Equazioni di Navier-Stokes sistemi non inerziali
Salve, mi sono imbattuto in questo esercizio di fluidodinamica che però mi dà una difficoltà nell'impostazione.
Sono date due vasche cilindriche (della stessa forma) collegati da una tubazione di raggio $R$ noto. Sono riempito di un liquido newtoniano di densità $\rho$ e viscosità $\mu$. La tubazione è collegata attraverso un braccio rigido di lunghezza $l$ ad sistema che permette la rotazione, come in figura. Quindi l'asta di collegamento fa girare il sistema con velocità angolare $\omega$. La distanza del serbatoio $A$ dall'asse di rotazione è pari ad $L_A$, mentre quella di $B$ è pari a $L_B$. Trovare il profilo di velocità del liquido nella tubazione.
Mi pongo nel sistema non inerziale, quindi solidale al tubo e prendo l'origine ad altezza della tubazione nel punto in cui l'asta si congiunge. Inoltre pongo l'asse $z$ parallelo alla tubazione diretto verso destra. Scrivo l'equazione di Navier-Stokes in coordinate cilindriche per sistemi di riferimento non inerziali lungo la coordinata $z$:
\[
\rho\Big( \frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r \frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{r} \frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \Big)=-\frac{\partial P}{\partial z} + \mu \Big( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial v_z}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial z^2} \Big) + \rho g_z - \rho a_{t,z} - \rho a_{c,z}
\]
Dove $a_{t,z}$ indica la componente $z$ dell'accelerazione di trascinamento e $a_{c,z}$ la componente $z$ dell'accelerazione di Coriolis. Mentre $g_z$ è la componente lungo $z$ dell'accelerazione gravitazionale, che è zero per come ho preso l'asse $z$ (orizzontale).
Il moto del liquido è unidirezionale e stazionario, inoltre la velocità è siffatta:
\[
\vec{v}=(v_z,v_r,v_{\theta})=(v_z,0,0), \: \: \: \: \: v_z=v_z(r)
\]
quindi il membro di sinistra va tutto a zero. Per il membro di destra ho difficoltà a scrivere le accelerazioni. Quella di Coriolis si può calcolare con:
\[
a_c=2 \vec{v} \times {\vec{\omega}} \: \: \Rightarrow \: \: a_{c,z}=0
\]
Mentre quella di trascinamento, dato che il sistema non inerziale ruota ma non trasla, è essenzialmente l'accelerazione centrifuga. Per una particella fluido a distanza $z$ dall'asse di rotazione, posso scrivere:
\[
\vec{a}_t=\vec{a}_{centr}=\omega^2 z \hat{z} \: \: \: \Rightarrow \: \: \: a_{t,z}=\omega^2 z
\]
La domanda è: non posso inserire $a_{t,z}=\omega^2 z$ nella Navier-Stokes siccome poi devo integrare in $r$ (e non in $z$), quindi devo calcolare la forza centrifuga agente su tutto il liquido, quindi integrando (in qualche modo) l'espressione $a_{t,z}=\omega^2 z$ lungo $z$? Il $dz$ da dove uscirebbe fuori?
Grazie per aver letto fin qua! :]]
Sono date due vasche cilindriche (della stessa forma) collegati da una tubazione di raggio $R$ noto. Sono riempito di un liquido newtoniano di densità $\rho$ e viscosità $\mu$. La tubazione è collegata attraverso un braccio rigido di lunghezza $l$ ad sistema che permette la rotazione, come in figura. Quindi l'asta di collegamento fa girare il sistema con velocità angolare $\omega$. La distanza del serbatoio $A$ dall'asse di rotazione è pari ad $L_A$, mentre quella di $B$ è pari a $L_B$. Trovare il profilo di velocità del liquido nella tubazione.
Mi pongo nel sistema non inerziale, quindi solidale al tubo e prendo l'origine ad altezza della tubazione nel punto in cui l'asta si congiunge. Inoltre pongo l'asse $z$ parallelo alla tubazione diretto verso destra. Scrivo l'equazione di Navier-Stokes in coordinate cilindriche per sistemi di riferimento non inerziali lungo la coordinata $z$:
\[
\rho\Big( \frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r \frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_{\theta}}{r} \frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} \Big)=-\frac{\partial P}{\partial z} + \mu \Big( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial v_z}{\partial r}) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 v_z}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 v_z}{\partial z^2} \Big) + \rho g_z - \rho a_{t,z} - \rho a_{c,z}
\]
Dove $a_{t,z}$ indica la componente $z$ dell'accelerazione di trascinamento e $a_{c,z}$ la componente $z$ dell'accelerazione di Coriolis. Mentre $g_z$ è la componente lungo $z$ dell'accelerazione gravitazionale, che è zero per come ho preso l'asse $z$ (orizzontale).
Il moto del liquido è unidirezionale e stazionario, inoltre la velocità è siffatta:
\[
\vec{v}=(v_z,v_r,v_{\theta})=(v_z,0,0), \: \: \: \: \: v_z=v_z(r)
\]
quindi il membro di sinistra va tutto a zero. Per il membro di destra ho difficoltà a scrivere le accelerazioni. Quella di Coriolis si può calcolare con:
\[
a_c=2 \vec{v} \times {\vec{\omega}} \: \: \Rightarrow \: \: a_{c,z}=0
\]
Mentre quella di trascinamento, dato che il sistema non inerziale ruota ma non trasla, è essenzialmente l'accelerazione centrifuga. Per una particella fluido a distanza $z$ dall'asse di rotazione, posso scrivere:
\[
\vec{a}_t=\vec{a}_{centr}=\omega^2 z \hat{z} \: \: \: \Rightarrow \: \: \: a_{t,z}=\omega^2 z
\]
La domanda è: non posso inserire $a_{t,z}=\omega^2 z$ nella Navier-Stokes siccome poi devo integrare in $r$ (e non in $z$), quindi devo calcolare la forza centrifuga agente su tutto il liquido, quindi integrando (in qualche modo) l'espressione $a_{t,z}=\omega^2 z$ lungo $z$? Il $dz$ da dove uscirebbe fuori?
Grazie per aver letto fin qua! :]]
Risposte
Ho pensato che, dato il fatto che il termine $-\rho a_t=-\rho a_{\text{centrifuga}}=-\rho a_c$ è la forza centrifuga per unità di volume allora potrebbe essere che:
\[
\rho a_{c}=\frac{\text{forza centrifuga agente su tutto il braccio}}{\text{volume di liquido contenuto sul braccio}}
\]
Ossia in formule, indicando con $S$ la sezione della tubazione:
\[
\rho a_c=\frac{\int_{\text{braccio}} \rho \omega^2 z dz S}{SL}=\frac{ \int_{-L_A}^0 \rho \omega^2 z dz S + \int_0^{L_B} \rho \omega^2 z dz S}{S(L_A+L_B)}
\]
Dove $S\rhodz$ è proprio la massa dell'elemento infinitesimo di massa fluido, che moltiplicata per $\omega^2$ e per la distanza dall'asse di rotazione rende proprio la forza centrifuga agente sull'elementino.
Quindi a conti fatti:
\[
\rho a_c=(1/2) \rho \omega^2 \frac{L_A^2+L_B^2}{L_A+L_B}
\]
E questa espressione la inserisco nella Navier-Stokes così come è, per poi integrare in $r$. Cosa ne pensate?
\[
\rho a_{c}=\frac{\text{forza centrifuga agente su tutto il braccio}}{\text{volume di liquido contenuto sul braccio}}
\]
Ossia in formule, indicando con $S$ la sezione della tubazione:
\[
\rho a_c=\frac{\int_{\text{braccio}} \rho \omega^2 z dz S}{SL}=\frac{ \int_{-L_A}^0 \rho \omega^2 z dz S + \int_0^{L_B} \rho \omega^2 z dz S}{S(L_A+L_B)}
\]
Dove $S\rhodz$ è proprio la massa dell'elemento infinitesimo di massa fluido, che moltiplicata per $\omega^2$ e per la distanza dall'asse di rotazione rende proprio la forza centrifuga agente sull'elementino.
Quindi a conti fatti:
\[
\rho a_c=(1/2) \rho \omega^2 \frac{L_A^2+L_B^2}{L_A+L_B}
\]
E questa espressione la inserisco nella Navier-Stokes così come è, per poi integrare in $r$. Cosa ne pensate?
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