Equazione differenziale nel moto armonico
Salve a tutti, eccomi alle prese con Fisica I ed ovviamente analisi 
Prima di tutto scrivo la legge oraria del moto armonico semplice lungo un asse rettilineo per comodità
$x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$
So che $v(t)=dx/dt$ quindi $v(t)=\omegaAcos(\omegat+\phi)$ e che $a(t)=(dv)/(dt)$ quindi $a(t)=-\omega^2Asin(\omegat+\phi)$
Posso riscrivere l'accelerazione come:
$a(t)=-\omega^2x(t)$
L'accelerazione è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro dell'oscillazione ( condizione necessaria affinché sia un moto armonico)
Ora arrivo all'equazione differenziale:
$(d^2x)/dt^2+\omega^2x=0$
La soluzione è ovviamente:
$x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$, ma anche $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ con$\phi'=\phi-\pi/2$ perché seno e coseno sono traslate appunto di $\pi/2$.
Da $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ ricavo:
$x(t)=Acos\omegatcos\phi'-Asin\omegatsin\phi'$
$x(t)=Acos\phi'cos\omegat-Asin\phi'sin\omegat$
Pongo $a=-Asin\phi'$ e $b=Acos\phi'$, quindi la nostra soluzione diventa: $x(t)=asin\omegat+bcos\omegat$, insieme ad $x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$ e $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ con$\phi'=\phi-\pi/2$
Quest'ultimo passaggio per la risoluzione è corretto?
Prima di tutto scrivo la legge oraria del moto armonico semplice lungo un asse rettilineo per comodità
$x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$
So che $v(t)=dx/dt$ quindi $v(t)=\omegaAcos(\omegat+\phi)$ e che $a(t)=(dv)/(dt)$ quindi $a(t)=-\omega^2Asin(\omegat+\phi)$
Posso riscrivere l'accelerazione come:
$a(t)=-\omega^2x(t)$
L'accelerazione è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro dell'oscillazione ( condizione necessaria affinché sia un moto armonico)
Ora arrivo all'equazione differenziale:
$(d^2x)/dt^2+\omega^2x=0$
La soluzione è ovviamente:
$x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$, ma anche $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ con$\phi'=\phi-\pi/2$ perché seno e coseno sono traslate appunto di $\pi/2$.
Da $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ ricavo:
$x(t)=Acos\omegatcos\phi'-Asin\omegatsin\phi'$
$x(t)=Acos\phi'cos\omegat-Asin\phi'sin\omegat$
Pongo $a=-Asin\phi'$ e $b=Acos\phi'$, quindi la nostra soluzione diventa: $x(t)=asin\omegat+bcos\omegat$, insieme ad $x(t)=Asin(\omegat+ \phi)$ e $x(t)=Acos(\omegat+ \phi')$ con$\phi'=\phi-\pi/2$
Quest'ultimo passaggio per la risoluzione è corretto?
Risposte
perdonami, ma la componente $x(t)$ non dovrebbe essere $Acos(\omegat+\phi)$ da cui $\{(v_{x}=-A\omega sin(\omegat+\phi)),(v_{y}=A\omega cos(\omegat+\phi)):}$?
Ho dimenticato di specificare che è un moto armonico semplice lungo un asse rettilineo
"Obidream":
L'accelerazione è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro dell'oscillazione ( condizione necessaria affinché sia un moto armonico)
Non ho capito bene... proporzionale nel senso che l'accelerazione è funzione della distanza dal centro dell'oscillazione e che se raddoppia la distanza dal centro dell'oscilazione l'accelerazione raddoppia?
"gio73":
[quote="Obidream"]
L'accelerazione è sempre proporzionale ed opposta allo spostamento dal centro dell'oscillazione ( condizione necessaria affinché sia un moto armonico)
Non ho capito bene... proporzionale nel senso che l'accelerazione è funzione della distanza dal centro dell'oscillazione e che se raddoppia la distanza dal centro dell'oscilazione l'accelerazione raddoppia?[/quote]
L'accelerazione è proporzionale allo spostamento con costante di proporzionalità negativa, se si tratta di un moto armonico semplice. Questa condizione è data dall'equazione differenziale:
$(d^2x)/(dt^2)+\omega^2x=0$
Il moto armonico mi interessa particolarmente perchè ho provato a studiarlo tante volte, ma in tutte le occasioni non sono mai riuscita a chiarirmi tutti gli aspetti, avevo sempre l'impressione che mi sfuggisse qualcosa.
Vorrei quindi approfittare del tuo interesse per vedere se questa è la volta buona per dissolvere ogni dubbio.
Il moto armonico, lungo una direzione (retta), è un moto periodico (cioè dopo un certo intervallo $T$, chiamato periodo, l'oggetto di cui stiamo studiando il moto si trova nella stessa posizione), che segue una ben precisa legge oraria (funzione che mi permette, noto il tempo, di determinare la posizione del punto), in cui nè la velocità nè l'accelerazione sono costanti, ma seguono delle ben determinate leggi (conseguenti la legge oraria).
Un oggetto in moto armonico si muove lungo un segmento, oscillando da un estremo all'altro, ed il tempo necessario a tornare nello stesso estremo si chiama periodo.
Quando si trova negli estremi la velocità è nulla e l'accelerazione è massima, mentre quando passa dal punto medio la accelerazione è nulla e la velocità massima.
Per capire la legge oraria del moto armonico immagino un punto che si muove di moto circolare uniforme, cioè con la velocità angolare $omega$ costante, ed immagino di guardare come si muove la proiezione di quel punto sull'asse orizzontale e determino quindi la legge oraria della proiezione del punto.
Fino qui ho capito?
Vorrei quindi approfittare del tuo interesse per vedere se questa è la volta buona per dissolvere ogni dubbio.
Il moto armonico, lungo una direzione (retta), è un moto periodico (cioè dopo un certo intervallo $T$, chiamato periodo, l'oggetto di cui stiamo studiando il moto si trova nella stessa posizione), che segue una ben precisa legge oraria (funzione che mi permette, noto il tempo, di determinare la posizione del punto), in cui nè la velocità nè l'accelerazione sono costanti, ma seguono delle ben determinate leggi (conseguenti la legge oraria).
Un oggetto in moto armonico si muove lungo un segmento, oscillando da un estremo all'altro, ed il tempo necessario a tornare nello stesso estremo si chiama periodo.
Quando si trova negli estremi la velocità è nulla e l'accelerazione è massima, mentre quando passa dal punto medio la accelerazione è nulla e la velocità massima.
Per capire la legge oraria del moto armonico immagino un punto che si muove di moto circolare uniforme, cioè con la velocità angolare $omega$ costante, ed immagino di guardare come si muove la proiezione di quel punto sull'asse orizzontale e determino quindi la legge oraria della proiezione del punto.
Fino qui ho capito?
L'idea di base mi sembra corretta, però io ho studiato solo il moto armonico semplice ( unidimensionale) quindi parlo solo di un punto materiale che si sposta lungo un asse rettilineo
In ogni caso le affermazioni di gio73 sono tutte corrette
"mircoFN":
In ogni caso le affermazioni di gio73 sono tutte corrette
Sisi, è che non avendo studiato l'argomento non mi sentivo sicuro di fare considerazioni anche se mi sembrava tutto ragionevole
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