Equazioni differenziali fisiche
Salve, la domanda, com'è mio solito, potrà sembrare un pò strana, però non riesco a trovare una risposta soddisfacente. Prendiamo un oscillatore armonico qualunque. Se in ogni istante di tempo di un certo intervallo vado a misurare la posizione della massa attaccata all'oscillatore, ottengo che viene soddisfatta un'equazione $x=x(t)$ (funzione di una variabile). Questa equazione (o funzione, che dir si voglia) soddisfa una certa equazione differenziale, di secondo ordine se non sbaglio.
Domanda:
1) è possibile che la legge oraria di un oscillatore armonico soddisfi una semplice equazione funzionale che non sia differenziale?
2) perchè solo per l'equazione del pendolo, dell'oscillatore armonico ecc..ci si chiede qual è l'equazione differenziale che viene soddisfatta e non anche per altre equazioni della fisica che possono essere interpretate come funzioni?
Domanda:
1) è possibile che la legge oraria di un oscillatore armonico soddisfi una semplice equazione funzionale che non sia differenziale?
2) perchè solo per l'equazione del pendolo, dell'oscillatore armonico ecc..ci si chiede qual è l'equazione differenziale che viene soddisfatta e non anche per altre equazioni della fisica che possono essere interpretate come funzioni?
Risposte
Provo a rispondere, la risposta alla prima domanda è no, anche se in realtà forse qualcuno piú pignolo potrebbe anche asserire che la domanda non è sussistente, infatti il fatto che l'equazione dell'oscillatore (come qualsiasi altra equazione del moto) sia differenziale è intrinsecamente legato alla fisica tutta, in fisica puoi avere oggetti fermi(o equivalentemente che vanno di moto rettilineo uniforme) o oggetti in moto, nel primo caso l'equazione del moto è banalmente nulla( o forse meglio dire priva di significato, l'oggetto è li e resta li ad ogni istante), nel secondo caso la fisica ci dice che se un corpo si muove, ovvero accelera, allora c'è una forza, e questa forza è legata all'accelerazione che il corpo subisce, attraverso la massa del corpo stesso.
Ovviamente l'accelerazione va dentro la legge della posizione x(t) (eq. Del moto) , ed ecco quindi che hai legato la posizione del corpo alla derivata seconda della posizione (ovvero l'accelerazione) , cioè come vedi il fatto che che esca fuori un'equazione differenziale è dovuto al fatto che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, in generale in fisica troverai eq differenziali ogni qual volta le grandezze di interesse sono interdipendenti, e questo avviene molto spesso come si puó intuire con un attimo di riflessione.
Riguardo la seconda domanda, segue praticamente da quanto detto sopra, non è che tu puoi decidere se usare eq differenziali o meno, è la fisica del fenomeno che ti porta a usarle, intendo dire, sicuramente un fisico matematico riesce anche a impostare Il problema in modo da risolverlo per diverse vie, alcune delle quali potrebbero non passare per equazioni differenziali, ma questo dipende fondamentalmente dal fenomeno trattato.
Ovviamente l'accelerazione va dentro la legge della posizione x(t) (eq. Del moto) , ed ecco quindi che hai legato la posizione del corpo alla derivata seconda della posizione (ovvero l'accelerazione) , cioè come vedi il fatto che che esca fuori un'equazione differenziale è dovuto al fatto che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione, in generale in fisica troverai eq differenziali ogni qual volta le grandezze di interesse sono interdipendenti, e questo avviene molto spesso come si puó intuire con un attimo di riflessione.
Riguardo la seconda domanda, segue praticamente da quanto detto sopra, non è che tu puoi decidere se usare eq differenziali o meno, è la fisica del fenomeno che ti porta a usarle, intendo dire, sicuramente un fisico matematico riesce anche a impostare Il problema in modo da risolverlo per diverse vie, alcune delle quali potrebbero non passare per equazioni differenziali, ma questo dipende fondamentalmente dal fenomeno trattato.
se un corpo si muove, ovvero accelera
Un corpo può benissimo muoversi anche se non accelera, esempio: moto rettilineo uniforme
Si hai ragione,non ho scritto che stavo facendo appello al prIncipio d'inerzia.
"lisdap":Ci risiamo. Vuoi veramente una risposta?
1) è possibile che la legge oraria di un oscillatore armonico soddisfi una semplice equazione funzionale che non sia differenziale?
Eccola: la legge oraria \(x(t)\) di un oscillatore armonico soddisfa la relazione funzionale
\[x(t)=x(t)\]
che NON è una relazione differenziale.
Di solito quando si studia scattano degli automatismi mentali che disinnescano le domande insulse come questa.
2) perchè solo per l'equazione del pendolo, dell'oscillatore armonico ecc..ci si chiede qual è l'equazione differenziale che viene soddisfatta e non anche per altre equazioni della fisica che possono essere interpretate come funzioni?
Mah, non riesco a capire proprio cosa vuoi dire. Ma non mi pare una cosa su cui valga la pena riflettere manco questa.
Invece di imbambolarti su questi pipponi, "metti le mani" nei fenomeni che studi, fai i conti, appendici i numerini. Questo tipo di lavoro ti darà quel grip intuitivo che ti sembra sfuggire.
"dissonance":
Mah, non riesco a capire proprio cosa vuoi dire. Ma non mi pare una cosa su cui valga la pena riflettere manco questa.
Ciao dissonance. Prendi l'equazione di stato dei gas perfetti scritta nella forma $p=nR(T/V)$, con $n$ numero, oppure $p=((nR)/V)*T$, con $n, V$ numeri. Nel primo caso abbiamo una funzione di due variabili, nel secondo caso di una. Perché non ci si chiede quale equazione differenziale (alle derivate parziali eventualmente/ordinaria) rispettivamente soddisfano?
Capisco che c'è poco da riflettere, la mia era più che altro una curiosità
Mah, secondo me il procedimento è l'inverso. Prendiamo il caso dell'oscillatore armonico, studiando determinati problemi si perviene ad un'equazione del tipo [tex]{d^2x \over dt^2} + a{dx \over dt} = 0[/tex] e risolvendola, come hai detto tu, si ricava l'asserzione che la legge oraria del moto armonico soddisfa l'equazione differenziale di cui sopra. Ma il procedimento (nella maggior parte dei casi) non è l'inverso, ovvero che prima si trova la legge oraria e ci si chiede da dove arriva.
Quindi l'esempio che fai della legge dei gas è diverso da quello dll'oscillatore armonico. La legge c'è già, determinata sperimentalmente, e non serve domandarsi da quale equazione sia stata generata.
Concludendo, secondo me devi pensare che l'obiettivo è trovare la legge che governa un determinato tipo di fenomeno. Se poi, studiando vari problemi (come nel caso dell'oscillatore armonico) si nota che questo tipo di legge spiega una moltitudine di fenomeni (onde, forze elastiche, pendoli), allora si può costruire una teoria e studiare le equazioni che la generano.
Quindi l'esempio che fai della legge dei gas è diverso da quello dll'oscillatore armonico. La legge c'è già, determinata sperimentalmente, e non serve domandarsi da quale equazione sia stata generata.
Concludendo, secondo me devi pensare che l'obiettivo è trovare la legge che governa un determinato tipo di fenomeno. Se poi, studiando vari problemi (come nel caso dell'oscillatore armonico) si nota che questo tipo di legge spiega una moltitudine di fenomeni (onde, forze elastiche, pendoli), allora si può costruire una teoria e studiare le equazioni che la generano.
Ho io una domanda (non retorica) per lisdap:
qual è la relazione fondamentale della Meccanica per te?
qual è la relazione fondamentale della Meccanica per te?
"mircoFN":
Ho io una domanda (non retorica) per lisdap:
qual è la relazione fondamentale della Meccanica per te?
Non ho capito la domanda, puoi essere più preciso
?
Ho io una domanda (non retorica) per lisdap:
qual è la relazione fondamentale della Meccanica per te?
Non ho capito la domanda, puoi essere più preciso
Suppongo intenda l'equazione più importante della meccanica.
ovvero ......
Mi state interrogando ?
Boh, ce ne sono tante di equazioni, suppongo $vec F=m*vec a$.
?Boh, ce ne sono tante di equazioni, suppongo $vec F=m*vec a$.
"lisdap":
Mi state interrogando
Boh, ce ne sono tante di equazioni, suppongo $vec F=m*vec a$.
Perfetto, ti sei risposto da solo (e due volte).
1) la risposta all'interrogazione
è corretta (avevi anche una seconda possibilità altrettanto valida, ma questa va bene).2) Dovresti renderti conto perché tutta la meccanica è basata su equazioni differenziali visto che prende origine proprio da una equazione di quel tipo.
La seconda possibiltà valida ,secondo me ,è la legge di gravitazione universale 
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