Equazione differenziale con funzione di Heaviside

[dario18]

$ Y(t)=4/3-1/3e^(-9t)+1/9-1/576e^(-9t)-11/8e^(-t)-1/8te^(-t)+H(t){-6/81+2/3(t-1)+6/81e^(-9(t-1))}+H_5(t)={6/81-2/3(t-5)-6/81e^(-9(t-5)} $Buona sera a tutti, ho svolto un' equazione differenziale e volevo sapere se risultato e procedimento sono giusti. L'equazione è questa:

$ { ( Y''(t)+9Y'(t)=6[H(t)-H(t-5)]+te^(-t) ),( Y(0)=1 ),( Y'(0)=3 ):} $

Ho provato a svolgerla in questo modo

$ H(t)={ ( 0 ),( 1 ):} $ $ 0 $ se $ t<1 $ ed $ 1 $ se $ t>1 $ poi $ H(t-5)=H_5(t)={ ( 0 ),( 1 ):} $ 0 se t<5 ed 1 se t>5

poi faccio la trasformata delle funzione di Heaviside:

$ L[H(t)]=e^(-s)/s $ ed $ L[H_5(t)]=e^(-5s)/s $

quindi $ s^2y(s)-sY(0)-Y'(0)+9sy(s)-9Y(0)=6e^(-s)/s-6e^(-5s)/s+1/((s+1)^2 $

infine $ y(s)=(s+12)/(s(s+9))+6e^(-s)/(s^2(s+9))-6e^(-5s)/(s^2(s+9))+1/(s(s+9)(s+1)^2) $

Scomponendo le frazioni in fratti semplici ottengo:

$ y(s)=(4/3)1/s-(1/3)1/(s+9)-(6/81)1/se^(-s)+(2/3)1/s^2e^(-s)+(6/81)1/(s+9)+(6/81)1/se^(-5s)-(2/3)1/s^2e^(-5s)-(6/81)1/(s+9)e^(-5s)+(1/9)1/s-(1/576)1/(s+9)-(11/8)1/(s+1)-(1/8)1/(s+1)^2 $

antitrasformando posso scrivere la soluzione dell'equazione in questo modo?

$ Y(t)=4/3-1/3e^(-9t)+1/9-1/576e^(-9t)-11/8e^(-t)-1/8te^(-t)+H(t){-6/81+2/3(t-1)+6/81e^(-9(t-1))}+H_5(t)={6/81-2/3(t-5)-6/81e^(-9(t-5)}} $

Grazie

[dario18]

Vorrei un aiuto riguardo l`impostazione della soluzione dell`equazione.