Equazione Lagrangiana, e 59.5 p 324

[Antonio_80]

Non ho la soluzione, adesso vedo cosa riesco a fare, sperando in un tuo aiuto se faccio errori!

La lagrangiana la indico con $L$:

$L=T - U$

$L = 1/2m dot(x)^2 -mgh$ dove $h=y_P$

$x= s cos alpha -> dot(x) = dot(s) cos alpha$

$y_P = y_B - s sin alpha$

Per cui la Lagrangiana diventa:

$L = 1/2m dot(s)^2 cos^2 alpha -mg(y_B - s sin alpha)$

Se adesso derivo la Lagrangiana rispetto alla velocità $dot(s)$ si ha:

$(delta L)/(delta dot(s)) = k * dot(s) cos^2 alpha$

se derivo ancora rispetto al tempo si ha che l'unica grandezza che varia è la $dot(s)$, quindi:

$d/(dt) (delta L)/(delta dot(s)) = k * ddot(s) cos^2 alpha$

E del potenziale dobbiamo derivare rispetto alla $s$ e considerando le grandezze costanti, si ha:

$(delta L)/(delta s)= dot(s) sin alpha$

Per cui sapendo che la forma dell'equazione Lagrangiana è la seguente:

$d/(dt) (delta L)/(delta dot(s)) - (delta L)/(delta s) =0$

si ha che:

$k * ddot(s) cos^2 alpha - dot(s) sin alpha=0$

Meglio scritta in questo modo:

$ddot(s) k cos^2 alpha - dot(s) sin alpha=0$

Questa è l'equazione del moto!

Dite che ho fatto tutto bene

[gordnbrn]

$(P-O)=s*cos\alphaveci+(y_B-s*sen\alpha)vecj$

$vecv_P=dots*cos\alphaveci-dots*sen\alphavecj$

La velocità è $dots$ ed è diretta lungo il piano, come si evince anche senza scomodare il formalismo Lagrangiano. Ma se proprio dobbiamo utilizzarlo, e la consegna ci obbliga, dobbiamo tenere conto di entrambe le componenti della velocità. Infatti:

$v_P^2=dots^2$

[Antonio_80]

"gordnbrn":$(P-O)=s*cos\alphaveci+(y_B-s*sen\alpha)vecj$

$vecv_P=dots*cos\alphaveci-dots*sen\alphavecj$

La velocità è $dots$ ed è diretta lungo il piano, come si evince anche senza scomodare il formalismo Lagrangiano. Ma se proprio dobbiamo utilizzarlo, e la consegna ci obbliga, dobbiamo tenere conto di entrambe le componenti della velocità. Infatti:

$v_P^2=dots^2$

Ho visto molti esercizi simili a questo, ma non mi è capitato di veder considerare entrambi le componenti della velocità!

Sai, a me non è venuto in mente di utilizzare entrambi le componenti per il semplice fatto che il punto $P$ si muove lungo un piano inclinato dove il piano di percorrenza è parallelo all'asse delle ascisse!

E' vero però che c'è anche la componente lungo le ordinate, quindi è vero ciò che dici, solo che non sono sicuro del perchè va considerata anche la componente della velocità lungo l'ordinata

Ancora un'ultima domanda.....
Ma se la velocità è $vecv_P=dots*cos\alphaveci-dots*sen\alphavecj$;

Come fai ad arrivare a questa $v_P^2=dots^2$