Equazioni di lagrange, espressione dell'energia cinetica
Parto dalla premessa che per rispondere a questo messaggio sarebbe opportuno prima leggere il mio messaggio precedente a questo (per un fatto di notazioni tutto qui). Allora riprendiamo le notazioni dell'altra volta e cerchiamo di esprimere l'energia cinetica:
$T = \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i \vec x_i^2$, ove qui stiamo considerando non più un unico vettore di 3n componenti ma i singoli punti $P_i = \vec x_i = (x_1,x_2,x_3)$, tuttavia possiamo riprendere l'espressione ricavata l'altra volta: $\dot \bb x_i = \sum_{k=1}^{l}\frac{\partial \bb x_i}{\partial q_k}\dot q_k+ \frac{\partial \bb x_i}{\partial t}$. Mi sono messo li a fare i calcoli e ho ottenuto (spero sia tutto giusto):
Lasciamo un attimo da parte $ \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i$ e concentriamoci sul singolo punto:
$\sum_{k,h=1}^{l}\partial_{q_k} \bb x_i \partial_{q_k} \bb x_i \dot q_k \dot q_h + 2 \sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i + (\partial_t \bb x_i)^2 $. I due termini li lasciamo da parte per un momento e lavoriamo sul primo ottenendo (potrei aver sbagliato):
$\sum_{k = 1}^{l} (\partial_{q_k} \bb x_i)^2 (\dot q_k)^2 + \sum_{k \ne j} (\partial_{q_k} \bb x_i) \dot q_k (\partial_{q_j} \bb x_i)\dot q_j$
Ho quindi definito la matrice (posto l'immagine) :
ottenendo infine:
$ \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i[\hat A + 2 \sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i + (\partial_t \bb x_i)^2 ]$
$\sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i\hat A + \sum_i m_i (\sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i) + 1/2 \sum_i mi (\partial_t \bb x_i)^2$
Il libro invece fa in maniera un po' diversa però non capisco la notazione (non fa nessun calcolo ovviamente):
gli ultimi due termini sono uguali ai miei mentre il primo lo definisce così:
$1/2 \sum_{k,h=1}^{l}a_{hk} \dot q_h \dot q_k$ ove si ha:
$a_{hk} = sum_{i}^{n} m_i partial_{q_h} \bb x_i \partial_{q_k} = a_{kh}(bb q, t) $
Qualcuno potrebbe scrivermi come si svolge questa sommatoria (che ha indice $i$, ma presenta in realtà due indici $h,k$ che non so come vadano fatti variare ????)
Adesso l'ultimo problema, il libro dice infine che $a_{hk}$ non è altro che l'hessiana di $T$ rispetto alle $\dot q_k$:
$a_{hk} = \frac{ \partial^2T }{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}$ e dunque otteniamo che :
$\hat T = 1/2 \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_k \dot q_k = 1/2 \dot \bb q \cdot H_T \cdot \dot \bb q$
Ma a me quell'Hessiana non torna: perché deriva rispetto alle $dot q_k$
In sintesi qualcuno potrebbe spiegarmi come è fatta quella matrice che entra nella forma quadratica, e sopratutto perché equivale a quell'Hessiana
?
Ringrazio in anticipo, e scusate se ho fatto errori di notazione, è stato davvero complicato
$T = \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i \vec x_i^2$, ove qui stiamo considerando non più un unico vettore di 3n componenti ma i singoli punti $P_i = \vec x_i = (x_1,x_2,x_3)$, tuttavia possiamo riprendere l'espressione ricavata l'altra volta: $\dot \bb x_i = \sum_{k=1}^{l}\frac{\partial \bb x_i}{\partial q_k}\dot q_k+ \frac{\partial \bb x_i}{\partial t}$. Mi sono messo li a fare i calcoli e ho ottenuto (spero sia tutto giusto):
Lasciamo un attimo da parte $ \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i$ e concentriamoci sul singolo punto:
$\sum_{k,h=1}^{l}\partial_{q_k} \bb x_i \partial_{q_k} \bb x_i \dot q_k \dot q_h + 2 \sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i + (\partial_t \bb x_i)^2 $. I due termini li lasciamo da parte per un momento e lavoriamo sul primo ottenendo (potrei aver sbagliato):
$\sum_{k = 1}^{l} (\partial_{q_k} \bb x_i)^2 (\dot q_k)^2 + \sum_{k \ne j} (\partial_{q_k} \bb x_i) \dot q_k (\partial_{q_j} \bb x_i)\dot q_j$
Ho quindi definito la matrice (posto l'immagine) :
ottenendo infine:
$ \sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i[\hat A + 2 \sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i + (\partial_t \bb x_i)^2 ]$
$\sum_{i=1}^{n} 1/2 m_i\hat A + \sum_i m_i (\sum_{k=1}^{l} \partial_{q_k}\bb x_i \dot q_k \partial_t \bb x_i) + 1/2 \sum_i mi (\partial_t \bb x_i)^2$
Il libro invece fa in maniera un po' diversa però non capisco la notazione (non fa nessun calcolo ovviamente):
gli ultimi due termini sono uguali ai miei mentre il primo lo definisce così:
$1/2 \sum_{k,h=1}^{l}a_{hk} \dot q_h \dot q_k$ ove si ha:
$a_{hk} = sum_{i}^{n} m_i partial_{q_h} \bb x_i \partial_{q_k} = a_{kh}(bb q, t) $
Qualcuno potrebbe scrivermi come si svolge questa sommatoria (che ha indice $i$, ma presenta in realtà due indici $h,k$ che non so come vadano fatti variare ????)
Adesso l'ultimo problema, il libro dice infine che $a_{hk}$ non è altro che l'hessiana di $T$ rispetto alle $\dot q_k$:
$a_{hk} = \frac{ \partial^2T }{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}$ e dunque otteniamo che :
$\hat T = 1/2 \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_k \dot q_k = 1/2 \dot \bb q \cdot H_T \cdot \dot \bb q$
Ma a me quell'Hessiana non torna: perché deriva rispetto alle $dot q_k$
In sintesi qualcuno potrebbe spiegarmi come è fatta quella matrice che entra nella forma quadratica, e sopratutto perché equivale a quell'Hessiana
?Ringrazio in anticipo, e scusate se ho fatto errori di notazione, è stato davvero complicato
Risposte
Riporto il riferimento così sarà tutto più chiaro spero:
Allora, purtroppo stai confondendo due matrici diverse.
Non preoccuparti perche' come abbiamo gia' detto, non e' una passeggiata capire subito quello che dice quel libro.
C'e' un tipo di matrice che, siccome e' famosa, ha un nome e si chiama hessiana.
La trovi anche su Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hessiana
La matrice hessiana e' questa cosa qui sotto, ed e' solo e solamente questa.
Dentro ci sono delle derivate seconde, solo e solamente delle derivate seconde.
Ovvero si prende una funzione che dipende da tante variabili indipendenti.
Si deriva una prima volta rispetto a una variabile indipendente e poi si deriva una seconda volta rispetto ad un altra (o alla stessa) variabile indipendente.
\[ \displaystyle \displaystyle \operatorname {H}
f={\begin{bmatrix}
\displaystyle {
\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}^{2}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}\,\partial q_{n}}}\\\\
\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}\,\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}^{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}\,\partial q_{n}}}\\\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}\,\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}\,\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}^{2}}}
\end{bmatrix}},
\qquad (\operatorname {H} f)_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{i}\,\partial q_{j}}} \]
Poi c'e' quest'altra matrice, che assomiglia molto alla hessiana, ma non e' per niente la stessa cosa.
Non ha un nome, che sappia io, e l'ho chiamata io $G$.
Dentro ci sono delle moltiplicazioni di due derivate prime.
Cioe' si prende una funzione che dipende da tante variabili indipendenti, e si prendono le derivate prime, (non le derivate seconde).
Con le derivate prime si formano delle coppie e si moltiplicano tra di loro a due a due.
Ovvero sono delle moltiplicazioni a coppie, di derivate prime.
\[ \displaystyle \displaystyle \operatorname {G}
f={\begin{bmatrix}
\displaystyle {
\left(\frac {\partial f}{\partial q_{1}} \right)^2 }
& \displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{1}} \frac {\partial f}{\partial q_{2}} }
&\cdots
&\displaystyle { \frac {\partial f}{\partial q_{1}} \frac {\partial f}{\partial q_{n}} }\\\\
\displaystyle { \frac {\partial f}{\partial q_{2}} \frac {\partial f}{\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\left(\frac {\partial f}{\partial q_{2}} \right)^2}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{2}} \frac {\partial f}{\partial q_{n}} }\\\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \frac {\partial f}{\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \frac {\partial f}{\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\left(\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \right)^2}
\end{bmatrix}},
\qquad (\operatorname {G} f)_{ij}={ \frac {\partial f}{\partial q_{i}} \frac {\partial f}{\partial q_{j}} } \]
Queste due matrici sono due cose diverse e non vanno confuse.
Nella matrice $\hat A$ che hai scritto sul tuo quaderno c'e' confusione invece.
Dentro c'e' un mix delle due matrici e poi ci sono anche degli elementi che non hanno senso, tipo questi
\[ \frac {\partial f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
La scrittura corretta e' questa
\[ \frac {\partial^2 f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
Quando si fanno delle derivazioni successive rispetto a diverse variabili indipendenti, l'esponente che c'e' sul simbolo $\partial$ al numeratore deve essere uguale alla somma degli esponenti delle variabili al denominatore.
Ovvero
\[ \frac {\partial^n f}{\partial q_{1}^{d_2}\,\partial q_{2}^{d_2}}, n = d_1+d_2 \].
Ad esempio questa derivata parziale mista e' corretta
\[ \frac {\partial^{10} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}^{5}\,\partial q_{3}^{4}} \],
perche' $10 = 1 + 5 +4$. (L'$1$ su $q_1$e' stato omesso come esponente).
Questo viene dal fatto che la derivata parziale si fa in modo "iterativo", "ripetitivo" per cui non puo' essere altrimenti.
Cioe' se prendo la funzione $f$ e derivo una prima volta, ottengo
\[ \frac {\partial f}{\partial q_{1}} \]
Poi derivo ancora rispetto alla stessa variabile o ad un'altra
\[ \frac {\partial^{2} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
E cosi' posso andare avanti (la scelta della variabile indipendente rispetto a cui derivare e' una mia scelta del tutto casuale)
\[ \frac {\partial^{3} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}^2} \]
\[ \frac {\partial^{4} f}{\partial q_{1}^2\,\partial q_{2}^2} \]
\[ \frac {\partial^{5} f}{\partial q_{1}^2\,\partial q_{2}^2\,\partial q_{3}} \]
\[ \frac {\partial^{6} f}{\partial q_{1}^3\,\partial q_{2}^2\,\partial q_{3}} \]
In ogni caso l'esponente al denominatore deve essere uguale alla somma degli esponenti al denominatore.
In realta' solo quelli al denominatore sono esponenti nel vero senso della parola, al numeratore l'esponente rappresenta solo un indice di derivazione, di quante volte abbiamo derivato. Infatti vedi che al denominatore l'esponente e' sul nome della variabile, mentre al numeratore l'esponente e' sul simbolo $\partial$.
Se vuoi la forma generale, e' questa:
\[ \frac {\partial^{n} f}{\partial q_{1}^{d_1}\,\partial q_{2}^{d_2}\, \cdots \,\partial q_{k}^{d_k}}, n = \sum_{i=1}^k d_i \]
Ok, per il momento finisco qui con questo chiarimento preliminare, poi vediamo con un esempio cosa sono quegli $a_{hk}$ e verifichiamo che effettivamente le due matrici siano uguali.
Non preoccuparti perche' come abbiamo gia' detto, non e' una passeggiata capire subito quello che dice quel libro.
C'e' un tipo di matrice che, siccome e' famosa, ha un nome e si chiama hessiana.
La trovi anche su Wikipedia https://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hessiana
La matrice hessiana e' questa cosa qui sotto, ed e' solo e solamente questa.
Dentro ci sono delle derivate seconde, solo e solamente delle derivate seconde.
Ovvero si prende una funzione che dipende da tante variabili indipendenti.
Si deriva una prima volta rispetto a una variabile indipendente e poi si deriva una seconda volta rispetto ad un altra (o alla stessa) variabile indipendente.
\[ \displaystyle \displaystyle \operatorname {H}
f={\begin{bmatrix}
\displaystyle {
\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}^{2}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{1}\,\partial q_{n}}}\\\\
\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}\,\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}^{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{2}\,\partial q_{n}}}\\\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}\,\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}\,\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{n}^{2}}}
\end{bmatrix}},
\qquad (\operatorname {H} f)_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial q_{i}\,\partial q_{j}}} \]
Poi c'e' quest'altra matrice, che assomiglia molto alla hessiana, ma non e' per niente la stessa cosa.
Non ha un nome, che sappia io, e l'ho chiamata io $G$.
Dentro ci sono delle moltiplicazioni di due derivate prime.
Cioe' si prende una funzione che dipende da tante variabili indipendenti, e si prendono le derivate prime, (non le derivate seconde).
Con le derivate prime si formano delle coppie e si moltiplicano tra di loro a due a due.
Ovvero sono delle moltiplicazioni a coppie, di derivate prime.
\[ \displaystyle \displaystyle \operatorname {G}
f={\begin{bmatrix}
\displaystyle {
\left(\frac {\partial f}{\partial q_{1}} \right)^2 }
& \displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{1}} \frac {\partial f}{\partial q_{2}} }
&\cdots
&\displaystyle { \frac {\partial f}{\partial q_{1}} \frac {\partial f}{\partial q_{n}} }\\\\
\displaystyle { \frac {\partial f}{\partial q_{2}} \frac {\partial f}{\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\left(\frac {\partial f}{\partial q_{2}} \right)^2}
&\cdots
&\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{2}} \frac {\partial f}{\partial q_{n}} }\\\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\
\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \frac {\partial f}{\partial q_{1}}}
&\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \frac {\partial f}{\partial q_{2}}}
&\cdots
&\displaystyle {\left(\frac {\partial f}{\partial q_{n}} \right)^2}
\end{bmatrix}},
\qquad (\operatorname {G} f)_{ij}={ \frac {\partial f}{\partial q_{i}} \frac {\partial f}{\partial q_{j}} } \]
Queste due matrici sono due cose diverse e non vanno confuse.
Nella matrice $\hat A$ che hai scritto sul tuo quaderno c'e' confusione invece.
Dentro c'e' un mix delle due matrici e poi ci sono anche degli elementi che non hanno senso, tipo questi
\[ \frac {\partial f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
La scrittura corretta e' questa
\[ \frac {\partial^2 f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
Quando si fanno delle derivazioni successive rispetto a diverse variabili indipendenti, l'esponente che c'e' sul simbolo $\partial$ al numeratore deve essere uguale alla somma degli esponenti delle variabili al denominatore.
Ovvero
\[ \frac {\partial^n f}{\partial q_{1}^{d_2}\,\partial q_{2}^{d_2}}, n = d_1+d_2 \].
Ad esempio questa derivata parziale mista e' corretta
\[ \frac {\partial^{10} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}^{5}\,\partial q_{3}^{4}} \],
perche' $10 = 1 + 5 +4$. (L'$1$ su $q_1$e' stato omesso come esponente).
Questo viene dal fatto che la derivata parziale si fa in modo "iterativo", "ripetitivo" per cui non puo' essere altrimenti.
Cioe' se prendo la funzione $f$ e derivo una prima volta, ottengo
\[ \frac {\partial f}{\partial q_{1}} \]
Poi derivo ancora rispetto alla stessa variabile o ad un'altra
\[ \frac {\partial^{2} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}} \]
E cosi' posso andare avanti (la scelta della variabile indipendente rispetto a cui derivare e' una mia scelta del tutto casuale)
\[ \frac {\partial^{3} f}{\partial q_{1}\,\partial q_{2}^2} \]
\[ \frac {\partial^{4} f}{\partial q_{1}^2\,\partial q_{2}^2} \]
\[ \frac {\partial^{5} f}{\partial q_{1}^2\,\partial q_{2}^2\,\partial q_{3}} \]
\[ \frac {\partial^{6} f}{\partial q_{1}^3\,\partial q_{2}^2\,\partial q_{3}} \]
In ogni caso l'esponente al denominatore deve essere uguale alla somma degli esponenti al denominatore.
In realta' solo quelli al denominatore sono esponenti nel vero senso della parola, al numeratore l'esponente rappresenta solo un indice di derivazione, di quante volte abbiamo derivato. Infatti vedi che al denominatore l'esponente e' sul nome della variabile, mentre al numeratore l'esponente e' sul simbolo $\partial$.
Se vuoi la forma generale, e' questa:
\[ \frac {\partial^{n} f}{\partial q_{1}^{d_1}\,\partial q_{2}^{d_2}\, \cdots \,\partial q_{k}^{d_k}}, n = \sum_{i=1}^k d_i \]
Ok, per il momento finisco qui con questo chiarimento preliminare, poi vediamo con un esempio cosa sono quegli $a_{hk}$ e verifichiamo che effettivamente le due matrici siano uguali.
Per dare risposta alle tue domande, come spero, credo che sia meglio passare direttamente ad un esempio facile, e poi magari successivamente rivedere i passaggi formali, la teoria, e quant'altro.
Anche perche' credo che quello che manchi a te (e non sei l'unico), sia l'esempio pratico, facile, comprensibile.
Di seguito c'e' l'esempio.
Supponiamo di essere nel consueto spazio euclideo $\RR^3$ e di avere un vincolo fisso nel tempo che e' costituito dal semplice piano $xy$. Una particella, o un punto se vogliamo, e' libero di muoversi su questo piano, il piano $xy$ appunto.
Supponiamo pero' che, per qualche motivo, le nostre coordinate lagrangiane non siano i due assi $x$ e $y$, ma siano un po' diverse, in questo modo:
${ (q_1 = x_1 + x_2) , (q_2 = x_2) :}$
La trasformazione inversa quindi e'
${ (x_1 = q_1 - q_2) , (x_2 = q_2) :}$
Adesso passiamo a calcolare una delle due famigerate matrici:
\[
\large T = \frac{1}{2} \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_h \dot q_k + \sum_{k=1}^{l} b_{k} \dot q_k +c
\]
Siccome il secondo e il terzo addendo hanno come fattore una derivata temporale, e il movimento del nostro punto non dipende esplicitamente dal tempo, quella derivata e' zero e anche il secondo e terzo fattore sono zero.
Rimaniamo con:
\[
\large T = \frac{1}{2} \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_h \dot q_k
\]
Usiamo la formula del libro per calcolare i coefficienti $a_(hk)$
\[
a_{hk}(\mathbf q, t) = a_{kh}(\mathbf q, t) = \sum_{i=1}^{n} m_i \frac{\partial P_i}{\partial q_h}\cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k}
\]
Nel nostro caso, $n=1$ perche' stiamo parlando di un solo punto. Inoltre supponiamo di avere $m_i = 1$ in modo da non appesantire le formule. La massa agisce come semplice moltiplicatore in queste formule e non ha nessun altro ruolo.
$a_11 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) = (1, 0)\cdot (1, 0) = 1$
$a_12 = a_21 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) = (1, 0)\cdot (-1, 1) = -1$
$a_22 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) = (-1, 1)\cdot (-1, 1) = 2$
Adesso che abbiamo tutti i coefficienti possiamo scrivere la $T$ esplicitamente:
$T = 1\dot q_1 \dot q_1 - 1 \dot q_1 \dot q_2 -1 \dot q_2 \dot q_1 + 2\dot q_2 \dot q_2 = \dot q_1 \dot q_1 - 2 \dot q_1 \dot q_2 + 2\dot q_2 \dot q_2 $
Possiamo riscrivere la stessa cosa usando le matrici, anche perche' ci verra' utile tra poco. La chiamiamo formula 1 dell'energia cinetica.
$T = ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((1, -1), (-1, 2)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
E questa e' fatta. Adesso passiamo all'altra spiegazione incriminata.
Il libro dice:
Nota che la matrice $(a_{hk})_{h,k=1,\cdots,l}$ e' l'hessiana di $T$ rispetto alle variabili $\dot q_k$:
\[
a_{hk} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}
\]
Allora andiamo a prendere la definizione di $T$
\[
T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i v_i^2
\]
Di nuovo poniamo $m_i =1$ e $n=1$. Poi scriviamo la velocita' usando i vettori:
\[
T = \frac{1}{2} (v_1, v_2) \cdot (v_1, v_2) = \frac{1}{2} (\dot x_1, \dot x_2) \cdot (\dot x_1, \dot x_2)
\]
Sostituiamo alle $x$ le $q$ usando la trasformazione inversa
\[
T = \frac{1}{2} (\dot q_1 - \dot q_2, \dot q_2) \cdot (\dot q_1 - \dot q_2, \dot q_2)
\]
ed eseguiamo il prodotto scalare
\[
T = \frac{1}{2} ((\dot q_1)^2 - 2 \dot q_1 \dot q_2 + 2(\dot q_2)^2))
\]
Adesso calcoliamo i singoli $a_{hk} $
\[
a_{hk} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}
\]
$a_{11}$: deriviamo $T$ rispetto a $\dot q_1$ e otteniamo
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot q_1 } = 2\dot q_1 - 2\dot q_2
\]
deriviamo ancora rispetto a $\dot q_1$ e otteniamo
\[
a_{11} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_1^2} = 2
\]
Allo stesso modo calcoliamo
\[
a_{12} = a_{21} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_1 \partial \dot q_2} = -2
\]
\[
a_{22} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_2^2} = 4
\]
Adesso torniamo al libro che conclude:
denotiamo quella matrice (l'hessiana) con $\bb H_T$, e scriviamo che:
$T = 1/2 \bb \dot q \cdot \bb H_T \bb \dot q$
Ora il libro si ferma e proseguiamo noi:
$T = 1/2 ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((2, -2), (-2, 4)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
ovvero
$T = ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((1, -1), (-1, 2)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
Ecco, abbiamo trovato la stessa formula di prima, quella che avevo chiamato la formula 1 dell'energia cinetica.
Il libro intendeva far vedere questo.
Sempre il libro, usa solo la componente virtuale dell'energia cinetica, $\hat T$, ma nel nostro esempio non c'e' distinzione siccome il vincolo e' fermo, non si muove.
Spero che ora sia tutto piu' chiaro.
Anche perche' credo che quello che manchi a te (e non sei l'unico), sia l'esempio pratico, facile, comprensibile.
Di seguito c'e' l'esempio.
Supponiamo di essere nel consueto spazio euclideo $\RR^3$ e di avere un vincolo fisso nel tempo che e' costituito dal semplice piano $xy$. Una particella, o un punto se vogliamo, e' libero di muoversi su questo piano, il piano $xy$ appunto.
Supponiamo pero' che, per qualche motivo, le nostre coordinate lagrangiane non siano i due assi $x$ e $y$, ma siano un po' diverse, in questo modo:
${ (q_1 = x_1 + x_2) , (q_2 = x_2) :}$
La trasformazione inversa quindi e'
${ (x_1 = q_1 - q_2) , (x_2 = q_2) :}$
Adesso passiamo a calcolare una delle due famigerate matrici:
\[
\large T = \frac{1}{2} \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_h \dot q_k + \sum_{k=1}^{l} b_{k} \dot q_k +c
\]
Siccome il secondo e il terzo addendo hanno come fattore una derivata temporale, e il movimento del nostro punto non dipende esplicitamente dal tempo, quella derivata e' zero e anche il secondo e terzo fattore sono zero.
Rimaniamo con:
\[
\large T = \frac{1}{2} \sum_{h,k=1}^{l} a_{hk} \dot q_h \dot q_k
\]
Usiamo la formula del libro per calcolare i coefficienti $a_(hk)$
\[
a_{hk}(\mathbf q, t) = a_{kh}(\mathbf q, t) = \sum_{i=1}^{n} m_i \frac{\partial P_i}{\partial q_h}\cdot \frac{\partial P_i}{\partial q_k}
\]
Nel nostro caso, $n=1$ perche' stiamo parlando di un solo punto. Inoltre supponiamo di avere $m_i = 1$ in modo da non appesantire le formule. La massa agisce come semplice moltiplicatore in queste formule e non ha nessun altro ruolo.
$a_11 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) = (1, 0)\cdot (1, 0) = 1$
$a_12 = a_21 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_1) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) = (1, 0)\cdot (-1, 1) = -1$
$a_22 = (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) \cdot (\partial (x_1, x_2))/(\partial q_2) = (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) \cdot (\partial (q_1 - q_2, q_2))/(\partial q_2) = (-1, 1)\cdot (-1, 1) = 2$
Adesso che abbiamo tutti i coefficienti possiamo scrivere la $T$ esplicitamente:
$T = 1\dot q_1 \dot q_1 - 1 \dot q_1 \dot q_2 -1 \dot q_2 \dot q_1 + 2\dot q_2 \dot q_2 = \dot q_1 \dot q_1 - 2 \dot q_1 \dot q_2 + 2\dot q_2 \dot q_2 $
Possiamo riscrivere la stessa cosa usando le matrici, anche perche' ci verra' utile tra poco. La chiamiamo formula 1 dell'energia cinetica.
$T = ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((1, -1), (-1, 2)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
E questa e' fatta. Adesso passiamo all'altra spiegazione incriminata.
Il libro dice:
Nota che la matrice $(a_{hk})_{h,k=1,\cdots,l}$ e' l'hessiana di $T$ rispetto alle variabili $\dot q_k$:
\[
a_{hk} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}
\]
Allora andiamo a prendere la definizione di $T$
\[
T = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i v_i^2
\]
Di nuovo poniamo $m_i =1$ e $n=1$. Poi scriviamo la velocita' usando i vettori:
\[
T = \frac{1}{2} (v_1, v_2) \cdot (v_1, v_2) = \frac{1}{2} (\dot x_1, \dot x_2) \cdot (\dot x_1, \dot x_2)
\]
Sostituiamo alle $x$ le $q$ usando la trasformazione inversa
\[
T = \frac{1}{2} (\dot q_1 - \dot q_2, \dot q_2) \cdot (\dot q_1 - \dot q_2, \dot q_2)
\]
ed eseguiamo il prodotto scalare
\[
T = \frac{1}{2} ((\dot q_1)^2 - 2 \dot q_1 \dot q_2 + 2(\dot q_2)^2))
\]
Adesso calcoliamo i singoli $a_{hk} $
\[
a_{hk} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_h \partial \dot q_k}
\]
$a_{11}$: deriviamo $T$ rispetto a $\dot q_1$ e otteniamo
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot q_1 } = 2\dot q_1 - 2\dot q_2
\]
deriviamo ancora rispetto a $\dot q_1$ e otteniamo
\[
a_{11} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_1^2} = 2
\]
Allo stesso modo calcoliamo
\[
a_{12} = a_{21} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_1 \partial \dot q_2} = -2
\]
\[
a_{22} = \frac{\partial^2 T}{\partial \dot q_2^2} = 4
\]
Adesso torniamo al libro che conclude:
denotiamo quella matrice (l'hessiana) con $\bb H_T$, e scriviamo che:
$T = 1/2 \bb \dot q \cdot \bb H_T \bb \dot q$
Ora il libro si ferma e proseguiamo noi:
$T = 1/2 ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((2, -2), (-2, 4)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
ovvero
$T = ( \dot q_1 \ \ \dot q_2 ) ((1, -1), (-1, 2)) ((\dot q_1), (\dot q_2))$
Ecco, abbiamo trovato la stessa formula di prima, quella che avevo chiamato la formula 1 dell'energia cinetica.
Il libro intendeva far vedere questo.
Sempre il libro, usa solo la componente virtuale dell'energia cinetica, $\hat T$, ma nel nostro esempio non c'e' distinzione siccome il vincolo e' fermo, non si muove.
Spero che ora sia tutto piu' chiaro.
Allora Quinzio, premetto che la mia matrice $\hat A$ è la tua $\bb G$, cioè le mie non volevano essere derivate seconde, infatti nell'espressione precedente comparivano come prodotto di derivate. Ho solo scritto in maniera errata per via della fretta. Mi scuso profondamente, cercherò di controllare meglio i messaggi prima di inviarli, ogni tanto mi confondo e mi scordo totalmente che quando faccio la derivata seconda mista derivo prima rispetto ad una variabile e il risultato lo derivo di nuovo per la seconda variabile.
Comunque la tua chiarezza nello spiegare è davvero ammirabile. Questi esempi aiutano davvero molto.
Otsukaresama deshita!
P.S. Potrebbe essere che hai scordato l'$1/2$ quando ti calcoli $T$ per la prima volta:
Mi risulta che hai svolto soltanto la sommatoria $\sum_{h,k=1}^{2} ...$. Eppure ti torna uguale all'espressione successiva calcolata con l'altro metodo. Probabilmente mi sto perdendo io qualche passaggio
No, ho ricontrollato hai tralasciato l'$1/2$ anche quando ti sei calcolato le derivate parziali, quindi alla fine torna tutto. In ogni caso si tratta di una costante moltiplicativa perciò non cambia niente ai fini dell'esempio
Comunque la tua chiarezza nello spiegare è davvero ammirabile. Questi esempi aiutano davvero molto.
Otsukaresama deshita!
P.S. Potrebbe essere che hai scordato l'$1/2$ quando ti calcoli $T$ per la prima volta:
Mi risulta che hai svolto soltanto la sommatoria $\sum_{h,k=1}^{2} ...$. Eppure ti torna uguale all'espressione successiva calcolata con l'altro metodo. Probabilmente mi sto perdendo io qualche passaggio
No, ho ricontrollato hai tralasciato l'$1/2$ anche quando ti sei calcolato le derivate parziali, quindi alla fine torna tutto. In ogni caso si tratta di una costante moltiplicativa perciò non cambia niente ai fini dell'esempio
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