Equazione onde soluzione
Salve,
In questa pagina vengono ricavate le equazioni delle onde a partire da quelle di Maxwell: http://en.wikipedia.org/wiki/Em_wave. La derivazione dalle equazioni di maxwell mi è chiara. L'equazione che interessa a noi è
\(\displaystyle \nabla^2 \vec{E} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial ^2 t} \)
Ora, poco sotto sta scritto:
Let's consider a generic vector wave for the electric field.
\(\displaystyle \vec{E} = E_0 \vec{f}(\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \)
Here, \( E_0 \) is the constant amplitude, f is any second differentiable function, \( \hat{k} \) is a unit vector in the direction of propagation, and \( \vec{x} \) is a position vector. We observe that \( f \) is a generic solution to the wave equation. In other words
\(\displaystyle \nabla^2 \vec{f} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{f}}{\partial ^2 t} \)
Perchè?
Non avendo l'espressione esplicita di f, come fa a dire che il suo laplaciano (a sinistra) è uguale all'espressione a destra?
P.S. se mi tenete la freccina sopra le funzioni che hanno immagine in \( \mathbb{R}^3 \) mi fate un favore
EDIT: ho corretto la domanda
In questa pagina vengono ricavate le equazioni delle onde a partire da quelle di Maxwell: http://en.wikipedia.org/wiki/Em_wave. La derivazione dalle equazioni di maxwell mi è chiara. L'equazione che interessa a noi è
\(\displaystyle \nabla^2 \vec{E} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{E}}{\partial ^2 t} \)
Ora, poco sotto sta scritto:
Let's consider a generic vector wave for the electric field.
\(\displaystyle \vec{E} = E_0 \vec{f}(\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \)
Here, \( E_0 \) is the constant amplitude, f is any second differentiable function, \( \hat{k} \) is a unit vector in the direction of propagation, and \( \vec{x} \) is a position vector. We observe that \( f \) is a generic solution to the wave equation. In other words
\(\displaystyle \nabla^2 \vec{f} = \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial ^2 \vec{f}}{\partial ^2 t} \)
Perchè?
Non avendo l'espressione esplicita di f, come fa a dire che il suo laplaciano (a sinistra) è uguale all'espressione a destra?
P.S. se mi tenete la freccina sopra le funzioni che hanno immagine in \( \mathbb{R}^3 \) mi fate un favore
EDIT: ho corretto la domanda
Risposte
Non vedo il problema con quello che è scritto, nel senso: si è limitato a sostituire $\vec(E)$ con $\vec(f)$.
$E_0$ siccome è costante è portato sia fuori dal Laplaciano a primo membro, sia fuori dalla derivata parziale a secondo membro, quindi è stato semplificato.
$E_0$ siccome è costante è portato sia fuori dal Laplaciano a primo membro, sia fuori dalla derivata parziale a secondo membro, quindi è stato semplificato.
Se interpreto bene, il dubbio di raffamaiden riguarda la genericità di $f$, nel senso che gli manca un'espressione esplicita per la forma dell'onda propagantesi.
Per inquadrare meglio il problema, forse ti conviene guardare questa pagina:
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula
Il concetto è che la forma dell'onda è dettata dalle condizioni al contorno al tempo $t=0$.
Puoi guardare anche qui (sotto "Scalar wave equation in one space dimension - General Solution" ):
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
Per inquadrare meglio il problema, forse ti conviene guardare questa pagina:
http://en.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_formula
Il concetto è che la forma dell'onda è dettata dalle condizioni al contorno al tempo $t=0$.
Puoi guardare anche qui (sotto "Scalar wave equation in one space dimension - General Solution" ):
http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
Forse continuo a non capire, ma secondo me è dovuto al fatto che $\bbx$ è fisso e si considera l'evoluzione nel tempo.
Coerentemente, il Laplaciano consta della sola derivata rispetto a $t$.
Coerentemente, il Laplaciano consta della sola derivata rispetto a $t$.
Grazie ad entrambi
@elgiovo: guarderò i link con attenzione, purtroppo non ho basi di PDE, avendo fatto solo quelle ordinarie
Cioè, tu dici
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} = \vec{f}' (\hat{h} \cdot \vec{x} - c_0 t) \cdot (- c_0) \)
\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t) \cdot (c_0^2) \)
\( = \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \cdot \left( \dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \right) = \nabla^2 f\)
Eh, ma non si semplifica
\( \neq \mu_0 \epsilon_0 \cdot \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \)
@elgiovo: guarderò i link con attenzione, purtroppo non ho basi di PDE, avendo fatto solo quelle ordinarie
"Gabriele.Sciaguato":
Forse continuo a non capire, ma secondo me è dovuto al fatto che $\bbx$ è fisso e si considera l'evoluzione nel tempo.
Coerentemente, il Laplaciano consta della sola derivata rispetto a $t$.
Cioè, tu dici
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} = \vec{f}' (\hat{h} \cdot \vec{x} - c_0 t) \cdot (- c_0) \)
\(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t) \cdot (c_0^2) \)
\( = \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \cdot \left( \dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \right) = \nabla^2 f\)
Eh, ma non si semplifica
\( \neq \mu_0 \epsilon_0 \cdot \vec{f}'' (\hat{k} \cdot \vec{x} - c_0 t ) \)
@ raffamaiden: Appena torno a casa ti posto i conti. 
Il laplaciano va inteso rispetto alle sole variabili spaziali, le quali, come al solito, sono ben distinte da quella temporale.
La soluzione proposta da WIKI è quella che di solito si chiama soluzione ad onda viaggiante (infatti, se ti fai un disegnino in un caso semplice, vedrai che il fronte d'onda si muove al crescere di \(t\), ma la forma d'onda rimane la stessa).
Una funzione del tipo \(F(\mathbf{x},t) = f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\) risolve sempre un'equazione di d'Alembert del tipo:
\[
\tag{1}
\color{maroon}{\Delta_{\mathbf{x}}} F(\mathbf{x} ,t) = \nu^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x}, t)
\]
(in cui \(\Delta_\mathbf{x} = \sum_{n=1}^N \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} = \nabla_{\mathbf{x}}^2\) è il laplaciano in notazione più matematica) se \(c_0\) è scelto "bene" rispetto a \(\nu^2>0\).
Infatti si ha:
\[
\nabla_\mathbf{x} F(\mathbf{x} ,t) = f^\prime (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\ \mathbf{k}
\]
quindi:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\ |\mathbf{k}|^2 = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)
\]
perché \(\mathbf{k}\) è un versore; d'altro canto è:
\[
\frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\; .
\]
Da ciò segue che la \(F\) scelta in precedenza soddisfa:
\[
\frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t)
\]
ossia:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = \frac{1}{c_0^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t)\; ;
\]
perciò la \(F(\mathbf{x},t)=f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\) risolve l'equazione delle onde (1) solo se \(c_0^2 = \nu^{-2}\).
Ovviamente, nulla cambia quando consideri funzioni del tipo \(E(\mathbf{x},t):=E_0\ F(\mathbf{x},t)\), poiché l'equazione delle onde è lineare.
La soluzione proposta da WIKI è quella che di solito si chiama soluzione ad onda viaggiante (infatti, se ti fai un disegnino in un caso semplice, vedrai che il fronte d'onda si muove al crescere di \(t\), ma la forma d'onda rimane la stessa).
Una funzione del tipo \(F(\mathbf{x},t) = f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\) risolve sempre un'equazione di d'Alembert del tipo:
\[
\tag{1}
\color{maroon}{\Delta_{\mathbf{x}}} F(\mathbf{x} ,t) = \nu^2 \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x}, t)
\]
(in cui \(\Delta_\mathbf{x} = \sum_{n=1}^N \frac{\partial^2}{\partial x_n^2} = \nabla_{\mathbf{x}}^2\) è il laplaciano in notazione più matematica) se \(c_0\) è scelto "bene" rispetto a \(\nu^2>0\).
Infatti si ha:
\[
\nabla_\mathbf{x} F(\mathbf{x} ,t) = f^\prime (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\ \mathbf{k}
\]
quindi:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\ |\mathbf{k}|^2 = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)
\]
perché \(\mathbf{k}\) è un versore; d'altro canto è:
\[
\frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\; .
\]
Da ciò segue che la \(F\) scelta in precedenza soddisfa:
\[
\frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t)
\]
ossia:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = \frac{1}{c_0^2}\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t)\; ;
\]
perciò la \(F(\mathbf{x},t)=f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\) risolve l'equazione delle onde (1) solo se \(c_0^2 = \nu^{-2}\).
Ovviamente, nulla cambia quando consideri funzioni del tipo \(E(\mathbf{x},t):=E_0\ F(\mathbf{x},t)\), poiché l'equazione delle onde è lineare.
Ciao gugo, grazie infinite della risposta. Userò la notazione di Leibniz per le derivate.
Quindi, \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\), perchè prende un punto dello spazio \( \mathbb{R}^3 \) e un istante di tempo per ""restituire"" (non mi cazziare) il valore del campo elettrico.
Per abbreviare scriverò \( f \) intendendo sempre:
\( f = f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \)
Data la \( F(\mathbf{x},t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \), come da te definita nel post precedente, ne calcoliamo le derivate prime e seconde
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} k_x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} y} = \dfrac{\partial f}{\partial y} k_y \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} y^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} z} = \dfrac{\partial f}{\partial z} k_z \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} z^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} t} = - \dfrac{\partial f}{\partial t} c_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} t^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} c_0^2 \)
Il laplaciano sarà la somma delle derivate parziali spaziali seconde non miste. Il laplaciano, applicato a un campo scalare, genera un'altro campo scalare.
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) = \nabla^2 F(\mathbf{x} ,t) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \)
Ma in realtà quella a destra e a sinistra sono derivate rispetto a variabili diverse. In altre parole, quando hai scritto
Ho capito che per \( f^{\prime \prime} \) intendi \( \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} \)
Ma quando hai scritto
Non ho capito cos'è \( f^{\prime \prime} \). La derivata seconda rispetto a cosa? \( |\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \), ma non capisco come faccia a tornare uguale al laplaciano che ho scritto io sopra. Se l'uguaglianza fosse vera, dovrebbe essere la derivta rispetto al tempo, ma non può essere così.
Quindi, \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\), perchè prende un punto dello spazio \( \mathbb{R}^3 \) e un istante di tempo per ""restituire"" (non mi cazziare) il valore del campo elettrico.
Per abbreviare scriverò \( f \) intendendo sempre:
\( f = f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \)
Data la \( F(\mathbf{x},t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \), come da te definita nel post precedente, ne calcoliamo le derivate prime e seconde
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} k_x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} y} = \dfrac{\partial f}{\partial y} k_y \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} y^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} z} = \dfrac{\partial f}{\partial z} k_z \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} z^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} t} = - \dfrac{\partial f}{\partial t} c_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} t^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} c_0^2 \)
Il laplaciano sarà la somma delle derivate parziali spaziali seconde non miste. Il laplaciano, applicato a un campo scalare, genera un'altro campo scalare.
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) = \nabla^2 F(\mathbf{x} ,t) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \)
"gugo":
Da ciò segue che la \( F \) scelta in precedenza soddisfa:
\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) \]
Ma in realtà quella a destra e a sinistra sono derivate rispetto a variabili diverse. In altre parole, quando hai scritto
\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\; . \]
Ho capito che per \( f^{\prime \prime} \) intendi \( \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} \)
Ma quando hai scritto
\[ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t) |\mathbf{k}|^2 \]
Non ho capito cos'è \( f^{\prime \prime} \). La derivata seconda rispetto a cosa? \( |\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \), ma non capisco come faccia a tornare uguale al laplaciano che ho scritto io sopra. Se l'uguaglianza fosse vera, dovrebbe essere la derivta rispetto al tempo, ma non può essere così.
"raffamaiden":
Ciao gugo, grazie infinite della risposta. Userò la notazione di Leibniz per le derivate.
Quindi, \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}\), perchè prende un punto dello spazio \( \mathbb{R}^3 \) e un istante di tempo per ""restituire"" (non mi cazziare) il valore del campo elettrico.
Per abbreviare scriverò \( f \) intendendo sempre:
\( f = f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \)
Già qui cominci male.
Dato che abbiamo introdotto \(F(\mathbf{x}, t)\) per denotare la funzione composta \(f(\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\), che bisogno c'è di usare di nuovo \(f\) per denotare la stessa funzione?
[Questa è una perversione dei Fisici: usare la stessa lettera per denotare tutto. Ma perché? Che male fa introdurre due nomi diversi per due cose diverse quando si fanno conti? Ci si incasina di meno... Poi, alla fine dei conti, coi risultati acquisiti, si possono fare tutte le porcate notazionali che si vogliono.
]Più comodo è usare \(f\) per denotare solo la componente esterna della funzione composta \(F\), i.e. la funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) che fornisce la "forma d'onda" che si propaga lungo la direzione di \(\mathbf{k}\).
E, visto che \(f\) è una funzione di un'unica variabile, chiamiamola \(s\), si può usare la solita notazione con l'apice per denotarne le derivate, ergo:
\[
f^\prime = \frac{\text{d} f}{\text{d} s}
\]
In quest'ottica le ralzioni:
"raffamaiden":
Data la \( F(\mathbf{x},t) = f(k_x x + k_y y + k_z z -c_0 t) \), come da te definita nel post precedente, ne calcoliamo le derivate prime e seconde
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} x} = \dfrac{\partial f}{\partial x} k_x \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} x^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} y} = \dfrac{\partial f}{\partial y} k_y \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} y^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} z} = \dfrac{\partial f}{\partial z} k_z \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} z^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \dfrac{ \text{d} F}{\text{d} t} = - \dfrac{\partial f}{\partial t} c_0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \dfrac{ \text{d}^2 F}{\text{d} t^2} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} c_0^2 \)
sono sbagliate, perché \(f\) è funzione di un'unica variabile; quindi esse si riscrivono correttamente come:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ F(\mathbf{x},t) &= f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ k_x^2\\
\frac{\partial^2}{\partial y^2}\ F(\mathbf{x},t) &= f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ k_y^2\\
\frac{\partial^2}{\partial z^2}\ F(\mathbf{x},t) &= f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ k_z^2\\
\frac{\partial^2}{\partial t^2}\ F(\mathbf{x},t) &= f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ c_0^2\; .
\end{split}
\]
"raffamaiden":
Il laplaciano [strike]sarà[/strike] è la somma delle derivate parziali spaziali seconde non miste. Il laplaciano, applicato a un campo scalare, genera un'altro campo scalare.
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) = \nabla^2 F(\mathbf{x} ,t) = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} k_x^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} k_y^2 + \dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} k_z^2 \)
\( \Delta F(\mathbf{x} ,t) : \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \)
quindi, mettendo insieme il risultato precedente:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ \left( k_x^2 + k_y^2 + k_z^2\right) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)\ |\mathbf{k}|^2
\]
(come asserito nel post di cui sopra), ossia:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle - c_0t)
\]
perché \(|\mathbf{k}|=1\).
"raffamaiden":
[quote="gugo"]Da ciò segue che la \( F \) scelta in precedenza soddisfa:
\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) \]
Ma in realtà quella a destra e a sinistra sono derivate rispetto a variabili diverse. In altre parole, quando hai scritto
\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x},t) = c_0^2\ f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t)\; . \]
Ho capito che per \( f^{\prime \prime} \) intendi \( \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} \)
Ma quando hai scritto
\[ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = f^{\prime \prime} (\langle \mathbf{k}, \mathbf{x}\rangle -c_0 t) |\mathbf{k}|^2 \]
Non ho capito cos'è \( f^{\prime \prime} \). La derivata seconda rispetto a cosa? \( |\mathbf{k}|^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \), ma non capisco come faccia a tornare uguale al laplaciano che ho scritto io sopra. Se l'uguaglianza fosse vera, dovrebbe essere la derivta rispetto al tempo, ma non può essere così.[/quote]
La notazione apicale l'ho spiegata sopra, quindi non dovrebbero esserci problemi a constatare, confrontando l'espressione del laplaciano e della derivata temporale seconda, che la \(F\) di cui sopra soddisfa:
\[
c_0^2\ \Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x}, t)\; ,
\]
cioé:
\[
\Delta_{\mathbf{x}} F(\mathbf{x},t) = \nu^2\ \frac{\partial^2}{\partial t^2} F(\mathbf{x}, t)\ldots
\]
con \(\nu^2=c_0^{-2}\)... O no?
Ti ringrazio molto. Mi sono perso in un bicchiere d'acqua 
Saluti!
Saluti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo