Equazione schrodinger
Non capisco un passaggio del libro per ricavare l'equazione di schrodinger:
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
dove $ u=u(x,t) $
a questo punto dice che puo essere risolta con il metodo della separazione delle variabili scrivendo
$ u(x,t)=X(x)*T(t) $
in particolare nel nostro caso la parte temporale $ T(t)=coswt $
percio si ha:
$ u(x,t)=phi(x)*coswt $
a questo punto sostituisce in quella prima e ottiene:
$ (partial^2 phi)/(partial x^2) +w^2/v^2phi(x)=0 $
come ha fatto ad arrivare a questo passaggio dal precedente? $ coswt $ dove è andato a finire??
grazie!!
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
dove $ u=u(x,t) $
a questo punto dice che puo essere risolta con il metodo della separazione delle variabili scrivendo
$ u(x,t)=X(x)*T(t) $
in particolare nel nostro caso la parte temporale $ T(t)=coswt $
percio si ha:
$ u(x,t)=phi(x)*coswt $
a questo punto sostituisce in quella prima e ottiene:
$ (partial^2 phi)/(partial x^2) +w^2/v^2phi(x)=0 $
come ha fatto ad arrivare a questo passaggio dal precedente? $ coswt $ dove è andato a finire??
grazie!!
Risposte
ciao!!
essendo
$u(x,t)=phi(x) cos (omega t)$
deriviamo due volte la $u$ rispetto alle coordinate e al tempo e abbiamo
$(del^2 u)/(del x^2)= (del^2 phi)/(del x^2) cos (omega t)$
$(del^2 u)/(del t^2)= - omega^2 phi(x) cos (omega t)$
applica la tua equazione e viene tutto
ciao!!
essendo
$u(x,t)=phi(x) cos (omega t)$
deriviamo due volte la $u$ rispetto alle coordinate e al tempo e abbiamo
$(del^2 u)/(del x^2)= (del^2 phi)/(del x^2) cos (omega t)$
$(del^2 u)/(del t^2)= - omega^2 phi(x) cos (omega t)$
applica la tua equazione e viene tutto
ciao!!
Basta che fai le derivate
Prendi questa equazione:
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
sostituisci a $u$ questo $ u(x,t)=phi(x)*coswt $ e tenendo conto della derivazione parziale ottieni
$coswt(partial^2 phi)/(partial x^2)=-w^2/v^2coswtphi(x)$
Dividi per $coswt$ porta tutto al primo membro ed ottieni
$ (partial^2 phi)/(partial x^2) +w^2/v^2phi(x)=0 $
che è la tua equazione
Ti hanno già risposto, ho visto adesso. Lascio comunque, magari può servire lo stesso.
Prendi questa equazione:
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
sostituisci a $u$ questo $ u(x,t)=phi(x)*coswt $ e tenendo conto della derivazione parziale ottieni
$coswt(partial^2 phi)/(partial x^2)=-w^2/v^2coswtphi(x)$
Dividi per $coswt$ porta tutto al primo membro ed ottieni
$ (partial^2 phi)/(partial x^2) +w^2/v^2phi(x)=0 $
che è la tua equazione
Ti hanno già risposto, ho visto adesso. Lascio comunque, magari può servire lo stesso.
ah quindi ha semplicemente diviso eliminando cosi il cos!!
grazie ad entrambi per le risposte ,molto precise!!
grazie ad entrambi per le risposte ,molto precise!!
scrivo di nuovo perche mi è venuto un ulteriore dubbio:
quando abbiamo separato le variabili $ u(x,t)=X(x)*T(t) $
abbiamo poi scritto: $ u(x,t)= psi(x)cos(wt) $
1)ora come mai la parte temporale è stata esplicitata mentre quella spaziale no?
2)e poi quel $ cos(wt) $ da dove arriva? forse corrisponde a una parte della soluzione dell'equazione d'onda per la meccanica classica:
$ u(x,t)= sum_(n = 1\ldots,oo ) A_ncos(w_nt+phi_n)sen(npix)/l $ ??
grazie!!!
quando abbiamo separato le variabili $ u(x,t)=X(x)*T(t) $
abbiamo poi scritto: $ u(x,t)= psi(x)cos(wt) $
1)ora come mai la parte temporale è stata esplicitata mentre quella spaziale no?
2)e poi quel $ cos(wt) $ da dove arriva? forse corrisponde a una parte della soluzione dell'equazione d'onda per la meccanica classica:
$ u(x,t)= sum_(n = 1\ldots,oo ) A_ncos(w_nt+phi_n)sen(npix)/l $ ??
grazie!!!
Forse si potrebbe spiegare col fatto che la equazione di Schroedinger vuole descrivere una onda, vuole descrivere una particella che si comporta anche come onda... la parte temporale deve essere sinusoidale.
La parte spaziale invece non può mica essere esplicitata, non è prevedibile può essere qualunque cosa
La parte spaziale invece non può mica essere esplicitata, non è prevedibile può essere qualunque cosa
In realtà il fatto che si utilizzi come funzione temporale $coswt$ è una soluzione particolare dell'equazione differenziale. Discende direttamente dalla separazione delle variabili:
Hai l'equazione
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
scriviamola come
$ v^2(partial^2 u)/(partial x^2) =(partial^2 u)/(partial t^2) $
il secondo membro è
$(partial^2 u)/(partial t^2)=X(x)(partial^2 T(t))/(partial t^2)$
il primo è
$v^2(partial^2 u)/(partial x^2)=T(t)v^2(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
quindi
$X(x)(partial^2 T(t))/(partial t^2)=T(t)v^2(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
dividiamo adesso per $X(x)T(t)$
otteniamo
$1/(T(t))(partial^2 T(t))/(partial t^2)=v^2/(X(x))(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
Il primo membro è funzione della sola $t$ e il secondo è funzione della sola $x$, quindi, affinché l'uguaglianza sia sempre valida il valore di ogni membro deve essere uguale ad una costante.
$1/(T(t))(partial^2 T(t))/(partial t^2)=E$ che risolta da una combinazione lineare di una funzione seno e coseno o in generale un esponenziale complesso.
Come la hai scritta tu sembrerebbe possibile applicare lo stesso metodo anche per la parte spaziale, tuttavia quella che hai scritto non è l'equazione di Sch., ma l'equazione di un'onda. L'equazione di Sch. è diversa, e presenta un termine aggiuntivo che si può vedere come l'energia potenziale. E' questo termine che rende diversa (e difficile) l'integrazione. Inoltre, anche ponendoci nel caso
$v^2/(X(x))(partial^2 X(x))/(partial x^2)=E$
troveremmo si una combinazione lineare di esponenziali complessi come soluzione, ma questa soluzione non è normalizzabile. E questo non va assolutamente bene. Quindi si introduce il concetto di pacchetto d'onda etc. Questo per dirti che non è lo stessa cosa lavorare con $t$ e con $x$
Hai l'equazione
$ (partial^2 u)/(partial x^2) =1/v^2(partial^2 u)/(partial t^2) $
scriviamola come
$ v^2(partial^2 u)/(partial x^2) =(partial^2 u)/(partial t^2) $
il secondo membro è
$(partial^2 u)/(partial t^2)=X(x)(partial^2 T(t))/(partial t^2)$
il primo è
$v^2(partial^2 u)/(partial x^2)=T(t)v^2(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
quindi
$X(x)(partial^2 T(t))/(partial t^2)=T(t)v^2(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
dividiamo adesso per $X(x)T(t)$
otteniamo
$1/(T(t))(partial^2 T(t))/(partial t^2)=v^2/(X(x))(partial^2 X(x))/(partial x^2)$
Il primo membro è funzione della sola $t$ e il secondo è funzione della sola $x$, quindi, affinché l'uguaglianza sia sempre valida il valore di ogni membro deve essere uguale ad una costante.
$1/(T(t))(partial^2 T(t))/(partial t^2)=E$ che risolta da una combinazione lineare di una funzione seno e coseno o in generale un esponenziale complesso.
Come la hai scritta tu sembrerebbe possibile applicare lo stesso metodo anche per la parte spaziale, tuttavia quella che hai scritto non è l'equazione di Sch., ma l'equazione di un'onda. L'equazione di Sch. è diversa, e presenta un termine aggiuntivo che si può vedere come l'energia potenziale. E' questo termine che rende diversa (e difficile) l'integrazione. Inoltre, anche ponendoci nel caso
$v^2/(X(x))(partial^2 X(x))/(partial x^2)=E$
troveremmo si una combinazione lineare di esponenziali complessi come soluzione, ma questa soluzione non è normalizzabile. E questo non va assolutamente bene. Quindi si introduce il concetto di pacchetto d'onda etc. Questo per dirti che non è lo stessa cosa lavorare con $t$ e con $x$
Ciao xshadow, oltre ad aggiungere ciò che ha scritto Spremiagrumi che è correttisimo vorrei risponderti alla tua prima domanda:
"1)ora come mai la parte temporale è stata esplicitata mentre quella spaziale no?"
La parte spaziale non è esplicitata perché essa dipende dall'energia potenziale $V(x)$.
Come ben sai, c'è l'equazione di schroedinger non dipendente dal tempo. Sapendo l'energia potenziale del sistema quantistico è possibile poi trovare la funzione d'onda $\psi(x)$.
"1)ora come mai la parte temporale è stata esplicitata mentre quella spaziale no?"
La parte spaziale non è esplicitata perché essa dipende dall'energia potenziale $V(x)$.
Come ben sai, c'è l'equazione di schroedinger non dipendente dal tempo. Sapendo l'energia potenziale del sistema quantistico è possibile poi trovare la funzione d'onda $\psi(x)$.
penso di avere capito...grazie.
Un ultima cosa: il mio libro dice che l'equazione di schrodinger è da considerarsi come un postulato fondamentale dalla MQ e cosi come non si possono ricavare le leggi di newton cosi non si puo ricavare in modo univoco l'equazione di schordinger, si puo solamente mostrare come la sua formulazione non sia casuale ma sia per certi aspetti una riformulazione dell'equazione d'onda della meccanica classica...
ciooè si è preso spunto da quella per giungere a quella di schordinger...
pero è vero che non è ricavabile in modo univoco?
Un ultima cosa: il mio libro dice che l'equazione di schrodinger è da considerarsi come un postulato fondamentale dalla MQ e cosi come non si possono ricavare le leggi di newton cosi non si puo ricavare in modo univoco l'equazione di schordinger, si puo solamente mostrare come la sua formulazione non sia casuale ma sia per certi aspetti una riformulazione dell'equazione d'onda della meccanica classica...
ciooè si è preso spunto da quella per giungere a quella di schordinger...
pero è vero che non è ricavabile in modo univoco?
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