Equazione relativistica del razzo
Nel trattare questo argomento, un libro che sto leggendo riporta:
Non riesco a capire come abbia ottenuto proprio questa formula dalle trasformazioni di Lorentz.
Supponendo che il moto di S' (e del razzo) avvenga lungo l'asse x di S, partendo dalle trasformazioni di Lorentz ho provato a calcolare \(\displaystyle \frac{dx}{dt} \) e poi \(\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} \) ma non riesco a pervenire a quella formula.
Supponiamo che, rispetto al sistema di riferimento S' in cui è istantaneamente fermo, il razzo possieda una accelerazione costante a'. Dalle trasformazioni di Lorentz sappiamo che l'aumento di velocità \(\displaystyle \Delta v' \), in S', è legato all'incremento di velocità \(\displaystyle \Delta v \), relativo ad un sistema di riferimento inerziale S, dalla formula
\(\displaystyle \Delta v = (1 - \frac{v^2}{c^2}) \Delta v' \)
dove v è la velocità di S' rispetto a S.
Non riesco a capire come abbia ottenuto proprio questa formula dalle trasformazioni di Lorentz.
Supponendo che il moto di S' (e del razzo) avvenga lungo l'asse x di S, partendo dalle trasformazioni di Lorentz ho provato a calcolare \(\displaystyle \frac{dx}{dt} \) e poi \(\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} \) ma non riesco a pervenire a quella formula.
Risposte
Ciao Raff. Provo a risponderti.
In RR si trattano molto meglio intervalli spaziotemporali, velocità, accelerazioni, con l'uso dei quadri-vettori.
Ma la relazione che scrivi si può ricavare anche in maniera più semplice.
Supponiamo di avere, in Meccanica classica, un razzo con accelerazione costante $a$ rispetto ad un osservatore inerziale (ad es terrestre).
La Meccanica classica dice che : $v=a*t$ e : $ s = 1/2at^2$
Se fosse $a = 10 m/s^2$ ( circa uguale a $g$ sulla Terra), e se fossero valide le leggi sopra scritte anche a velocita prossime a $c$ , il razzo raggiungerebbe la velocita della luce in un tempo : $T = c/a$, pari a circa 1 anno, e la potrebbe anche superare.
Ma dobbiamo fare i conti con la RR. Allora, se vogliamo che durante il volo sia costante l'accelerazione che preme sulla schiena degli astronauti,misurata nel razzo, dobbiamo riferire il moto del razzo"istantaneamente" , cioè istante dopo istante, ad un "riferimento inerziale di quiete momentanea" ( MCRF = momentarily comoving reference frame) : per chiarire, in un certo istante $t$ di tempo terrestre il razzo ha una certa velocita $v$ rispetto alla Terra. In quell'istante c'è un riferimento inerziale che ha un moto "tangente" al moto del razzo, e si muove con quella velocita $v$ rispetto alla Terra. È in questo riferimento inerziale che il razzo si può considerare in quiete momentanea.
Ma il razzo accelera, la sua velocita cambia, sia rispetto alla Terra che rispetto al MCRF.
Visto da Terra, la sua velocità passa da $v$ a $v + dv$ in un intervallino $dt$ di tempo terrestre.
E nel MCRF, come variano la velocità e il tempo?
L'incremento di velocita nel MCRF sia $du$. PEr trovare la relazione con $dv$ ,dobbiamo applicare la trasformazione relativistica delle velocita, calcolando la $v + dv$ rispetto alla Terra :
$v + dv = (v + du)/(1+(v*du)/c^2) = v + du - (v^2*du)/c^2$ ( circa, trascurando infinitesimi di ord superiore)
da cui si ricava la relazione che tu hai scritto : $dv = du(1-v^2/c^2)$
Il tempo chiaramente è dato da : $dt' = dt*sqrt(1-v^2/c^2)$ ( con apice indico le grandezze riferite al razzo)
Percio, l'accelerazione $a'$ misurata nel razzo e l'accelerazione $a$ misurata da Terra sono legate in questo modo :
$a' = (du)/(dt') $
$a = (dv)/(dt) $
Sostituendo le quantita prima scritte, si ha che :
$a = (dv)/(dt) = a' *(1-v^2/c^2)^(3/2) = \gamma^(-3)a'$
Percio l'accelerazione, misurata da Terra, non è costante, ma diminuisce col tempo (terrestre), mentre l'accelerazione propria $a'$ misurata nel razzo è costante.
Questo moto si chiama "moto iperbolico relativistico" , perche si può calcolare la linea di universo mediante integrazione doppia, e si vede che si tratta di un ramo di iperbole, avente per asintoto la linea luce in un diagramma di Minkowski relativo al riferimento inerziale terrestre.
In RR si trattano molto meglio intervalli spaziotemporali, velocità, accelerazioni, con l'uso dei quadri-vettori.
Ma la relazione che scrivi si può ricavare anche in maniera più semplice.
Supponiamo di avere, in Meccanica classica, un razzo con accelerazione costante $a$ rispetto ad un osservatore inerziale (ad es terrestre).
La Meccanica classica dice che : $v=a*t$ e : $ s = 1/2at^2$
Se fosse $a = 10 m/s^2$ ( circa uguale a $g$ sulla Terra), e se fossero valide le leggi sopra scritte anche a velocita prossime a $c$ , il razzo raggiungerebbe la velocita della luce in un tempo : $T = c/a$, pari a circa 1 anno, e la potrebbe anche superare.
Ma dobbiamo fare i conti con la RR. Allora, se vogliamo che durante il volo sia costante l'accelerazione che preme sulla schiena degli astronauti,misurata nel razzo, dobbiamo riferire il moto del razzo"istantaneamente" , cioè istante dopo istante, ad un "riferimento inerziale di quiete momentanea" ( MCRF = momentarily comoving reference frame) : per chiarire, in un certo istante $t$ di tempo terrestre il razzo ha una certa velocita $v$ rispetto alla Terra. In quell'istante c'è un riferimento inerziale che ha un moto "tangente" al moto del razzo, e si muove con quella velocita $v$ rispetto alla Terra. È in questo riferimento inerziale che il razzo si può considerare in quiete momentanea.
Ma il razzo accelera, la sua velocita cambia, sia rispetto alla Terra che rispetto al MCRF.
Visto da Terra, la sua velocità passa da $v$ a $v + dv$ in un intervallino $dt$ di tempo terrestre.
E nel MCRF, come variano la velocità e il tempo?
L'incremento di velocita nel MCRF sia $du$. PEr trovare la relazione con $dv$ ,dobbiamo applicare la trasformazione relativistica delle velocita, calcolando la $v + dv$ rispetto alla Terra :
$v + dv = (v + du)/(1+(v*du)/c^2) = v + du - (v^2*du)/c^2$ ( circa, trascurando infinitesimi di ord superiore)
da cui si ricava la relazione che tu hai scritto : $dv = du(1-v^2/c^2)$
Il tempo chiaramente è dato da : $dt' = dt*sqrt(1-v^2/c^2)$ ( con apice indico le grandezze riferite al razzo)
Percio, l'accelerazione $a'$ misurata nel razzo e l'accelerazione $a$ misurata da Terra sono legate in questo modo :
$a' = (du)/(dt') $
$a = (dv)/(dt) $
Sostituendo le quantita prima scritte, si ha che :
$a = (dv)/(dt) = a' *(1-v^2/c^2)^(3/2) = \gamma^(-3)a'$
Percio l'accelerazione, misurata da Terra, non è costante, ma diminuisce col tempo (terrestre), mentre l'accelerazione propria $a'$ misurata nel razzo è costante.
Questo moto si chiama "moto iperbolico relativistico" , perche si può calcolare la linea di universo mediante integrazione doppia, e si vede che si tratta di un ramo di iperbole, avente per asintoto la linea luce in un diagramma di Minkowski relativo al riferimento inerziale terrestre.
Navigatore, come sempre, ottima risposta!
Il libro purtroppo spara direttamente quella formula senza tante spiegazioni, mentre su altri argomenti illustra i vari passaggi in modo sin troppo dettagliato.
Il libro giustifica quella formula definendola "una conseguenza di ciò che si è visto nel capitolo sulle trasformazioni di Lorentz". Cercando in quel capitolo, l'unica formula che si avvicina a quella cercata è relativa alla composizione delle velocità.
Viene citato l'esempio di un sistema inerziale S' che si muove con velocità \(\displaystyle \vec{V} \) rispetto ad un altro sistema inerziale S; il vettore \(\displaystyle \vec{V} \) è parallelo all'asse x di entrambi i sistemi.
In S' c'è una particella che si muove con velocità \(\displaystyle \vec{v'} \) di componenti \(\displaystyle \vec{v_x'}, \vec{v_y'}, \vec{v_z'} \).
Limitandoci all'asse x, le trasformazioni di Lorentz portano a \(\displaystyle v_x = \frac{v_x' + V}{1 + \frac{v_x' V}{c^2}} \)
Applicando opportunamente questa formula si dovrebbe pervenire al risultato cercato.
P.S. Ho stampato la tua risposta e l'ho infilata nel libro, così se qualcun altro si trova in difficoltà ...
Il libro purtroppo spara direttamente quella formula senza tante spiegazioni, mentre su altri argomenti illustra i vari passaggi in modo sin troppo dettagliato.
Il libro giustifica quella formula definendola "una conseguenza di ciò che si è visto nel capitolo sulle trasformazioni di Lorentz". Cercando in quel capitolo, l'unica formula che si avvicina a quella cercata è relativa alla composizione delle velocità.
Viene citato l'esempio di un sistema inerziale S' che si muove con velocità \(\displaystyle \vec{V} \) rispetto ad un altro sistema inerziale S; il vettore \(\displaystyle \vec{V} \) è parallelo all'asse x di entrambi i sistemi.
In S' c'è una particella che si muove con velocità \(\displaystyle \vec{v'} \) di componenti \(\displaystyle \vec{v_x'}, \vec{v_y'}, \vec{v_z'} \).
Limitandoci all'asse x, le trasformazioni di Lorentz portano a \(\displaystyle v_x = \frac{v_x' + V}{1 + \frac{v_x' V}{c^2}} \)
Applicando opportunamente questa formula si dovrebbe pervenire al risultato cercato.
P.S. Ho stampato la tua risposta e l'ho infilata nel libro, così se qualcun altro si trova in difficoltà ...
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