Equazioni di Lagrange
Salve a tutti, ho scoperto da poco questo forum e adesso che mi sono iscritto finalmente vorrei approfittarne per farvi una domanda. Spero che questa sia la sezione giusta, perché il problema è sostanzialmente matematico ma riguarda la meccanica.
Il principio di Hamilton ci dice che un sistema di particelle si muove in modo da minimizzare l'azione, ovvero l'integrale \[S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt\] dove \(L\) è la funzione di Lagrange.
Chiamando \(q=q(t)\) la funzione per cui l'azione ha minimo, si ha che $S$ cresce per un incremento $deltaq(t)$ di $q(t)$, detto variazione.
La variazione (prima) di $S$ è quindi data da \[\delta S = \int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot q+\delta \dot q, t) dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt\] e affinché si abbia un minimo deve essere \[\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt=0\] Adesso, il mio dubbio: il libro passa da questa forma del principio di minima azione a \[\int_{t_1}^{t_2}\left(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q\right)dt=0\] "eseguendo la variazione". Io non capisco appunto cosa significa eseguire la variazione, e come si passa da una forma all'altra. L'unica cosa che mi viene in mente è che sia sostanzialmente analogo a differenziare la lagrangiana, visto che la forma mi ricorda la chain rule della derivazione. Il resto della derivazione (che porta alle equazioni di Eulero-Lagrange) invece mi è chiaro.
Ringrazio moltissimo chiunque voglia darmi una mano
Il principio di Hamilton ci dice che un sistema di particelle si muove in modo da minimizzare l'azione, ovvero l'integrale \[S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt\] dove \(L\) è la funzione di Lagrange.
Chiamando \(q=q(t)\) la funzione per cui l'azione ha minimo, si ha che $S$ cresce per un incremento $deltaq(t)$ di $q(t)$, detto variazione.
La variazione (prima) di $S$ è quindi data da \[\delta S = \int_{t_1}^{t_2}L(q+\delta q,\dot q+\delta \dot q, t) dt-\int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt\] e affinché si abbia un minimo deve essere \[\delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}L(q,\dot q, t) dt=0\] Adesso, il mio dubbio: il libro passa da questa forma del principio di minima azione a \[\int_{t_1}^{t_2}\left(\displaystyle\frac{\partial L}{\partial q}\delta q+\displaystyle\frac{\partial L}{\partial \dot q}\delta \dot q\right)dt=0\] "eseguendo la variazione". Io non capisco appunto cosa significa eseguire la variazione, e come si passa da una forma all'altra. L'unica cosa che mi viene in mente è che sia sostanzialmente analogo a differenziare la lagrangiana, visto che la forma mi ricorda la chain rule della derivazione. Il resto della derivazione (che porta alle equazioni di Eulero-Lagrange) invece mi è chiaro.
Ringrazio moltissimo chiunque voglia darmi una mano
Risposte
Nessuno sa che diavolo sia una variazione, l'unica cosa sicura è che ha le stesse proprietà del differenziale
Ciao Landau, e benvenuto nel forum.
È un onore avere tra noi il famoso fisico russo Lev Landau... ... che tra l'altro nel suo corso di fisica teorica introduce subito le equazioni di Eulero-Lagrange , nel testo dedicato alla meccanica , proprio nelle prime pagine.
Comunque , questa dispensa dovrebbe fare al caso tuo:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/two.pdf
definita l'azione $S$ (formula 2.4) , il principio di minima azione dice che , tra tutti i cammini possibili tra il punto iniziale e il punto finale , quello effettivo corrisponde ad un estremo di $S$ , quindi deve essere $\deltaS = 0 $ . Si tratta proprio come un differenziale.
Scritta l'espressione per $deltaS$ , che porta all'equazione 2.6 , si tratta di valutare l'integrale . Il secondo termine dell'integrando va integrato per parti , e quindi si arriva alla 2.7 . MA l'ultimo termine si annulla, perché i punti estremi del cammino sono fissi . Rimane solo l'integrale : affinché sia $deltaS =0 $ , l'integrando deve essere identicamente nullo , eq. 2.8. E queste sono le equazioni di Eulero-Lagrange. MA hai detto che la procedura ti è chiara.
Questo è in sostanza il contenuto del paragrafo 2.1 della dispensa, che basta per i tuoi scopi, Ma nessuno ti impedisce di leggere il resto , se vuoi. Anzi, puoi trovare tutte le lezioni di David Tong su internet, e ti assicuro che sono valide.
Nelle celebri lezioni di Richard Feynman c'è un intero capitolo dedicato al principio di minima azione.
LE lezioni di R.F. ora si possono scaricare liberamente dal sito del Caltech, che ha deciso di renderle pubbliche :
http://www.feynmanlectures.caltech.edu
Ciò detto, mi meraviglia che il tuo libro non spieghi chiaramente questo .
È un onore avere tra noi il famoso fisico russo Lev Landau...
... che tra l'altro nel suo corso di fisica teorica introduce subito le equazioni di Eulero-Lagrange , nel testo dedicato alla meccanica , proprio nelle prime pagine. Comunque , questa dispensa dovrebbe fare al caso tuo:
http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/two.pdf
definita l'azione $S$ (formula 2.4) , il principio di minima azione dice che , tra tutti i cammini possibili tra il punto iniziale e il punto finale , quello effettivo corrisponde ad un estremo di $S$ , quindi deve essere $\deltaS = 0 $ . Si tratta proprio come un differenziale.
Scritta l'espressione per $deltaS$ , che porta all'equazione 2.6 , si tratta di valutare l'integrale . Il secondo termine dell'integrando va integrato per parti , e quindi si arriva alla 2.7 . MA l'ultimo termine si annulla, perché i punti estremi del cammino sono fissi . Rimane solo l'integrale : affinché sia $deltaS =0 $ , l'integrando deve essere identicamente nullo , eq. 2.8. E queste sono le equazioni di Eulero-Lagrange. MA hai detto che la procedura ti è chiara.
Questo è in sostanza il contenuto del paragrafo 2.1 della dispensa, che basta per i tuoi scopi, Ma nessuno ti impedisce di leggere il resto , se vuoi. Anzi, puoi trovare tutte le lezioni di David Tong su internet, e ti assicuro che sono valide.
Nelle celebri lezioni di Richard Feynman c'è un intero capitolo dedicato al principio di minima azione.
LE lezioni di R.F. ora si possono scaricare liberamente dal sito del Caltech, che ha deciso di renderle pubbliche :
http://www.feynmanlectures.caltech.edu
Ciò detto, mi meraviglia che il tuo libro non spieghi chiaramente questo .
Ciao! Intanto ringrazio entrambi per le celeri risposte.
Ma il mio libro è... il Landau
Ti ringrazio per il link (sembra un'ottima dispensa) ma l'unica parte che non mi era chiara della derivazione è cosa significa operativamente eseguire la variazione dell'azione.
Vulplasir mi ha confermato che si tratta sostanzialmente di una differenziazione come sospettavo. Certo, immagino ci siano delle sottigliezze matematiche dietro queste terminologie, ma che ci vuoi fare, sono un fisico
Ad ogni modo, il Landau è assieme alle dispense del docente il materiale per il corso che frequenterò a breve, all'inizio del secondo anno, e non ho resistito alla tentazione di sfogliare le prime pagine con un po' di anticipo.
P.S. Chi ti dice che non abbia preso il nome da Martin Landau?
"Shackle":
Ciò detto, mi meraviglia che il tuo libro non spieghi chiaramente questo .
Ma il mio libro è... il Landau
Ti ringrazio per il link (sembra un'ottima dispensa) ma l'unica parte che non mi era chiara della derivazione è cosa significa operativamente eseguire la variazione dell'azione.
Vulplasir mi ha confermato che si tratta sostanzialmente di una differenziazione come sospettavo. Certo, immagino ci siano delle sottigliezze matematiche dietro queste terminologie, ma che ci vuoi fare, sono un fisico
Ad ogni modo, il Landau è assieme alle dispense del docente il materiale per il corso che frequenterò a breve, all'inizio del secondo anno, e non ho resistito alla tentazione di sfogliare le prime pagine con un po' di anticipo.
"Shackle":
È un onore avere tra noi il famoso fisico russo Lev Landau...
P.S. Chi ti dice che non abbia preso il nome da Martin Landau?
ma che ci vuoi fare, sono un fisico
E allora ? Devi sentirti fiero di ciò che sei e fai! Comunque in questo forum scrivono in tanti, anche semplici curiosi e appassionati.
Il Landau come libro di testo mi sembra un po' duro ...
P.S. Chi ti dice che non abbia preso il nome da Martin Landau?
il fatto che sei uno studente di fisica . Ciao.
"Shackle":
Devi sentirti fiero di ciò che sei e fai!
Ma certo, si scherza
Ti ringrazio nuovamente per il post. Certo, il Landau è duro, ma una volta digerita la matematica è piacevolmente limpido. Comunque ci pensano le dispense del professore ad integrare, sono estremamente verbose con continue note storiche e filosofiche
Di Feynman possiedo il primo volume e ho leggiucchiato qualcosa online. Il suo modo di esporre è davvero una fonte di ispirazione... è praticamente l'opposto di Landau! Entrambi sono un must, però.
Buona notte...
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