Equazione onda sferica - dubbio

[Summerwind78]

Ciao a tutti

ho un esercizio che mi chiede dimostrare che

[tex]\Delta f= \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} f[/tex]

dove $f$ è l'equazione di un'onda sferica.

Se ho capito correttamente devo riportarmi alla soluzione di un'equazione di un'onda piana passando in coordinate sferiche. Una volta trovata la tratto come se fosse un'onda piana e dovrei (se ci riesco) trovarne la soluzione con il metodo di d'Alambert.

per quanto riguarda la trasformazione in coordinate sferica dell'operatore di Laplace, trovo che

[tex]\Delta f(r)= \frac{1}{r^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{2} \frac{\partial f}{\partial r} \right)[/tex]

i termini con le derivate parziali rispetto agli angoli li considero nulli in quanto l'onda non dipende dagli angoli.

Prima di tutto ho fatto correttamente la trasformazione dell'operatore di Laplace in coordinate sferiche?

Il problema mi nasce quando devo passare in coordinate sferiche il secondo termine (alla destra dell'uguale)

qualcuno mi più dare una dritta?


grazie mille

[Sk_Anonymous]

Ciao. La formula è corretta. Tuttavia, scrivendola diversamente, ti riconduci facilmente al caso delle onde piane:

$[1/r(del^2(rf))/(delr^2)=1/c^2(del^2f)/(delt^2)] rarr [(del^2(rf))/(delr^2)=1/c^2(del^2(rf))/(delt^2)]$

[Summerwind78]

ciao

grazie della risposta

non capisco però perchè $r$ non dipenda dal tempo e quindi possa entrare dentro l'operatore di derivata seconda

[Sk_Anonymous]

$r$ è una delle variabili indipendenti. In coordinate cartesiane, sarebbe come $x$.

[Summerwind78]

ma con il trascorrere del tempo $r$ cambia, quindi ne è dipendente

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un'equazione differenziale alle derivate parziali. $r$ è una delle $3$ coordinate che identificano un punto nello spazio. In coordinate cartesiane, non credo che avresti dei dubbi sul seguente passaggio:

$x(delf)/(dely)=(del(xf))/(dely)$

[Summerwind78]

ho capito... chiaro! grazie