Equazione di Schrodinger

[amedeo_mate]

Salve a tutti, mi chiedevo quali fossero le condizioni perchè l'equazione di Schrodinger abbia un'unica soluzione nel caso di particella libera. È sufficiente fissare la psi(x,0) o bisogna aggiungere altre condizioni?

[anonymous_af8479]

Lo studio generale dell'eq. di Schr. temporale libera è argomento difficile di Analisi 3. Operatori di semigruppo dissipativi, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev ecc. Ci vogliono solide basi costruite su solidi testi.

Se ti accontenti di dare per scontati tutti i requisiti di regolarità ed unicità, la funzione iniziale $\Psi(x,0)$ evolve in modo univoco.

Se poi ci aggiungi l'energia potenziale, le cose si complicano drammaticamente

[Spremiagrumi1]

"anonymous_ad4c4b":

Se poi ci aggiungi l'energia potenziale, le cose si complicano drammaticamente

Dipende un po' dal potenziale, con alcuni potenziali è più semplice da risolvere.

Non ho capito bene cosa intendi per soluzione unica.
La soluzione dell'equazione è sempre
$psi(x,t)=Ae^(i(kx-(hk^2)/(2m)t)$

Il problema è che questa funzione non è normalizzabile. Quindi possiamo concludere che in natura non esiste nulla che sia una particella libera con energia definita.
Se introduciamo il concetto di pacchetto d'onde invece le cose cambiano e possiamo scrivere
$psi=1/sqrt(2pi)intphi(k)e^(i(kx-(hk^2)/(2m)t))dk$
Questa funzione può essere normalizzata, ma "contiene" un certo intervallo di energie e velocità.

Ancora potresti porre delle condizioni periodiche, qualcosa del tipo
$psi(x)=psi(x+a)$ e immaginarti la particella come se fosse in una scatola molto grande.
Allora avresti che $e^(ika)=1$ quindi $k=2npi/a$ e potresti normalizzare la funzione
$N^2int_0^adx|e^(ikx)|^2=N^2a=1$

[amedeo_mate]

Per soluzione unica intendo dire se la funzione d'onda evolve deterministicamente se è assegnato il suo valore iniziale. Cioè ad esempio intendo dire se bisogna assegnare anche valori delle derivate parziali della funzione.

[amedeo_mate]

"anonymous_ad4c4b":Lo studio generale dell'eq. di Schr. temporale libera è argomento difficile di Analisi 3. Operatori di semigruppo dissipativi, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev ecc. Ci vogliono solide basi costruite su solidi testi.

Se ti accontenti di dare per scontati tutti i requisiti di regolarità ed unicità, la funzione iniziale $\Psi(x,0)$ evolve in modo univoco.

Se poi ci aggiungi l'energia potenziale, le cose si complicano drammaticamente

Precisamente quali sono i requisiti di regolarità e unicità di cui parli?

[anonymous_af8479]

Quelli per cui è assicurata l'unicità della soluzione. Si tratta di argomento di analisi (per me) molto difficile e complicato, per cui non è possibile riportarlio qui. Bisogna che consulti un testo serio di analisi 3 (on line non basta). In particolare, per quel che so io, occorrono spazi di Hilbert, spazi di Sobolev, operatori di semigruppo ecc.

[amedeo_mate]

ho capito, grazie Arturo per i chiarimenti