dopo ti dico il nome ) , che riporta queste pagine a proposito della trattazione del doppio pendolo con la meccanica newtoniana
Come vedi, per la massa $m_1$ l’autore usa le coordinate polari, mentre per la massa $m_2$ usa le coordinate cartesiane. Poi ad un certo punto accenna alla linearizzazione delle equazioni, sostituendo i seni degli angoli con gli angoli stessi, ma non so fino a che punto questo sia valido, visto che gli angoli possono diventare comunque grandi nel caso generale.
Io ti passo questa roba, senza neanche provare a soffermarmici, visto che ho anche un bel mal di testa in questo momento. Il libro è questo :
ti auguro buona lettura.
Ciao @Kanal !
Grazie della risposta !
Chiedo scusa, non ho cercato ma non per pigrizia, perché nella mia sconfinata ignoranza non avevo nemmeno individuato che usasse il teorema del momento angolare rispetto ad un polo mobile. Ti ringrazio per i link che provvederò a leggere il prima possibile.
Concordo in pieno. Tuttavia mi capita ancora che mi venga espressamente richiesto (non capisco il perché, poi) di usare un metodo specifico e non avere piena libertà sulla soluzione, per questo volevo capire da dove ha tirato fuori quel termine in quella soluzione.
La soluzione è decisamente complicata per me. Cercherò di procurarmi il testo che mi hai suggerito e proverò ad analizzarla passo passo. Ti ringrazio davvero !
Grazie della risposta !
"Kanal":
Si è parlato spesso in passato del momento angolare rispetto ad un polo mobile.
Chiedo scusa, non ho cercato ma non per pigrizia, perché nella mia sconfinata ignoranza non avevo nemmeno individuato che usasse il teorema del momento angolare rispetto ad un polo mobile. Ti ringrazio per i link che provvederò a leggere il prima possibile.
"Kanal":
Ha ragione sphyr , è pazzesco affrontare lo studio del doppio pendolo con la meccanica newtoniana classica, visto anche che prima o poi il moto diventa caotico. Molto meglio usare Lagrange.
Concordo in pieno. Tuttavia mi capita ancora che mi venga espressamente richiesto (non capisco il perché, poi) di usare un metodo specifico e non avere piena libertà sulla soluzione, per questo volevo capire da dove ha tirato fuori quel termine in quella soluzione.
"Kanal":
Ma siccome sono curioso, e ho buona memoria, mi sono ricordato di un libro di dinamica ( dopo ti dico il nome ) , che riporta queste pagine a proposito della trattazione del doppio pendolo con la meccanica newtoniana
La soluzione è decisamente complicata per me. Cercherò di procurarmi il testo che mi hai suggerito e proverò ad analizzarla passo passo. Ti ringrazio davvero !
Il secondo volume del Grainer a pagina 290 ha la trattazione della Lagrangiana fatta benissimo
E forse e davvero meno laboriosa ottenerla con la meccanica newtoniana
PS: sere, arrivi a un sistema di difficile soluzione,risolvibile, ma du palle
E forse e davvero meno laboriosa ottenerla con la meccanica newtoniana
PS: sere, arrivi a un sistema di difficile soluzione,risolvibile, ma du palle
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