Equazione differenziale?
Sia nota la legge: $\vec f = m (d^2 \vec r)/(dt^2)$.
Mi hanno detto che è un'equazione differenziale. Io ci credo, però leggendo la definizione di equazione differenziale, credo di sapere che un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione a sue derivate.
In questo caso, le funzioni sono due, e sono diverse: c'è la funzione che associa la posizione di un punto materiale in un sistema inerziale alla forza da esso subito per opera di una sorgente puntiforme fissa; e poi c'è la derivata seconda della vettore posizione del punto materiale in moto in funzione del tempo. Qualcuno mi sa dire di più?
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Admin: Esercizi svolti sulle equazioni differenziali
Mi hanno detto che è un'equazione differenziale. Io ci credo, però leggendo la definizione di equazione differenziale, credo di sapere che un'equazione differenziale è un'equazione che lega una funzione a sue derivate.
In questo caso, le funzioni sono due, e sono diverse: c'è la funzione che associa la posizione di un punto materiale in un sistema inerziale alla forza da esso subito per opera di una sorgente puntiforme fissa; e poi c'è la derivata seconda della vettore posizione del punto materiale in moto in funzione del tempo. Qualcuno mi sa dire di più?
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Admin: Esercizi svolti sulle equazioni differenziali
Risposte
non capisco cosa intendi per sorgente puntiforme fissa, la forza è assolutamente arbitraria.
se la vedi così (in una dimensione, per semplicità di scrittura) è più chiara la struttura di equazione differenziale?
$F( x(t) ) = m ddot x (t)$
nel caso più semplice di campo costante $-mg = m ddot x (t)$ date le condizioni iniziali la soluzione è banalissima.
se la vedi così (in una dimensione, per semplicità di scrittura) è più chiara la struttura di equazione differenziale?
$F( x(t) ) = m ddot x (t)$
nel caso più semplice di campo costante $-mg = m ddot x (t)$ date le condizioni iniziali la soluzione è banalissima.
Ed $F(x(t))$ non è una funzione diversa da $x(t)$?
certamente, ma è una funzione composta delle coordinate.
prendiamo una forza elastica F(x)=-Kx
l'equazione differenziale uscente dalla legge di Newton che dovrai risolvere è
$-Kx(t)=mddotx(t)$
chiaro?
prendiamo una forza elastica F(x)=-Kx
l'equazione differenziale uscente dalla legge di Newton che dovrai risolvere è
$-Kx(t)=mddotx(t)$
chiaro?
Quindi, in generale, anche le funzioni composte di funzioni $f$, per esempio, possono essere associate a derivate di $f$ per formare equazioni differenziali(in generale, nella matematica)?
perchè no?
In generale poi, se posso permettermi di aggiungere a quello che ha detto wedge, si ha che una forza può essere una funzione del tipo $vecF(vecr;(dvecr)/(dt);t)$ che, se siamo in tre dimensioni, si traduce nel sistema di equazioni differenziali
$F_x(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2x)/(dt^2)$
$F_y(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2y)/(dt^2)$
$F_z(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2z)/(dt^2)$
che fa sempre la felicità di ogni studente di meccanica razionale:D
$F_x(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2x)/(dt^2)$
$F_y(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2y)/(dt^2)$
$F_z(x;y;z;(dx)/(dt);(dy)/(dt);(dz)/(dt);t)=m(d^2z)/(dt^2)$
che fa sempre la felicità di ogni studente di meccanica razionale:D
giustissima precisazione 
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