Equazioni del moto del pendolo semplice
Salve, ho dei dubbi su alcune equazioni utilizzate nel moto del pendolo. Considerando un pendolo semplice di massa $ m $ e lunghezza $ l $, ideale (massa puntiforme, asta rigida etc.), sottoposto alla sola forza peso e alla reazione vincolare dell'asta, detto $ theta $ l'angolo che l'asta forma con la verticale, si ha
$ F_P = (-mgsintheta,-mgcostheta) $. Detto $ hat(n)(theta)=(sintheta,-costheta) $ il versore perpendicolare al punto della circonferenza descritta dal pendolo, posso indicare il vettore posizione con $ P = l*hat(n)(theta) $, il vettore velocità con $ dot(P)=ldot(theta)*(d(hat(n)))/(d(theta))=ldot(theta)*(costheta,sintheta)=ldot(theta)*tau(theta) $, con $ tau $ versore tangente al punto della circonferenza, e il vettore accelerazione con $ ddot(P)=lddot(theta)*tau(theta)+ldot(theta)^2*(-hat(n)(theta)) $.
Lungo la direzione normale ho perciò $ -ldot(theta)^2m=-mgcostheta+F^V $ con $ F^V $ forza vincolare, e non ho contributo al moto lungo tale direzione.
Il contributo al moto viene invece dato, tangenzialmente, dalla $ mlddot(theta)=-mgsintheta $.
Fin qui ok, ma di seguito i miei appunti perdono chiarezza e mi ritrovo scritto che
$ F(theta) = -mgsintheta $ ed esiste un $ V $ tale che $ (dV)/(d(theta))=-F(theta) $, da cui $ V(theta)=int^(theta) mgsintheta. d(theta)=-mgsintheta $: non capisco perchè si sia utilizzata questa espressione della forza...e infatti subito dopo ho
$ mddot(theta)=-mg/lsintheta $ da cui $ ddot(theta)=-g/lsintheta $, $ F(theta)=-g/lsintheta $, e infine $ V(theta) = int^(theta) g/lsinthetad(theta)=-g/lcostheta $. Risulta anche che l'energia totale è $ E = 1/2 dot(theta)^2-g/lcostheta $.
A cosa si riferisce la prima espressione della forza? L'espressione della forza (e del potenziale) corretta è la seconda, vero? E perchè nell'energia totale la cinetica è $ 1/2 dot(theta)^2 $ e non $ 1/2 m dot(theta)^2$ ???
Grazie in anticipo..
$ F_P = (-mgsintheta,-mgcostheta) $. Detto $ hat(n)(theta)=(sintheta,-costheta) $ il versore perpendicolare al punto della circonferenza descritta dal pendolo, posso indicare il vettore posizione con $ P = l*hat(n)(theta) $, il vettore velocità con $ dot(P)=ldot(theta)*(d(hat(n)))/(d(theta))=ldot(theta)*(costheta,sintheta)=ldot(theta)*tau(theta) $, con $ tau $ versore tangente al punto della circonferenza, e il vettore accelerazione con $ ddot(P)=lddot(theta)*tau(theta)+ldot(theta)^2*(-hat(n)(theta)) $.
Lungo la direzione normale ho perciò $ -ldot(theta)^2m=-mgcostheta+F^V $ con $ F^V $ forza vincolare, e non ho contributo al moto lungo tale direzione.
Il contributo al moto viene invece dato, tangenzialmente, dalla $ mlddot(theta)=-mgsintheta $.
Fin qui ok, ma di seguito i miei appunti perdono chiarezza e mi ritrovo scritto che
$ F(theta) = -mgsintheta $ ed esiste un $ V $ tale che $ (dV)/(d(theta))=-F(theta) $, da cui $ V(theta)=int^(theta) mgsintheta. d(theta)=-mgsintheta $: non capisco perchè si sia utilizzata questa espressione della forza...e infatti subito dopo ho
$ mddot(theta)=-mg/lsintheta $ da cui $ ddot(theta)=-g/lsintheta $, $ F(theta)=-g/lsintheta $, e infine $ V(theta) = int^(theta) g/lsinthetad(theta)=-g/lcostheta $. Risulta anche che l'energia totale è $ E = 1/2 dot(theta)^2-g/lcostheta $.
A cosa si riferisce la prima espressione della forza? L'espressione della forza (e del potenziale) corretta è la seconda, vero? E perchè nell'energia totale la cinetica è $ 1/2 dot(theta)^2 $ e non $ 1/2 m dot(theta)^2$ ???
Grazie in anticipo..
Risposte
Provo a risponderti partendo dalla fine/
Siccome le forze esterne sono conservative, esiste una funzione potenziale che descrive il lavoro in funzione della posizione del corpo.
Allora, come sistema di riferimento assumi l'asse y diretto verso il basso, Il lavoro della forza peso per uno spostamento lungo y sara' dunque positivo, cioe'
$ V=int_ymgdy $
Se $\theta$ e' l'angolo che l'asta forma con l'asse y, vale ovviamente $y=Lcos\theta$, quindi:
$ V=int_ymgdy=-intmgLsin\thetad\theta $
L'energia cinetica e' $ E = 1/2 m(L\dot\theta)^2 $
Ora, il teorema delle forze vive (lavoro=variazione di energia cinetica) e' espresso in froma genereale dall'equazione di Lagrange:
$ {dV}/{d\theta}={d}/dt({dE}/{d\dot\theta})-{dE}/{d\theta} $
Nel tuo caso, il secondo addendo a secondo membro e' nullo. Quindi:
$-mgLsin\theta=mL^2\ddot\theta$, cioe' in definitiva, semplificando il semplificabile
$\ddot\theta+g/Lsin\theta=0$
Questa equazione differenziale non si puo' rusolver per via analitica, ma, sel'angolo e' sufficientemente piccolo, $sin\theta=\theta$, quindi l'equazione differenziale diventa
$\ddot\theta+g/L\theta=0$
Che rappresenta un moto armonico di tipo $\theta=Acos(\omegat+\phi)$, con periodo $\omega^2=g/L$
Siccome le forze esterne sono conservative, esiste una funzione potenziale che descrive il lavoro in funzione della posizione del corpo.
Allora, come sistema di riferimento assumi l'asse y diretto verso il basso, Il lavoro della forza peso per uno spostamento lungo y sara' dunque positivo, cioe'
$ V=int_ymgdy $
Se $\theta$ e' l'angolo che l'asta forma con l'asse y, vale ovviamente $y=Lcos\theta$, quindi:
$ V=int_ymgdy=-intmgLsin\thetad\theta $
L'energia cinetica e' $ E = 1/2 m(L\dot\theta)^2 $
Ora, il teorema delle forze vive (lavoro=variazione di energia cinetica) e' espresso in froma genereale dall'equazione di Lagrange:
$ {dV}/{d\theta}={d}/dt({dE}/{d\dot\theta})-{dE}/{d\theta} $
Nel tuo caso, il secondo addendo a secondo membro e' nullo. Quindi:
$-mgLsin\theta=mL^2\ddot\theta$, cioe' in definitiva, semplificando il semplificabile
$\ddot\theta+g/Lsin\theta=0$
Questa equazione differenziale non si puo' rusolver per via analitica, ma, sel'angolo e' sufficientemente piccolo, $sin\theta=\theta$, quindi l'equazione differenziale diventa
$\ddot\theta+g/L\theta=0$
Che rappresenta un moto armonico di tipo $\theta=Acos(\omegat+\phi)$, con periodo $\omega^2=g/L$
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