Equazioni di Maxwell e equazione delle onde
Ciao a tutti, sto studiando le onde elettromagnetiche.. mi chiedevo se fosse possibile ricavare dalle equazioni di Maxwell nel vuoto l'equazione generale delle onde in tre dimensioni.. il mio libro non approfondisce molto su questo argomento, mi piacerebbe quindi sapere se c'è una relazione "profonda" fra queste due relazioni. Mi spiego meglio, sappiamo che nel vuoto le equazioni di Maxwell in forma locale assumono le seguenti forme:
$ { ( vec(\nabla)*vec(E)=0 ),( vec(\nabla)*vec(B)=0 ),( vec(\nabla)xxvec(E)=-(dvec(B))/dt ),( vec(\nabla)xxvec(B)=-mu_0\varepsilon_0(dvec(E))/dt ):} $
La soluzione di questo sistema alle derivate parziali è proprio l'equazione delle onde in 3 dimensioni?
$ \nabla^2f-1/v^2(\partialf)/(\partialt)=0 $
Se si qualcuno può farmi una dimostrazione (anche in una caso particolare, come ne caso di onde unidimensionali) o indicarmi dove trovarla? Grazie a tutti in anticipo
$ { ( vec(\nabla)*vec(E)=0 ),( vec(\nabla)*vec(B)=0 ),( vec(\nabla)xxvec(E)=-(dvec(B))/dt ),( vec(\nabla)xxvec(B)=-mu_0\varepsilon_0(dvec(E))/dt ):} $
La soluzione di questo sistema alle derivate parziali è proprio l'equazione delle onde in 3 dimensioni?
$ \nabla^2f-1/v^2(\partialf)/(\partialt)=0 $
Se si qualcuno può farmi una dimostrazione (anche in una caso particolare, come ne caso di onde unidimensionali) o indicarmi dove trovarla? Grazie a tutti in anticipo
Risposte
La risposta alla domanda è: sì! Si può ricavare l'equazione delle onde dalle equazioni di Maxwell. La dimostrazione c'è, ad esempio, su Mencuccini, Silvestrini.
Sostanzialmente devi fare il rotore della terza o della quarta equazione ed usare l'identità
\[
\nabla \times (\nabla \times V) = \nabla (\nabla \cdot V) - \nabla^2 V
\]
dove ho scritto il laplaciano in quella maniera indecorosa semplicemente perché questa identità si "mnemonizza" come "gradiva almeno un gelatino" [= grad div - gelato [che secondo alcuni fisici è rappresentato da \(\nabla^2\)]].
Facendo i conti escono le equazioni delle onde per \(B\) ed \(E\).
Sostanzialmente devi fare il rotore della terza o della quarta equazione ed usare l'identità
\[
\nabla \times (\nabla \times V) = \nabla (\nabla \cdot V) - \nabla^2 V
\]
dove ho scritto il laplaciano in quella maniera indecorosa semplicemente perché questa identità si "mnemonizza" come "gradiva almeno un gelatino" [= grad div - gelato [che secondo alcuni fisici è rappresentato da \(\nabla^2\)]].
Facendo i conti escono le equazioni delle onde per \(B\) ed \(E\).
La dimostrazione in realtà non è per nulla difficile. Prendi l'equazione \(\displaystyle \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \) e applica il rotore ad entrambi i membri:
\[\displaystyle \nabla\times \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)}{\partial t} \]
Adesso ricorda che \(\displaystyle \nabla\times\mathbf{B}=\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\), e l'identità vettoriale \(\displaystyle \nabla\times \nabla\times\mathbf{E}=-\nabla^2\cdot\mathbf{E}+\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})\), supponendo però che il campo sia solenoidale, e quindi abbia divergenza nulla: con un paio di conti ottieni
\[\displaystyle \nabla^2\mathbf{E}=\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial^2t} \] che è proprio l'equazione delle onde per il campo elettrico.
Con una notazione più compatta, introducendo l'operatore d'alembertiano, puoi scrivere \(\Box\mathbf{E}=0\). In modo assolutamente analogo si deriva anche l'equazione \(\Box\mathbf{B}=0\).
P.S. Ho visto tardi la risposta di Raptorista. Sono d'accordo che la notazione migliore per il laplaciano è \(\Delta\)
\[\displaystyle \nabla\times \nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\left(\nabla\times\mathbf{B}\right)}{\partial t} \]
Adesso ricorda che \(\displaystyle \nabla\times\mathbf{B}=\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\), e l'identità vettoriale \(\displaystyle \nabla\times \nabla\times\mathbf{E}=-\nabla^2\cdot\mathbf{E}+\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})\), supponendo però che il campo sia solenoidale, e quindi abbia divergenza nulla: con un paio di conti ottieni
\[\displaystyle \nabla^2\mathbf{E}=\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial^2t} \] che è proprio l'equazione delle onde per il campo elettrico.
Con una notazione più compatta, introducendo l'operatore d'alembertiano, puoi scrivere \(\Box\mathbf{E}=0\). In modo assolutamente analogo si deriva anche l'equazione \(\Box\mathbf{B}=0\).
P.S. Ho visto tardi la risposta di Raptorista. Sono d'accordo che la notazione migliore per il laplaciano è \(\Delta\)
Grazie mille! Ho capito perfettamente 
non era difficile la dimostrazione.. non so perché non ci sia nel mio libro, secondo me è molto istruttiva.
Ne approfitto per chiedere un altro dubbio: non mi è ancora ancora chiaro quale sia il significato fisico dell'operatore laplaciano. Ho pensato: il laplaciano è la divergenza del gradiente quindi in teoria dovrebbe dirmi se nel campo "di pendenze" che ho ottenuto con il gradiente ci sono "pozzi o sorgenti" in un dato punto dello spazio.. c'è un modo più intuitivo di vedere questo operatore?
non era difficile la dimostrazione.. non so perché non ci sia nel mio libro, secondo me è molto istruttiva. Ne approfitto per chiedere un altro dubbio: non mi è ancora ancora chiaro quale sia il significato fisico dell'operatore laplaciano. Ho pensato: il laplaciano è la divergenza del gradiente quindi in teoria dovrebbe dirmi se nel campo "di pendenze" che ho ottenuto con il gradiente ci sono "pozzi o sorgenti" in un dato punto dello spazio.. c'è un modo più intuitivo di vedere questo operatore?
Ma che importa cosa singifica il laplaciano, è un operatore matematico, come tutti gli altri non ha nessun significato...
Puoi vederla così: il laplaciano di una funzione valutato in un punto $x_0$ è la velocità con cui il valore medio della funzione su intoni sferici $B_r(x_0)$ centrati in $x_0$ varia rispetto a $f(x_0)$ al crescere del raggio $r$ dell'intorno.
Quindi se il laplaciano è positivo in un punto, allora il valore medio della funzione in un suo intorno sferico sarà maggiore del valore della funzione nel punto, se negativo, minore.
Le funzioni armoniche, che obbediscono all'equazione differenziale di Laplace \(\displaystyle \Delta f=0 \), sono quelle per cui il valore medio è uguale al valore della funzione indipendentemente dal raggio $r$ scelto.
Quindi se il laplaciano è positivo in un punto, allora il valore medio della funzione in un suo intorno sferico sarà maggiore del valore della funzione nel punto, se negativo, minore.
Le funzioni armoniche, che obbediscono all'equazione differenziale di Laplace \(\displaystyle \Delta f=0 \), sono quelle per cui il valore medio è uguale al valore della funzione indipendentemente dal raggio $r$ scelto.
CHIARISSIMO! Grazie mille
Grazie mille
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