Equazione differenziale... l'induzione
Salve, ho una guida perpendicolare a terra, conduttrice con resistenza R, e attraversata da B (campo magnetico costante e uniforme) un lato è mobile e lasciato cadere accelera con l'accelerazione gravitazionale g. Questo causa una variazione di flusso che genera una fem indotta, che genera una corrente nelle spira. Man mano che scende il flusso aumenta, ma il flusso aumenta.
In più la bacchetta mobile una volta percorsa da corrente risente della forza magnetica del campo B sulle cariche in movimento nella bacchetta.
Spero d essermi spiegato bene. Ho risolto tutto ed è giusto sicuro, solo che analiticamente ho problemi nella equazione differnziale che si crea perm trovare la velocità in funzione del tempo.
Mi aiutate a risolvere solo la eq. differnziale?
ve la scrivo:
$(dv)/(dt)= g - (b^2 B^2 v)/(Rm)$
dove $(dv)/dt$ è l'accelerazione , $b$ la lunghezza della bacchetta, $B$ il campo, $R$ la resistenza, $m$ la massa della bacchetta in movimento...
Ho bisogno dei passaggi interi, è questo che mi da problemi, non altro ho il risultato, ma non ci arrivo... se vi aiuta ve lo posto.
grazie.
In più la bacchetta mobile una volta percorsa da corrente risente della forza magnetica del campo B sulle cariche in movimento nella bacchetta.
Spero d essermi spiegato bene. Ho risolto tutto ed è giusto sicuro, solo che analiticamente ho problemi nella equazione differnziale che si crea perm trovare la velocità in funzione del tempo.
Mi aiutate a risolvere solo la eq. differnziale?
ve la scrivo:
$(dv)/(dt)= g - (b^2 B^2 v)/(Rm)$
dove $(dv)/dt$ è l'accelerazione , $b$ la lunghezza della bacchetta, $B$ il campo, $R$ la resistenza, $m$ la massa della bacchetta in movimento...
Ho bisogno dei passaggi interi, è questo che mi da problemi, non altro ho il risultato, ma non ci arrivo... se vi aiuta ve lo posto.
grazie.
Risposte
ciao, per le equazioni differenziali di primo ordine c'è la formula risolutiva, di cui, se vuoi la dimostrazione trovi abbondantemente materiale ovunque:
partiamo da una generica equazione differenziale $y'+a(x)y(x)=f(x)$ e chiamiamo A(x) la primitiva di a(x), allora le soluzioni sono:
$y(x)=e^(-A(x))inte^(A(x))f(x)dx+ce^(-A(x))$.
Torniamo al tuo caso: v(t) corrisponde a y(x) della formula, quindi, risistemandola:
$frac{dv}{dt}+frac{b^2B^2v}{Rm}=g$ il nostro A(x) corrisponde quindi a: $A(x)=frac{b^2B^2t}{Rm}$ e la formula diviene:
$v(t)=e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})inte^(frac{b^2B^2t}{Rm})gdt+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$ quindi integrando
$v(t)=e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})*frac{gRm}{b^2B^2}*e^(frac{b^2B^2t}{Rm})+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$ e rimane
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$
adesso bisogna imporre le condizioni iniziali, in questo esercizio mi sembra di capire che V(0)=0, quindi:
$v(0)=0=frac{gRm}{b^2B^2}+c -> c=-frac{gRm}{b^2B^2}$ e sostituendo in quella generale otteniamo:
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}-frac{gRm}{b^2B^2}e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$
da cui
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}(1-e^(-frac{b^2B^2t}{Rm}))$
spero sia tutto corretto
partiamo da una generica equazione differenziale $y'+a(x)y(x)=f(x)$ e chiamiamo A(x) la primitiva di a(x), allora le soluzioni sono:
$y(x)=e^(-A(x))inte^(A(x))f(x)dx+ce^(-A(x))$.
Torniamo al tuo caso: v(t) corrisponde a y(x) della formula, quindi, risistemandola:
$frac{dv}{dt}+frac{b^2B^2v}{Rm}=g$ il nostro A(x) corrisponde quindi a: $A(x)=frac{b^2B^2t}{Rm}$ e la formula diviene:
$v(t)=e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})inte^(frac{b^2B^2t}{Rm})gdt+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$ quindi integrando
$v(t)=e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})*frac{gRm}{b^2B^2}*e^(frac{b^2B^2t}{Rm})+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$ e rimane
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}+ce^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$
adesso bisogna imporre le condizioni iniziali, in questo esercizio mi sembra di capire che V(0)=0, quindi:
$v(0)=0=frac{gRm}{b^2B^2}+c -> c=-frac{gRm}{b^2B^2}$ e sostituendo in quella generale otteniamo:
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}-frac{gRm}{b^2B^2}e^(-frac{b^2B^2t}{Rm})$
da cui
$v(t)=frac{gRm}{b^2B^2}(1-e^(-frac{b^2B^2t}{Rm}))$
spero sia tutto corretto
ti adoro!! tutto corretto, chiaro, correttissimo perchè coincide con risp del libro, da manuale! ottimo!!!
ma no si poteva anche risolvere per variabili separate che è più facile? 
antani lo potresti fare se g fosse uguale a zero.
Beh no perchè porti g dentro il numeratore della frazione contenente v, facendolo diventare gRM ed ecco lì che il problema si risolve
Antani avevi ragione. Ad occhio credevo non si potesse fare, ma prendendo carta e penna ho riscontrato che è fattibilissima e molto più semplice della "formula risolutiva".
Ma se fate così poi quando dividete per v al secondo membro, rimane $GRm/v$, no?
"cavallipurosangue":
Ma se fate così poi quando dividete per v al secondo membro, rimane $GRm/v$, no?
Be' alla fine ti ritroveresti con
$\int (dv) / (gRm - b^2 B^2v) = \int (dt) / (R m)$
che è facilmente integrabile... no ?
Ah ok, adesso ho capito il punto 
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