Equazione traiettoria razzo
Ciao a tutti!
Non è un problema di un testo quello che vi pongo... ieri ho provato a trovare l'equazione della traiettoria di un razzo (modellino) o comunque un punto materiale che ha una propulsione.
Quello che mi sono immaginato è questo :
Il punto materiale parte da fermo, a terra, con una inclinazione con l'asse $x$ data dall'angolo $alpha$.
Sul punto materiale agiscono 2 forze : La forza peso, e la forza che il motore da al punto materiale.
Inoltre, ho supposto che l'accelerazione non sia costante, bensì vari nel tempo, infatti un razzo modellino per esempio parte con una certa accelerazione ma poi con il tempo che trascorre la potenza del razzo diminuisce gradualmente.
Ho supposto quindi che la funzione dell'accelerazione sia data da $a(t) = k/sqrt(t)$, dove $k$ è un parametro che dipende dal motore ecc ( ma non interessa il suo valore), così facendo si nota che più passa il tempo più l'accelerazione diminuisce.
Ora, sul razzo agiscono due forze : La forza peso $P$ e una forza $F$ data dal motore.
Dalla 2^ legge della dinamica, possiamo dice che la forza risultante è :
[size=130]$F = m* a(t)$ [/size]
con componenti, [size=130]$vec(F) = (m*a(t)*cos(\alpha) , m*(a(t)*sen(\alpha)-g))$[/size]
Fin qua è corretto quello che dico?
Ora, per trovare l'equazione della traiettoria, dobbiamo trovare le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Per trovarle, integriamo la funzione accelerazione, iniziando con la legge oraria $x(t)$ :
[size=130]$v_x(t) = int a(t) dt = 2k*cos(\alpha) * sqrt(t)$[/size]
Integrando nuovamente troviamo $x(t)$ :
[size=130]$x(t) = 4/3* k *cos(\alpha) * t^(2/3)$[/size]
Facendo lo stesso ragionamento troviamo $y(t)$ :
[size=130]$y(t) = 4/3 k*sin(\alpha) * t^(3/2) - g/2*t^2$[/size]
Ora mettiamo a sistema le due equazioni :
[size=130]${ ( x(t) = 4/3* k *cos(\alpha) * t^(2/3) ),( y(t) = 4/3 k*sin(\alpha) * t^(3/2) - g/2*t^2 ):}$[/size]
ricavando $t$ da $x(t)$ lo sostituiamo in $y(t)$ così da ottenere $y(x)$, che è :
[size=130]$y(x) = tan(\alpha)*x - g/2(3x/(4cos\alpha*k))^(4/3)$[/size]
Ora, ho fatto una "prova" provando a inserire nell'equazione i seguenti valori : $k=10$ e $alpha=45°$
Ed ho ottenuto questa funzione :
Che mi sembra corretta.
Vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento, oppure ho detto tantissime cavolate??
Grazie per l'aiuto!
PS: Se avete approssimazioni migliori da dare a $a(t)$, ditele pure!
Non è un problema di un testo quello che vi pongo... ieri ho provato a trovare l'equazione della traiettoria di un razzo (modellino) o comunque un punto materiale che ha una propulsione.
Quello che mi sono immaginato è questo :
Il punto materiale parte da fermo, a terra, con una inclinazione con l'asse $x$ data dall'angolo $alpha$.
Sul punto materiale agiscono 2 forze : La forza peso, e la forza che il motore da al punto materiale.
Inoltre, ho supposto che l'accelerazione non sia costante, bensì vari nel tempo, infatti un razzo modellino per esempio parte con una certa accelerazione ma poi con il tempo che trascorre la potenza del razzo diminuisce gradualmente.
Ho supposto quindi che la funzione dell'accelerazione sia data da $a(t) = k/sqrt(t)$, dove $k$ è un parametro che dipende dal motore ecc ( ma non interessa il suo valore), così facendo si nota che più passa il tempo più l'accelerazione diminuisce.
Ora, sul razzo agiscono due forze : La forza peso $P$ e una forza $F$ data dal motore.
Dalla 2^ legge della dinamica, possiamo dice che la forza risultante è :
[size=130]$F = m* a(t)$ [/size]
con componenti, [size=130]$vec(F) = (m*a(t)*cos(\alpha) , m*(a(t)*sen(\alpha)-g))$[/size]
Fin qua è corretto quello che dico?
Ora, per trovare l'equazione della traiettoria, dobbiamo trovare le leggi orarie $x(t)$ e $y(t)$.
Per trovarle, integriamo la funzione accelerazione, iniziando con la legge oraria $x(t)$ :
[size=130]$v_x(t) = int a(t) dt = 2k*cos(\alpha) * sqrt(t)$[/size]
Integrando nuovamente troviamo $x(t)$ :
[size=130]$x(t) = 4/3* k *cos(\alpha) * t^(2/3)$[/size]
Facendo lo stesso ragionamento troviamo $y(t)$ :
[size=130]$y(t) = 4/3 k*sin(\alpha) * t^(3/2) - g/2*t^2$[/size]
Ora mettiamo a sistema le due equazioni :
[size=130]${ ( x(t) = 4/3* k *cos(\alpha) * t^(2/3) ),( y(t) = 4/3 k*sin(\alpha) * t^(3/2) - g/2*t^2 ):}$[/size]
ricavando $t$ da $x(t)$ lo sostituiamo in $y(t)$ così da ottenere $y(x)$, che è :
[size=130]$y(x) = tan(\alpha)*x - g/2(3x/(4cos\alpha*k))^(4/3)$[/size]
Ora, ho fatto una "prova" provando a inserire nell'equazione i seguenti valori : $k=10$ e $alpha=45°$
Ed ho ottenuto questa funzione :
Che mi sembra corretta.
Vorrei sapere se è giusto il mio ragionamento, oppure ho detto tantissime cavolate??
Grazie per l'aiuto!
PS: Se avete approssimazioni migliori da dare a $a(t)$, ditele pure!
Risposte
scusa,ma se $F$ e $a(t)$ sono rispettivamente la forza e l'accelerazione dovuti al solo motore si ha
$vecF=(ma(t)cosalpha,ma(t)senalpha)$
$vecF+vecP=(ma(t)cosalpha,m(a(t)sen(alpha)-g))$
$vecF=(ma(t)cosalpha,ma(t)senalpha)$
$vecF+vecP=(ma(t)cosalpha,m(a(t)sen(alpha)-g))$
Scusa, avrei dovuto usare due notazioni diverse. Con $F=ma(t)$ intendevo la risultante, tra Peso e Forza del motore (chiamamola $F_1$).
ok ,quindi come l'aggiunta che ho fatto mentre postavi
dopo do un'occhiata al resto,sempre che qualcun altro non mi preceda
dopo do un'occhiata al resto,sempre che qualcun altro non mi preceda
Perfetto, grazie!
a parte l'errore di battitura(hai scritto 2 volte $t^(2/3)$ invece di $t^(3/2)$),mi sembra tutto corretto
Si, errore di battitura, grazie mille!!! Molto gentile
prego 
Se ti serve per modellare la dinamica di un razzo vero (ad es se fai razzi ad acqua o razzi chimici amatoriali) devi tener conto di queste cose:
1) la massa è quasi tutta propellente (ed eventuale carburante). Durante l'accelerazione il razzo perde moltissima massa. Questo rende la dinamica estremamente diversa da come ti aspetteresti, infatti non è vero che $F = m a$. Leggi http://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsk ... t_equation per uno studio della $\Delta v$ che puoi ottenere con un razzo a propulsione.
2) Un razzo raramente perde spinta nel corso dell'accelerazione nel modo che hai descritto. Un razzo ad acqua fa una roba di quel tipo ma il tutto si svolge in pochissimo tempo. Il thrust passa da massimo a un po' meno e poi si ferma completamente (perché è finita l'acqua) nel giro di pochissimo, dopodiché la maggior parte del viaggio fino all'apogeo è in coasting. Un razzo chimico amatoriale invece tende (o comunque dovrebbe) avere una spinta bene o male costante, anch'esso per breve tempo, e dopo il burnout non spinge più. Questo perché la miscela deve essere uniforme e ben compattata e brucia gradualmente - se non è così il razzo esplode.
3) La cosa più importante e interessante della dinamica del razzo è l'aerodinamica, è assolutamente fondamentale tenere in considerazione 1] le forze aerodinamiche di attrito e lift e 2] la dinamica rotazionale del razzo. Questi due settori sono accoppiati, perché gli attriti applicano momenti torcenti al razzo e l'angolo di attacco modifica la forma del profilo offerto all'aria e quindi la natura delle forze. Tu nel tuo modello assumi che il razzo spinga in direzione parallela alla sua velocità, questo è approssimativamente giusto se il razzo è ben bilanciato e va abbastanza veloce; in realtà è spesso molto difficile (anzi, è forse la difficoltà principale della fisica dei razzi)
1) la massa è quasi tutta propellente (ed eventuale carburante). Durante l'accelerazione il razzo perde moltissima massa. Questo rende la dinamica estremamente diversa da come ti aspetteresti, infatti non è vero che $F = m a$. Leggi http://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsk ... t_equation per uno studio della $\Delta v$ che puoi ottenere con un razzo a propulsione.
2) Un razzo raramente perde spinta nel corso dell'accelerazione nel modo che hai descritto. Un razzo ad acqua fa una roba di quel tipo ma il tutto si svolge in pochissimo tempo. Il thrust passa da massimo a un po' meno e poi si ferma completamente (perché è finita l'acqua) nel giro di pochissimo, dopodiché la maggior parte del viaggio fino all'apogeo è in coasting. Un razzo chimico amatoriale invece tende (o comunque dovrebbe) avere una spinta bene o male costante, anch'esso per breve tempo, e dopo il burnout non spinge più. Questo perché la miscela deve essere uniforme e ben compattata e brucia gradualmente - se non è così il razzo esplode.
3) La cosa più importante e interessante della dinamica del razzo è l'aerodinamica, è assolutamente fondamentale tenere in considerazione 1] le forze aerodinamiche di attrito e lift e 2] la dinamica rotazionale del razzo. Questi due settori sono accoppiati, perché gli attriti applicano momenti torcenti al razzo e l'angolo di attacco modifica la forma del profilo offerto all'aria e quindi la natura delle forze. Tu nel tuo modello assumi che il razzo spinga in direzione parallela alla sua velocità, questo è approssimativamente giusto se il razzo è ben bilanciato e va abbastanza veloce; in realtà è spesso molto difficile (anzi, è forse la difficoltà principale della fisica dei razzi)
Ciao Hamilton 
In realtà era solo una mia curiosità e svago, non volevo essere preciso e so che è una approssimazione abbastanza sbagliata. Comunque più che "razzo" io intendevo un qualsiasi oggetto che viaggia con un motore e con accelerazione non costante, non nel vero senso della parola.
Per quanto riguarda questo, sentivo che non era proprio esatto la funzione accelerazione che avevo usato. Così ieri sera ho modificato in modo tale che l'accelerazione $a(t)$ sia quella che ho scritto fino ad un tempo $\tau$, dopodiché il motore si spegne e l'unica forza è il peso $P = mg$.
Ti ringrazio moltissimo comunque delle informazioni che mi hai dato. Sono molto interessanti, e chissà, magari adesso riaggiusto un po' i calcoli per cercare di approssimare al meglio.
grazie ancora!
Se ti serve per modellare la dinamica di un razzo vero (ad es se fai razzi ad acqua o razzi chimici amatoriali)
In realtà era solo una mia curiosità e svago, non volevo essere preciso e so che è una approssimazione abbastanza sbagliata. Comunque più che "razzo" io intendevo un qualsiasi oggetto che viaggia con un motore e con accelerazione non costante, non nel vero senso della parola.
Un razzo raramente perde spinta nel corso dell'accelerazione nel modo che hai descritto.
Per quanto riguarda questo, sentivo che non era proprio esatto la funzione accelerazione che avevo usato. Così ieri sera ho modificato in modo tale che l'accelerazione $a(t)$ sia quella che ho scritto fino ad un tempo $\tau$, dopodiché il motore si spegne e l'unica forza è il peso $P = mg$.
Ti ringrazio moltissimo comunque delle informazioni che mi hai dato. Sono molto interessanti, e chissà, magari adesso riaggiusto un po' i calcoli per cercare di approssimare al meglio.
grazie ancora!
ok, speravo fossi un razzaro ad acqua...
Comunque, la 2) e la 3) sono contingenziali, le puoi anche ignorare, ma la 1) discende dalla conservazione del momento lineare. L'unico modo per evitarla è di interagire con l'aria, dunque invece di un motore a propulsione stai considerando, non so, un'elica. Allora parliamo di un aereo modello o di un drone con le batterie molto scariche.
Senti questa: quale angolo iniziale massimizza la gittata?
Comunque, la 2) e la 3) sono contingenziali, le puoi anche ignorare, ma la 1) discende dalla conservazione del momento lineare. L'unico modo per evitarla è di interagire con l'aria, dunque invece di un motore a propulsione stai considerando, non so, un'elica. Allora parliamo di un aereo modello o di un drone con le batterie molto scariche.
Senti questa: quale angolo iniziale massimizza la gittata?
Senti questa: quale angolo iniziale massimizza la gittata?
mmh, proviamoci!
Utilizzo l'equazione della traiettoria che ho scritto prima, ovvero nel caso in cui $a(t) = k/sqrt(t)$.
Innanzitutto, troviamo la formula per la gittata che è :
$x_G = 256k^4/10125 * cos^4\alpha*tan^3\alpha$
il fattore moltiplicativo possiamo approssimarlo a $0,025k^4$, quindi:
$x_G = 0,025k^4* cos^4\alpha*tan^3\alpha$
Ora per trovare per quale angolo la gittata è massiva, basta derivare $x_G$ rispetto ad $\alpha$ e porlo uguale a $0$, quindi :
$dx_G/dx = 0 $ $=>$ $0.025k^4*sin^2(\alpha)*(2cos(2\alpha)+1)=0$
quindi :
$sin^2(\alpha)*(2cos(2\alpha)+1)=0$
Questa equazione si può spezzare in due equazioni, però una ci da un risultato che non ci interessa, mentre la seconda :
$2cos(2\alpha)+1=0$
ha come soluzione $\alpha = 1/3\pi$
L'angolo che massimizza la gittata è quindi $60°$
Giusto?
PS: se volessi trovare l'equazione della traiettoria, però per un razzo vero, cioè nel caso in cui pere massa nel tempo, come poteri fare?
bello, non mi aspettavo una soluzione analitica
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