Equazione differenziale circuito RC

[Studente Anonimo]

Ciao a tutti, ho un dubbio sulla risoluzione di una e.d.o. molto semplice in un circuito RC.



La E.D.O. da risolvere ottenibile da leggi di Kirchhoff è:

$(dQ)/(dt)= epsilon/R - Q/(RC)$

ed ovviamente la funzione da trovare è $Q(t)$.

La soluzione è:

$Q(t) = epsilonC + Ae^(-t/(RC))$

A causa di alcune mie lacune sulla risoluzione di equazioni differenziali, non riesco a capire il perché di quell' $epsilonC$.

$epsilonC$ non è forse una costante che, se derivata rispetto al tempo, dovrebbe sparire? come mai compare nella definizione di $(dQ)/(dt)$ ?

[mgrau]

Visto per per t = 0 dev'essere Q(t) = 0, suppongo che A sia negativa? Comunque $epsiC$ è la carica asintotica, per t -> $infty$. Se poi vuoi delle ragioni matematiche, meglio aspettare qualcun altro...

[RenzoDF]

"anonymous_58f0ac":... La soluzione è:

$Q(t) = epsilonC + Ae^(-(Rt)/C)$...

Nutro seri dubbi che lo sia. ... Anche solo per incoerenza dimensionale.


Per quanto riguarda la costante $\epsilonC$, come diceva mgrau, è relativa alla necessità di soddisfare la condizione iniziale $Q(0)=0$, ovvero alla soluzione del "problema di Cauchy" (eq, differenziale + condizioni iniziali).

[Studente Anonimo]

"mgrau":Visto per per t = 0 dev'essere Q(t) = 0, suppongo che A sia negativa? Comunque $epsiC$ è la carica asintotica, per t -> $infty$. Se poi vuoi delle ragioni matematiche, meglio aspettare qualcun altro...

Esatto, poi imponendo Q(0)=0 ottengo che

$A= -epsilonC$

da cui

$Q(t) = epsilonC (1-e^-(t/(RC)))$

Tuttavia continuo a non capire perché la soluzione della EDO sia

$Q(t)= epsilonC + Ae^(-t/(RC)$

non capisco il perché di quel $epsilonC$

[Studente Anonimo]

"RenzoDF":Nutro seri dubbi che lo sia. ... Anche solo per incoerenza dimensionale.

Pardon, ho corretto:


$Q(t) = epsilonC + Ae^(-t/(RC))$

con $A=-epsilonC$