Equazioni del moto

[marco.ceccarelli]

Buonasera,

vorrei determinare le equazioni del moto di un sistema composto da una puleggia (di modulo d'inerzia $J$, e raggi interno ed esterno $r/2$ e $r$), un paio di masse $m$ (di cui una sottoposta all'azione di una forza $f$), un paio di molle $k$ ed uno smorzatore $c$.



Io scriverei quanto segue. Nell'ambito di piccole oscillazioni, $z_1=r/2 tg theta ~~ r/2theta, z_2=r tg theta ~~rtheta$. Quindi il sistema ha un grado di libertà. Introducendo le tensioni $T_1, T_2$ dei fili inestensibili, le equazioni del moto sono:

1. $m ddotz_1+c dot z_1+kz_1=f+T_1$

2. $J ddot theta=-r/2 T_1+r T_2$

3. $m ddotz_2+k z_2=-T_2$

Poi possono essere ridotte ad una, essendo appunto il sistema ad un grado di liberta. Giusto?

Grazie.

[Casio98]

Come unire molle, smorzatori, puleggie e moti forzati in un solo problema. Comunque certo che puoi portare tutto nella variabile $\theta$. Però due cose: la forza peso delle $m$ che fine ha fatto?? E poi le condizioni che hai scritto all'inizio non vale solo per piccole oscillazioni, a patto di una fune inestendibile.

[marco.ceccarelli]

In questi esercizi di Meccanica delle Vibrazioni, il peso, non lo consideriamo mai. La relativa disquisizione, l'inserisco come testo nascosto.

[ot][/ot]

Parlavo di piccole oscillazioni perché per me è in quel caso che si può confondere la tangente con il suo argomento.

[donald_zeka]

Non fai prima ad applicare Lagrange?

[marco.ceccarelli]

Grazie, @Vulplasir.

Applicando Lagrange, ottengo:

$T=m/2 dotz_1^2+m/2 dotz_2^2+J/2 dottheta^2=((5mr^2)/8+J/2) dottheta^2$

$U=k/2 z_1^2+ k/2 z_2^2=(5kr^2)/8 theta^2$

$L=T-U$

$Q=(rf)/2-(cr)/2 dotz_1=(rf)/2-(cr^2)/4 dot theta$

$d/(dt) (del L)/(del dot theta)- (del L)/(del theta)=Q rarr d/(dt) (dT)/(d dot theta)+(dU)/(d theta)=Q rarr ((5mr^2)/4+J)ddot theta+(5kr^2)/4 theta=(rf)/2-(cr^2)/4 dot theta$

L'ultima equazione ottenuta coincide con quella che si può ottenere a partire dal sistema di $3$ equazioni di cui al $1°$ messaggio. Quindi, se ho ben espresso $T,U,Q$, posso ritenere corretta la soluzione.

Grazie.