Equazione oraria corpo con accelerazione dipendente dalla velocità

[amivaleo]

Ciao!

Ho un esercizio che sembra piuttosto semplice ma non mi torna la soluzione. Deve esserci qualche problema nei miei passaggi matematici.

Un corpo ha una certa velocità iniziale $v_0$ quando a un certo punto inizia a decelerare con un'accelerazione che dipende dalla velocità, secondo $\ddot{x} = k \dot{x}$, con $k$ un coefficiente negativo con unità $s^{-1}$.
La domanda è calcolare lo spazio percorso dall'istante iniziale fino a quando si ferma.

Io ho considerato così l'equazione:
$\frac{d\dot{x}}{dt} = k \dot{x}$
Dunque è a variabili separabili, da cui:
$\frac{d\dot{x}}{\dot{x}} = kdt$
Integro e ottengo
$ln(\dot{x}) = kt + c$
Elevo a esponente
$\dot{x} = v_0 e^{kt}$

Ma così la velocità finale, cioè $\dot{x}$, non potrà mai essere zero, servirebbe un tempo infinito...

Sbaglio qualcosa?
È di fatto del tutto equiparabile al caso di un corpo soggetto ad attrito viscoso. E anche in quel caso la soluzione per la velocità prevede infatti un esponenziale.

[Palliit]

Supponendo il corpo nell'origine all'istante $t=0$ hai:

$x=v_0/k e^(kt)-v_0/k=1/k v(t)-v_0/k$ ;

quando $v(t)=0$ è $x=-v_0/k$, per cui lo spazio percorso è $-v_0/k$.

[SteezyMenchi]

Io avrei integrato di nuovo rispetto al tempo. Ottieni l'espressione generale della posizione: $x = v_0/k e^{kt}+ v_0/k c, c \in \RR$. Imponi per esempio la condizione suggerita da Pallit e trovi proprio $c = -1$ e da lì in poi è tutto abbastanza semplice suppongo

[amivaleo]

Cavolo, vero.
Mi sono fatto fregare.
Ho anche provato a integrare di nuovo ma mettevo la costante d'integrazione a sinistra, così: $\Delta x = \frac{v_0}{k}e^{kt}$, mettevo $x_0=0$ ma mi fermavo lì... Sarebbe bastato controllare cosa succedesse all'esponenziale mettendo a zero il tempo e avrei aggiustato i passaggi.
Grazie...!