Equazione differenziale di Newton con conservazione energia
Salve a tutti.
Sto studiando la risoluzione dell'equazione differenziale della formula di Newton, ma sono un po' bloccata sugli ultimi passaggi. mi potete dare una mano?
Dunque, l'obiettivo è risolvere l'equazione differenziale $(\vecF(vecx(t))) = m (d^2 \vecx(t))/dt^2$ (siamo in un campo conservativo e 1-dimensionale)
Vogliamo usare in particolare la conservazione dell'energia.
Quindi: $E_(tot) = 1/2 m((d \vecx(t)) /dt)^2 + U(\vecx(t))$
Scegliamo come condizioni iniziali del rpoblema di Cauchy:
per $t=0$
- $\vec x(0) = x_o$
- $\vecv(o) = v_o$
da cui per conservazione dell'energia abbiamo $E_(tot) = 1/2 m (v_o)^2 + U(x_o) := E$ che è noto, o perlomeno fisso.
Quindi:
$E= 1/2 m((d \vecx(t)) /dt)^2 + U(\vecx(t))$
da qui ricavo
$(d\vecx(t))/dt = \pm sqrt(2/m (E-U(\vecx(t))))$ e $1/(sqrt(2/m (E-U(\vecx(t))))) (d\vecx(t))/dt = \pm 1$
Ora utilizzo il fatto che
date $x(t), g(x(t))$ vale che
$d/dt g(x(t)) =dg/dt |_(x(t)) (dx(t))/dt $.
Nel mio caso $dg/dx = 1/(sqrt(2/m (E-U(\vecx(t)))))$
A questo punto smetto di capire: la risoluzione procede con
$g(x) = \int_{x_o}^x 1/(sqrt(2/m (E-U(y)))) dy$ e vabbè, ha integrato rispetto al passaggio precedente (cambiando variabile, anche se non capisco perchè ogni tanto ci sia x e ogni tanto x(t))
E qui c'è il passaggio che mi manda veramente in crisi:
$g(x(t)) = \pm t+t_o$
Qui non ho capito proprio il passaggio, da dove lo prendo. E poi, chi è $t_o$?
Grazie in anticipo a chi può darmi una mano.
Buona serata
PS Spero di qver scritto tutto giusto: è tutto il giorno che ci sto sopra, mi fuma un po' il cervello
Sto studiando la risoluzione dell'equazione differenziale della formula di Newton, ma sono un po' bloccata sugli ultimi passaggi. mi potete dare una mano?
Dunque, l'obiettivo è risolvere l'equazione differenziale $(\vecF(vecx(t))) = m (d^2 \vecx(t))/dt^2$ (siamo in un campo conservativo e 1-dimensionale)
Vogliamo usare in particolare la conservazione dell'energia.
Quindi: $E_(tot) = 1/2 m((d \vecx(t)) /dt)^2 + U(\vecx(t))$
Scegliamo come condizioni iniziali del rpoblema di Cauchy:
per $t=0$
- $\vec x(0) = x_o$
- $\vecv(o) = v_o$
da cui per conservazione dell'energia abbiamo $E_(tot) = 1/2 m (v_o)^2 + U(x_o) := E$ che è noto, o perlomeno fisso.
Quindi:
$E= 1/2 m((d \vecx(t)) /dt)^2 + U(\vecx(t))$
da qui ricavo
$(d\vecx(t))/dt = \pm sqrt(2/m (E-U(\vecx(t))))$ e $1/(sqrt(2/m (E-U(\vecx(t))))) (d\vecx(t))/dt = \pm 1$
Ora utilizzo il fatto che
date $x(t), g(x(t))$ vale che
$d/dt g(x(t)) =dg/dt |_(x(t)) (dx(t))/dt $.
Nel mio caso $dg/dx = 1/(sqrt(2/m (E-U(\vecx(t)))))$
A questo punto smetto di capire: la risoluzione procede con
$g(x) = \int_{x_o}^x 1/(sqrt(2/m (E-U(y)))) dy$ e vabbè, ha integrato rispetto al passaggio precedente (cambiando variabile, anche se non capisco perchè ogni tanto ci sia x e ogni tanto x(t))
E qui c'è il passaggio che mi manda veramente in crisi:
$g(x(t)) = \pm t+t_o$
Qui non ho capito proprio il passaggio, da dove lo prendo. E poi, chi è $t_o$?
Grazie in anticipo a chi può darmi una mano.
Buona serata
PS Spero di qver scritto tutto giusto: è tutto il giorno che ci sto sopra, mi fuma un po' il cervello
Risposte
Se la derivata della g(t) rispetto al tempo è [tex]\pm 1[/tex], la g(t) è [tex]\pm t + {t_0}[/tex], è quasi lapalissiano 
[tex]{t_0}[/tex] è una costante in accordo con le condizioni iniziali per t (penso che in molti casi si possa assumere uguale a 0)
Forse difetto di rigore ma io la stessa cosa la dimostrerei molto più semplicemente così:
[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{2}m{v^2} + U\left( x \right) = E \\
v = \pm \sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( x \right)} \right]} = \frac{{dx}}{{dt}} \\
\frac{{dt}}{{dx}} = \pm \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( x \right)} \right]} }} \\
t\left( x \right) = {t_0} \pm \int_{{x_0}}^x {\frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( y \right)} \right]} }}dy} \\
\end{array}[/tex]
[tex]{t_0}[/tex] è una costante in accordo con le condizioni iniziali per t (penso che in molti casi si possa assumere uguale a 0)
Forse difetto di rigore ma io la stessa cosa la dimostrerei molto più semplicemente così:
[tex]\begin{array}{l}
\frac{1}{2}m{v^2} + U\left( x \right) = E \\
v = \pm \sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( x \right)} \right]} = \frac{{dx}}{{dt}} \\
\frac{{dt}}{{dx}} = \pm \frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( x \right)} \right]} }} \\
t\left( x \right) = {t_0} \pm \int_{{x_0}}^x {\frac{1}{{\sqrt {\frac{2}{m}\left[ {E - U\left( y \right)} \right]} }}dy} \\
\end{array}[/tex]
"Falco5x":
Se la derivata della g(t) rispetto al tempo è [tex]\pm 1[/tex], la g(t) è [tex]\pm t + {t_0}[/tex], è quasi lapalissiano
[tex]{t_0}[/tex] è una costante in accordo con le condizioni iniziali per t (penso che in molti casi si possa assumere uguale a 0)
]
Si vabbè, questa è imbarazzante e la dice lunga sulle condizioni del mio cervello ieri sera...integravo la $g(x(t))$ in dt e $\pm1$ in dx, per cui mi veniva $x(t)$ al posto di t... Ma sorvoliamo
Quanto all'ultimo pezzo: non se ho capito bene, in pratica ricavo $g(\vecx(t)) = \pmt + t_o$ e
$g(x) = \int_{x_o} ^x 1/sqrt(2/m (E-U(y)))dy$ e le uguaglio.
Ma poi non capisco perchè ottengo $t(x)$: io cercavo $x(t)$! Che senso ha fornire un'equazione per il tempo in funzione dello spazio?
Io devo risolvere l'equazione di Newton..
Un'ultima cosa, perchè ogni tanto uso $x$ e ogni tanto $\vecx(t)$? E' solo una questione di notazione più snella o c'è una motivazione più profonda, un cambio di variabile...?
Grazie ancora e buon pomeriggio
"lewis":
[quote="Falco5x"]Se la derivata della g(t) rispetto al tempo è [tex]\pm 1[/tex], la g(t) è [tex]\pm t + {t_0}[/tex], è quasi lapalissiano
[tex]{t_0}[/tex] è una costante in accordo con le condizioni iniziali per t (penso che in molti casi si possa assumere uguale a 0)
]
Si vabbè, questa è imbarazzante e la dice lunga sulle condizioni del mio cervello ieri sera...integravo la $g(x(t))$ in dt e $\pm1$ in dx, per cui mi veniva $x(t)$ al posto di t... Ma sorvoliamo
Quanto all'ultimo pezzo: non se ho capito bene, in pratica ricavo $g(\vecx(t)) = \pmt + t_o$ e
$g(x) = \int_{x_o} ^x 1/sqrt(2/m (E-U(y)))dy$ e le uguaglio.
Ma poi non capisco perchè ottengo $t(x)$: io cercavo $x(t)$! Che senso ha fornire un'equazione per il tempo in funzione dello spazio?
Io devo risolvere l'equazione di Newton..
Un'ultima cosa, perchè ogni tanto uso $x$ e ogni tanto $\vecx(t)$? E' solo una questione di notazione più snella o c'è una motivazione più profonda, un cambio di variabile...?
Grazie ancora e buon pomeriggio[/quote]
Cominco dall'ultima domanda.
Uso x quando la considero una variabile indipendente, oppure x(t) quando la considero funzione della variabile indipendente t.
Cambia solo il punto di vista, perché la x è sempre la stessa.
Riguardo alla funzione soluzione dell'equazione di Newton... certo, evidentemente la t(x) è calcolabile in modo più immediato. Nel caso in cui l'integrale fosse integrabile in termini finiti occorrerà trovare la funzione inversa della soluzione. Oppure se non è integrabile in termini finiti ma solo attraverso analisi numerica basterà tracciare il grafico e scambiare gli assi. Non mi pare un grosso problema.
Grazie mille, ho capito!
Praticamente invece che risolvere l'equazione differenziale ho un problema di quadratura...giusto?
Grazie ancora, gentilissimo!
Riguardo alla funzione soluzione dell'equazione di Newton... certo, evidentemente la t(x) è calcolabile in modo più immediato. Nel caso in cui l'integrale fosse integrabile in termini finiti occorrerà trovare la funzione inversa della soluzione. Oppure se non è integrabile in termini finiti ma solo attraverso analisi numerica basterà tracciare il grafico e scambiare gli assi.
Praticamente invece che risolvere l'equazione differenziale ho un problema di quadratura...giusto?
Grazie ancora, gentilissimo!
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