Equazione di schrodinger
Ciao ragazzi!! sono nuovo in questo forum,e volevo un piccolo aiuto sulla equazione di Schrodinger.Qualcuno di voi potrebbe spiegarmi accuratamente ma anche in modo semplice e chiaro questa equazione analizzando i temi delle buche infinite??scusate ma davvero mi servirebbe il vostro aiuto! 
Grazie in anticipo
Grazie in anticipo
Risposte
Premetto che sono stati scritti libri per rispondere a questa domanda e la cosa migliore che puoi fare è leggertene uno, ad esempio il Cohen che è molto esplicito nella soluzione dei problemi con le buche, sia finite che non. Per cominciare puoi dare un'occhiata qui. Per venire alla tua domanda sarebbe molto utile se potessi postare i passaggi che non ti sono chiari o almeno il punto da cui partire...
grazie alle.fabbri ho letto ciò che mi hai mandato e l'ho capito anche affidandomi come hai detto tu ad un libro quello del grande Feyman...il mio dubbio però sta nel capire il caso in cui la buca funziona da effetto tunnel?praticamente non capisco nulla.....scusami ma sono al primo anno e quindi alcuni termini specialistici li devo ancora assimilare. ho provato a chiarire qui ma non ci riesco http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Mi ... Tunnel.htm il livello di spiegazione è troppo alto....
Intanto ti vorrei far notare che l'effetto tunnel è possibile solo in presenza di una buca finita, perchè nel caso della buca infinita la regione esterna è proibita anche quantisticamente. Questo perchè l'eq di Schroedinger perde significato visto che il potenziale vale $+\infty$.
Per quanto riguarda l'effetto tunnel posso farti questo esempio.
Consideriamo il potenziale unidimensionale
$V(x)=\{(0 , x<0),(V , x>0):}$
e cerchiamo di risolvere l'equazione di Schroedinger. La parte che ci interessa risolvere è quella per la parte spaziale ed è
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi + V(x) \psi = E \psi$
(scrivo la derivata così $\partial_x$ solo perchè si fa prima, considerala un derivata normale, d'altronde $\psi=\psi(x)$ quindi non possiamo fare confusione)
Ora dividiamo il problema nelle due regioni di interesse.
Regione $0
L'equazione da risolvere diventa
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi = E \psi$
che riscrivo come
$ \partial_x^2 \psi + (2m)/(\hbar^2)E \psi = 0$
possiamo alleggerire la scrittura definendo $k^2=(2m)/(\hbar^2) E$. Osserva che finchè $E>0$, e pare ragionevole come assunzione nel caso di un moto libero, si ha $k^2>0$ e quindi $k \in RR$, diciamo positivo per fissare le idee. Questa sostituzione ci snellisce l'equazione in
$ \partial_x^2 \psi + k^2 \psi = 0$
Senza farla tanto lunga questa è l'equazione del moto libero e spero che tu sappia come funziona, con tutte le delicatezze matematiche che comporta. Cmq diciamo che la soluzione è qualcosa del tipo
$\psi(x) = A e^(i k x)$
quindi quello che succede è che la particella "arriva" da meno infinito con energia $E$ con moto libero.
Regione $x>0$
L'equazione da risolvere in questa regione è
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi + V \psi = E \psi$
ovvero
$ \partial_x^2 \psi + (2m)/(\hbar^2)(E-V) \psi = 0$
A questo punto sarebbe carino poter definire (come abbiamo fatto prima) un coefficiente e riscrivere tutta l'equazione come quella di un oscillatore armonico, ma bisogna stare attenti. Possiamo comunque definire una costante per snellire l'equazione
$C = (2m)/(\hbar^2)(E-V)$
solo che stavolta non è affatto detto quale sia il segno di questa. O meglio, adesso pur considerando l'energia $E>0$ (che, ribadisco, ci suona fisicamente ragionevole) dobbiamo distinguere in base al segno di $E-V$. Le cose interessanti (ai fini dell'effetto tunnel) succedono quando consideri un valore dell'energia $0
e snellire l'equazione in
$ \partial_x^2 \psi - \rho^2 \psi = 0$
questa come soluzioni ha
$\psi(x) = A' e^(- \rho x)$
(scarto la soluzione con autovalore positivo perchè non è a quadrato integrabile, quindi non può essere una funzione d'onda)
Cerchiamo di capire fisicamente la situazione. Come soluzione per $0
quindi interpretandola in termini di densità di propabilità hai che per la probabilità di trovare la particella in una regione $[a,b]$ della semiretta positiva è data da
$P(x \in [a,b]) = \int_a^b |\psi|^2 dx = \int_a^b A'^2 e^(-2\rho x) dx > 0$
quindi in effetti c'è la possibilità che la particella attraversi la barriera anche se non ha abbastanza energia per farlo classicamente. Pensaci, classicamente la particella arriverebbe con energia $E
Questo è il problema più semplice che mi sia venuto in mente. Certo puoi arricchirlo studiando cosa succede in generale per tutti i valori di E oppure modificare il potenziale in modo da renderlo una buca finita o una box finito. Quello che succede è matematicamente un pelo più complesso da gestire ma l'effetto tunnel è sempre quello.
Per quanto riguarda l'effetto tunnel posso farti questo esempio.
Consideriamo il potenziale unidimensionale
$V(x)=\{(0 , x<0),(V , x>0):}$
e cerchiamo di risolvere l'equazione di Schroedinger. La parte che ci interessa risolvere è quella per la parte spaziale ed è
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi + V(x) \psi = E \psi$
(scrivo la derivata così $\partial_x$ solo perchè si fa prima, considerala un derivata normale, d'altronde $\psi=\psi(x)$ quindi non possiamo fare confusione)
Ora dividiamo il problema nelle due regioni di interesse.
Regione $0
L'equazione da risolvere diventa
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi = E \psi$
che riscrivo come
$ \partial_x^2 \psi + (2m)/(\hbar^2)E \psi = 0$
possiamo alleggerire la scrittura definendo $k^2=(2m)/(\hbar^2) E$. Osserva che finchè $E>0$, e pare ragionevole come assunzione nel caso di un moto libero, si ha $k^2>0$ e quindi $k \in RR$, diciamo positivo per fissare le idee. Questa sostituzione ci snellisce l'equazione in
$ \partial_x^2 \psi + k^2 \psi = 0$
Senza farla tanto lunga questa è l'equazione del moto libero e spero che tu sappia come funziona, con tutte le delicatezze matematiche che comporta. Cmq diciamo che la soluzione è qualcosa del tipo
$\psi(x) = A e^(i k x)$
quindi quello che succede è che la particella "arriva" da meno infinito con energia $E$ con moto libero.
Regione $x>0$
L'equazione da risolvere in questa regione è
$-(\hbar^2)/(2m) \partial_x^2 \psi + V \psi = E \psi$
ovvero
$ \partial_x^2 \psi + (2m)/(\hbar^2)(E-V) \psi = 0$
A questo punto sarebbe carino poter definire (come abbiamo fatto prima) un coefficiente e riscrivere tutta l'equazione come quella di un oscillatore armonico, ma bisogna stare attenti. Possiamo comunque definire una costante per snellire l'equazione
$C = (2m)/(\hbar^2)(E-V)$
solo che stavolta non è affatto detto quale sia il segno di questa. O meglio, adesso pur considerando l'energia $E>0$ (che, ribadisco, ci suona fisicamente ragionevole) dobbiamo distinguere in base al segno di $E-V$. Le cose interessanti (ai fini dell'effetto tunnel) succedono quando consideri un valore dell'energia $0
e snellire l'equazione in
$ \partial_x^2 \psi - \rho^2 \psi = 0$
questa come soluzioni ha
$\psi(x) = A' e^(- \rho x)$
(scarto la soluzione con autovalore positivo perchè non è a quadrato integrabile, quindi non può essere una funzione d'onda)
Cerchiamo di capire fisicamente la situazione. Come soluzione per $0
quindi interpretandola in termini di densità di propabilità hai che per la probabilità di trovare la particella in una regione $[a,b]$ della semiretta positiva è data da
$P(x \in [a,b]) = \int_a^b |\psi|^2 dx = \int_a^b A'^2 e^(-2\rho x) dx > 0$
quindi in effetti c'è la possibilità che la particella attraversi la barriera anche se non ha abbastanza energia per farlo classicamente. Pensaci, classicamente la particella arriverebbe con energia $E
Questo è il problema più semplice che mi sia venuto in mente. Certo puoi arricchirlo studiando cosa succede in generale per tutti i valori di E oppure modificare il potenziale in modo da renderlo una buca finita o una box finito. Quello che succede è matematicamente un pelo più complesso da gestire ma l'effetto tunnel è sempre quello.
grazie amico....sei stato chiaro e preciso
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