Equazione di Poisson
Ciao a tutti ragazzi, avrei un piccolo problemino matematico. Il mio problema è questo:
Ho un cubo, di dimensioni date, nella quale si ha una generazione di calore q [W/m^3] costante in ogni suo punto. Io devo trovare l'andamento di temperatura in condizioni stazionarie. Ovvero in poche parole devo risolvere:
$\nabla^2T(x,y,z)=-q/k$
con laplaciano in coordinate standard, e condizione al contorno che le facce si trovino tutte a 293K e k=conducibilità termica costante nel mezzo. E' possibile avere una forma esplicita della soluzione oppure devo ricorrere al calcolo numerico?
Ho un cubo, di dimensioni date, nella quale si ha una generazione di calore q [W/m^3] costante in ogni suo punto. Io devo trovare l'andamento di temperatura in condizioni stazionarie. Ovvero in poche parole devo risolvere:
$\nabla^2T(x,y,z)=-q/k$
con laplaciano in coordinate standard, e condizione al contorno che le facce si trovino tutte a 293K e k=conducibilità termica costante nel mezzo. E' possibile avere una forma esplicita della soluzione oppure devo ricorrere al calcolo numerico?
Risposte
si puo' risolvere analiticamente. Non e' neanche troppo difficile concettualmente, pero' e' un po' lungo e laborioso. Non so fino a che punto ne valga la pena, se non come esercizio sulle PDE. Hai provato a sentire cosa ne pensa mathematica?
Ripensavo al tuo problema e mi sono accorto che trovare la soluzione non è affatto lungo e nemmeno laborioso, basta ricordarsi un po' di teoria (non come me quindi...).
In generale il problema che sottoponi è del tipo
\( \begin{cases}
\nabla^2 u(x,y,z) = f(x,y,z) \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. u(x,y,z) \right|_{\partial D} = g(x,y,z)
\end{cases}
\)
dove $D$ è il cubo di lato $L$ ed $f$ e $g$ funzioni note. Prima cosa spezzi il problema in due, ponendo $u=v+w$ dove
\( \begin{cases}
\nabla^2 v = 0 \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. v \right|_{\partial D} = g
\end{cases} \qquad
\begin{cases}
\nabla^2 w = f \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. w \right|_{\partial D} = 0
\end{cases}
\)
così ti sei ricondotto a due problemi in cui o l'equazione o la condizione al bordo sono omogenee. Visto che $g=\text{cost.}$ il problema per $v$ è facile, se uno si ricorda il Principio del Massimo per le funzioni armoniche, e la soluzione è $v(x,y,z) = 293K$.
Per $w$ non va così liscia e bisogna un po' sporcarsi le mani. L'idea è cercare un soluzione scritta come tripla serie di Fourier di soli seni, come suggerito dalle condizioni al contorno omogenee, del tipo
$w(x,y,z) = \sum_{n,m,l} c_{nml} \quad \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
dove
$\sum_{n,m,l} = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}$
Una $w$ scritta così automaticamente soddisfa le condizioni al contorno. Restano da determinare i coefficienti $c_{nml}$. Sostituendo la formula precendente nell'equazione di Poisson ottieni
$\nabla^2 w = \sum_{n,m,l} c_{nml} \quad \nabla^{2}( \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z) ) = $
$ = -((\pi)/(L))^2 \sum_{n,m,l} c_{nml} [n^2 + m^2 + l^2] \sin ((n \pi)/L x) \sin ((m \pi)/L y) \sin ((l \pi)/L z) = f(x,y,z)$
Assumendo di poter espandere anche $f$ in tripla serie di seni, cioè
$f(x,y,z) = \sum_{n,m,l} f_{nml} \quad \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
dove
$f_{nml} = 8/(L^3) \int_D f(x,y,z) \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z) dx dy dz$
e imponendo l'uguaglianza delle due espansioni, ottieni le relazioni tra i coefficienti
$ -((\pi)/(L))^2 c_{nml} [n^2 + m^2 + l^2] = f_{nml}$
e quindi
$w(x,y,z)= - ((L)/(\pi))^2 \sum_{n,m,l} (f_{nml})/(n^2 + m^2 + l^2) \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
Non è troppo difficile calcolare i coefficienti $f_{nml}$ siccome nel tuo caso $f(x,y,z)=q/k$, cioè una costante.
In generale il problema che sottoponi è del tipo
\( \begin{cases}
\nabla^2 u(x,y,z) = f(x,y,z) \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. u(x,y,z) \right|_{\partial D} = g(x,y,z)
\end{cases}
\)
dove $D$ è il cubo di lato $L$ ed $f$ e $g$ funzioni note. Prima cosa spezzi il problema in due, ponendo $u=v+w$ dove
\( \begin{cases}
\nabla^2 v = 0 \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. v \right|_{\partial D} = g
\end{cases} \qquad
\begin{cases}
\nabla^2 w = f \quad \text{per} \quad (x,y,z) \in D \\
\left. w \right|_{\partial D} = 0
\end{cases}
\)
così ti sei ricondotto a due problemi in cui o l'equazione o la condizione al bordo sono omogenee. Visto che $g=\text{cost.}$ il problema per $v$ è facile, se uno si ricorda il Principio del Massimo per le funzioni armoniche, e la soluzione è $v(x,y,z) = 293K$.
Per $w$ non va così liscia e bisogna un po' sporcarsi le mani. L'idea è cercare un soluzione scritta come tripla serie di Fourier di soli seni, come suggerito dalle condizioni al contorno omogenee, del tipo
$w(x,y,z) = \sum_{n,m,l} c_{nml} \quad \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
dove
$\sum_{n,m,l} = \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}$
Una $w$ scritta così automaticamente soddisfa le condizioni al contorno. Restano da determinare i coefficienti $c_{nml}$. Sostituendo la formula precendente nell'equazione di Poisson ottieni
$\nabla^2 w = \sum_{n,m,l} c_{nml} \quad \nabla^{2}( \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z) ) = $
$ = -((\pi)/(L))^2 \sum_{n,m,l} c_{nml} [n^2 + m^2 + l^2] \sin ((n \pi)/L x) \sin ((m \pi)/L y) \sin ((l \pi)/L z) = f(x,y,z)$
Assumendo di poter espandere anche $f$ in tripla serie di seni, cioè
$f(x,y,z) = \sum_{n,m,l} f_{nml} \quad \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
dove
$f_{nml} = 8/(L^3) \int_D f(x,y,z) \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z) dx dy dz$
e imponendo l'uguaglianza delle due espansioni, ottieni le relazioni tra i coefficienti
$ -((\pi)/(L))^2 c_{nml} [n^2 + m^2 + l^2] = f_{nml}$
e quindi
$w(x,y,z)= - ((L)/(\pi))^2 \sum_{n,m,l} (f_{nml})/(n^2 + m^2 + l^2) \sin ((n\pi)/L x) \sin ((m\pi)/L y) \sin ((l\pi)/L z)$
Non è troppo difficile calcolare i coefficienti $f_{nml}$ siccome nel tuo caso $f(x,y,z)=q/k$, cioè una costante.
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