Equazioni di Poisson

[Peppe94CT1]

Salve, ho dei dubbi su un esercizio che ci è stato assegnato dal professore in uno dei compiti d'esame. Vi alleggo un'immagine con il testo dell'esercizio (la domanda si riferisce all'esercizio 1, ma foste in grado di spiegarmi anche l'esercizio EXTRA ve ne sarei grato)



Alcuni miei colleghi sono poi andati al ricevimento del professore per chiedere spiegazioni e questa è la risoluzione da lui indicata:



Ma alcuni passaggi non mi sono chiari, in particolare non capisco come fa a passare dalla definizione di fi(r) all'integrale triplo.
Attendendo risposta, vi ringrazio anticipatamente

EDIT: Dato che l'immagine del testo non viene visualizzata correttamente, vi lascio il suo link http://oi57.tinypic.com/2gy0p45.jpg

[DelCrossB]

Ciao Peppe! Le trasformate di Fourier le hai mai studiate? Per risolvere quel tipo di equazioni si scrivono $\phi$ e $\delta$ come antitrasformate, si fa quindi agire il laplaciano all'interno dell'integrale che rappresenta $\phi$ e quindi si trova, uguagliando gli integrandi (o svolgendo gli integrali), il nucleo di Green dell'operatore (che è proprio la soluzione al problema di Poisson con sorgente puntuale).

[Peppe94CT1]

Sono al secondo anno di Ingegneria Industriale, né in Analisi (I o II) né in Algebra abbiamo fatto trasformata di Fourier, operatore nabla, operatore laplaciano e altre mille cose che, però, il professore di Fisica II da per scontate e che ha, forse, solo accennato qualche volta a lezione. Non è che potresti spiegarmi un po' meglio (magari con qualche passaggio) quello che hai scritto? Se è una cosa eccessivamente dispendiosa in termini di tempo lascia perdere, ti ringrazio ugualmente per la risposta!

[DelCrossB]

Mi lasciano un po' stupito questi esercizi: sono iscritto a fisica e non credo di aver mai visto problemi del genere in un compito d'esame di fisica II. Sarei curioso di sapere la domanda extra in che ambito ti sia stata posta.. o meglio, se ve l'ha introdotta con qualche applicazione. La $\psi$ ha un significato fisico o si tratta di un esercizio di matematica?

Per quanto riguarda la funzione di Green del laplaciano, perdonami, ma non credo di essere in grado di farti una carrellata di tutta la matematica che servirebbe per comprendere a fondo la soluzione del problema: è molta, troppa roba perché possa essere riassunta in un solo post.

[Peppe94CT1]

Allora, in ordine, non so come la domanda extra sia stata posta perché io non ho partecipato al primo appello, ma parteciperò al secondo (sperando che i testi siano uguali, come al solito), quindi non ti so dire in che ambito la domanda sia stata posta, ma sono propenso a pensare che sia semplicemente stata dettata. Riguardo alla ψ non ti so dire di preciso perché, avendo avuto lo stesso professore di Fisica I, quest'anno ho deciso di non frequentare il corso, dato che già dalle prime lezioni mi sentivo nervoso a dover annuire, facendo finta di aver capito, quando in realtà non avevo gli strumenti matematici per poter capire. Posso però dirti che il professore di Analisi II, a cui alcuni miei colleghi hanno sottoposto gli esercizi del compito per avere delle delucidazioni quantomeno matematiche, ha posto la tua stessa domanda, ma nessuno di loro è stato in grado di rispondergli e questo mi fa pensare che questo ψ rappresenti una grandezza di natura non sufficientemente specificata. Saresti invece in grado di dirmi cosa rappresenti la grandezza φ(r) presente nel primo esercizio?

[DelCrossB]

Sai che in elettrostatica il campo elettrico è conservativo, pertanto può essere espresso come il gradiente di un campo scalare:

$\vec{E} = - \nabla\phi$

Sostituendo questa espressione ad $\vec{E}$ nella prima equazione di Maxwell (espressa in unità di Gauss)($\nabla\cdot\vec{E}=4\pi\rho$) si arriva all'equazione:

$\nabla\cdot\nabla\phi=\Delta\phi=-4\pi\rho$

Dove $\rho$ rappresenta la densità di carica. $\rho(r)=q\delta(r)$ rappresenta una sorgente puntiforme di carica $q$ posta nell'origine del sistema di riferimento. Pertanto, risolvere quella equazione vuol dire trovare il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme.

[Peppe94CT1]

Ma non capisco un'altra cosa, io sto studiando dal Landau e, in un capitolo scrive il campo elettrico con la formula che hai usato tu, con
$\vec E=-gradphi$
mentre, quando introduce il discorso sull'invarianza di Gauge, esprime E come
$\vec E=-1/c(delvecA)/(delt)-gradphi$
Le due scritture sono equivalenti?

|EDIT| Forse la prima si riferisce ad un campo elettromagnetico costante e la seconda ad un campo variabile?

[DelCrossB]

No, le scritture non sono equivalenti: la seconda è una generalizzazione della prima. In elettrostatica (ossia in presenza di distribuzione di carica $\rho$ non variabile nel tempo) il campo elettrico è conservativo e quindi vale $\vec{E}=-\nabla\phi$. Nel caso generico, quindi in presenza di correnti e campi magnetici, il campo elettrico non è più conservativo, ma lo è invece la quantità $\vec{E}+1/c(\del\vec{A})/(\del t)$ da cui ricavi la seconda equazione che hai scritto.

P.s.: stai studiando dal volume 2 o dall'8 del corso di fisica teorica di Landau?

[Peppe94CT1]

Dal volume 2. Ho saltato i primi due capitoli (che si riferiscono ad argomento già trattato in Fisica I con il 1° volume del Landau) e stavo cercando di capire i capitoli III, IV e V. Ardua impresa Comunque ti ringrazio!