Equazioni Hamiltoniane

[Keyzan]

Buonasera propongo il seguente esercizio:



Prima di tutto vado a scrivere la Lagrangiana considerando il fatto che:
$L=T-U$
Le coordinate generalizzate del sistema meccanico sono:
$ { ( x=rcostheta ),( y=rsintheta ):} $
e quindi:
$ { ( dot(x)=dot(r)costheta-rsinthetadot(theta) ),( dot(y)=dot(r)sintheta+rcosthetadot(theta) ):} $
si avrà:
$T=1/2m(dot(x)^2+dot(y)^2)=1/2r^2dot(theta)^2+1/2mdot(r)^2$
e
$U=-GM_0/r_0*(r^2/r_1^2+1)/(r^3/r_2^3+1)$
Di conseguenza dovrebbe essere:
$L=1/2r^2dot(theta)^2+1/2mdot(r)^2+GM_0/r_0*(r^2/r_1^2+1)/(r^3/r_2^3+1)$
A questo punto vado a calcolare l'Hamiltoniana. Considero in primis:
$p_dot(theta)=(partialL)/(partialdot(theta))=mrdot(theta)$
$dot(theta)=p_dot(theta)/(mr)$
e
$p_dot(r)=(partialL)/(partialdot(r))=mdot(r)$
$dot(r)=p_dot(r)/m$
Quindi l'Hamiltoniana dovrebbe essere se non sbaglio:
$H(dot(theta), dot(r), p_dot(theta), p_dot(r), t) =p_dot(theta)^2/(mr) + p_dot(r)^2/m -1/2mdot(r)^2-GM_0/r_0*(r^2/r_1^2+1)/(r^3/r_2^3+1)$

[Keyzan]

A questo punto si calcolano le equazioni Hamiltoniane:
$ { ( (partial H)/(partial p_dot(q))=dot(q) ),( (partial H)/(partial q)=-dot(p_(dot(q))) ):} $
Per $q=theta$ si ha:
$ { ( 2p_dot(theta)/(mr)=dot(theta) ),( -dot(p_dot(theta))=0 ):} $
Per $q=r$ si ha:
$ { ( 2p_dot(r)/m=dot(r) ),( -p_dot(theta)^2/(mr^2)-mrdot(theta)^2-GM_0/r_0*partial((r^2/r_1^2+1)/(r^3/r_2^3+1))/(partialr)=-dot(p_(dot(r))) ):} $

Secondo voi fin qua è giusto? (da premettere che è il mio primo esercizio su questo argomento)

[Keyzan]

Se fin qui è giusto provo ad andare avanti