Equazioni cardinali

[SteezyMenchi]

Salve a tutti: sto avendo alcuni problemi a derivare la seconda equazione cardinale:
Per chi fosse interessato sto seguendo il Fasani-Marmi
Tutto inizia dalle equazioni:
1$m_i a_i = m \ddot x_i=R_i, i = 1,...,n$, ove $R_i$ sono le risultanti delle forze agenti sul punto considerato
Poi dice che sommando membro a membro le 1 otteniamo $\vec {\dot Q} = \vec R^"(e)"$:
Allora io ho sommato membro a membro ottenendo effettivamente:
$\sum_i m_i \ddot x_i= \sum_i \vec F_i^"(e)"+ \sum_i F_i^"(i)" \Rightarrow \frac{\partial \sum_i m_i \dot x_i}{\partial t} = \sum_i \vec F_i^"(e)"+0 \Rightarrow \vec {\dot Q} = \vec R^"(e)" $
Per la seconda dice di moltiplicare vettorialmente entrambi i membri delle 1 e poi sommando ancora; tuttavia non mi torna la formula:
$\dot \vec L(O) + \vec v(O) " x " \vec Q=\vec M^"e"(O) $. E dunque:
$(\vec x_i-\vec x_o) \times (m_i \ddot x_i) = (x_i-x_o) \times (\vec f_i^"(e)"+ \vec f_i^"(i)") $ e da qui pur non riesco a isolarmi le giuste espressioni: dovrei ottenere un termine $\sum_i mi(x_i-x_o) \times \vec v_i$, ovvero la somma dei momenti rispetto al polo O. Qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi coi calcoli. Ringrazio a chi risponderà in anticipo

[Quinzio]

Ciao,
ti faccio una domanda, anzi 3.

Hai provato a calcolare la $\bb \dot L (\bb O) = d/{dt} \bb L (\bb O)$ ?

Se si, cosa ti viene ? Se no, perche' non hai provato ?

Nota: sono sufficienti le conoscenze di Analisi II, che dovresti avere fatto. (fine della predica... )

[SteezyMenchi]

E però così non seguirei il consiglio del libro, volevo ricavare l'espressione dalla 1 . Non posso partire già dall'espressione data (non se è questo che ciò che intendi con $\dot L(O) $). Però si in effetti non ho provato a derivare l'espressione del momento angolare Quinzio. La predica stavolta me la merito

[SteezyMenchi]

Comunque seguirò il tuo consiglio Quinzio e ora se riesco (o stasera perché ho laboratorio di computazionale fino a tardi oggi e non ho il quaderno) provo a derivare magari riesco a risolvere i miei dubbi. Ti ringrazio per la risposta

[SteezyMenchi]

Ok forse ci sono riuscito in poco tempo (considerate le varie $x$ come vettori):
$\dot \vec L(O) = d/dt \sum_i (x_i-x_0) \times \vec q_i + \sum_i (x_i-x_o) \times d/dt \vec q_i$
$\dot \vec L(O) = -x_o \times \vec Q+ \sum_i (x_i-x_o) \times \sum_i F_i^"(e)"$
Ma l'ultimo termine non è altro che la somma dei momenti rispetto al polo O e dunque il momento risultante delle forze esterne:
$\dot \vec L(O) +\dot \vec x_o \times \vec Q = \vec M_O^"(e)"$

[Quinzio]

Ok, aspetta un attimo...
intanto la derivazione di un prodotto vettoriale e' questa:

$\bb {v_3} = \bb {v_1} \times \bb {v_2} $

$\bb {\dot v_3} = \bb {\dot v_1} \times \bb {v_2} + \bb { v_1} \times \bb {\dot v_2}$

e vale la seguente:

$\bb {v_1} \times \bb {v_1} = \bb 0$

Passiamo al momento angolare:

$ \bb L (O) = \sum_i m_i (P_i - O) \times \bb {v_i} $

e facciamo la derivata:

$\bb \dot L (O) = \sum_i m_i (d/{dt}(P_i - O) \times \bb {v_i} + (P_i - O) \times d/{dt}\bb {v_i})$

$\bb \dot L (O) = \sum_i m_i ((\bb{v_i} - \bbv(O)) \times \bb {v_i} + (P_i - O) \times \bb {a_i})$

$\bb \dot L (O) = \sum_i m_i (\bb{v_i} \times \bb {v_i} - \bbv(O) \times \bb {v_i} + (P_i - O) \times \bb {a_i})$

$\bb \dot L (O) = - \bbv(O) \times \sum_i m_i \bb {v_i} + \sum_i m_i(P_i - O) \times \bb {a_i}$

Poi

$\bb \dot L (O) + \bbv(O) \times \sum_i m_i \bb {v_i}= \sum_i m_i(P_i - O) \times \bb {a_i}$

$\bb \dot L (O) + \bbv(O) \times \bb Q= \sum_i m_i(P_i - O) \times \bb {a_i}$

seguendo la notazione del libro.

[SteezyMenchi]

Si è esattamente quello che ho fatto nell'ultimo messaggio: i calcoli completi li ho sul quaderno ma sono uguali ai tuoi: all'ultimo basta notare che quel termine che hai scritto è $(P_i-O) \times \dot \vec Q$ ma $\dot \vec Q = R^"(e)" = \sum_i \vec F_i^e$ e quindi l'espressione del momento della risultante delle $\vec F_i^e$ rispetto al polo scelto


P.S. Ti posso assicurare che i calcoli li ho fatti davvero (probabilmente ho una pessima reputazione anche sul forum di fisica Solo che avevo poco tempo e non potevo postarli completamente. Però ti ringrazio per averli messi in caso a qualcuno servissero (hai anche seguito la notazione originale che è oggettivamente orribile hahaha, cosa ammirevole a parer mio).