Equazione di laplace per il campo elettrostatico
ciao,
ho un problema nel capire l'equazione di laplace per il campo elettrostatico, $Delta V = 0$
cioè dati due conduttori sferici la cui configurazione è quella di un condensatore, cioè sono concentrici con raggi $r_1$ e $r_2$ (lo spazio tra i due conduttori è dunque quello compreso tra r1 e r2)
se conosco la carica sulla sfera interna applico il teorema del flusso e ho $E(R)=1/(4 pi epsilon_0) Q/R^2$ lungo la normale
dunque $V(1) - V(2) = int_1^2 vec(E)*d vec(r) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 -r_2)/(r_1 r_2)$
oppure il potenziale al generico R in mezzo è dato da
$V(1) - V(R) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 -R)/(r_1 R)$
se considero l'equazione di laplace in mezzo ho, lungo una direzione radiale $(del^2 V)/(del r^2) = 0$ con condizioni di contorno $V(r_1)=V_1$ e $V(r_2)=V_2$
quindi $(del V)/(del r) = c_1$ e $V(r) = c_1 x + c_2$
ok, ora so che $V(r_1) = V_1 = c_1 r_1 + c_2$ => $c_2 = V_1 - c_1 r_1$
e $V_2=V(r_2) = c_1 r_2 + c_2$ => $c_1 = (V_2 - c_2)/r_2$ cioè
$c_1 = (V_2 - V_1)/(r_2 - r_1)$
$c_2 = V_1 - (V_2 - V_1) r_1/(r_2 - r_1)$
quindi $V(R) = (V_2 - V_1)/(r_2 - r_1) (R - r_1) + V_1 $
e questa soddisfa le condizioni al contorno. però perchè non torna con l'altra espressione?
cioè
$V_1 - V(R) = (V_1 -V_2) (R - r_1)/(r_2 - r_1) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 - R)/(r_1 r_2)$ che differisce per un fattore di $r_2/R$ da quella di prima.
analogamente se prendo come condizioni al contorno V(1) e E(1) ho
$V(R) = a R + b$ con
$V(r_1)=V_1 = a r_1 + b$ => $b=V_1 - a r_1$
$(del V)/(del R) (r_1) = E(r_1) = E_1 = a$ => $a=E_1$
quindi $V(R) = E_1 (R-r_1) + V_1$
però calcolando per R=r2, poichè $E_1 = E(r_1) = 1/(4 pi epsilon_0) 1/r_1^2$ allora $V_2=V(r_2) = Q/(4 pi epsilon_0) ((r_2 - r_1)/r_1^2 + 1/r_1) = Q/(4 pi epsilon_0) r_2/r_1^2$ che non è proprio quello che mi aspettavo
oppure
$V_1 - V(R) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 - r_2)/r_1^2$ e ancora differisce dalla prima per un termine $r_1/r_2$
dove sbaglio??
grazie in anticipo
ho un problema nel capire l'equazione di laplace per il campo elettrostatico, $Delta V = 0$
cioè dati due conduttori sferici la cui configurazione è quella di un condensatore, cioè sono concentrici con raggi $r_1$ e $r_2$ (lo spazio tra i due conduttori è dunque quello compreso tra r1 e r2)
se conosco la carica sulla sfera interna applico il teorema del flusso e ho $E(R)=1/(4 pi epsilon_0) Q/R^2$ lungo la normale
dunque $V(1) - V(2) = int_1^2 vec(E)*d vec(r) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 -r_2)/(r_1 r_2)$
oppure il potenziale al generico R in mezzo è dato da
$V(1) - V(R) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 -R)/(r_1 R)$
se considero l'equazione di laplace in mezzo ho, lungo una direzione radiale $(del^2 V)/(del r^2) = 0$ con condizioni di contorno $V(r_1)=V_1$ e $V(r_2)=V_2$
quindi $(del V)/(del r) = c_1$ e $V(r) = c_1 x + c_2$
ok, ora so che $V(r_1) = V_1 = c_1 r_1 + c_2$ => $c_2 = V_1 - c_1 r_1$
e $V_2=V(r_2) = c_1 r_2 + c_2$ => $c_1 = (V_2 - c_2)/r_2$ cioè
$c_1 = (V_2 - V_1)/(r_2 - r_1)$
$c_2 = V_1 - (V_2 - V_1) r_1/(r_2 - r_1)$
quindi $V(R) = (V_2 - V_1)/(r_2 - r_1) (R - r_1) + V_1 $
e questa soddisfa le condizioni al contorno. però perchè non torna con l'altra espressione?
cioè
$V_1 - V(R) = (V_1 -V_2) (R - r_1)/(r_2 - r_1) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 - R)/(r_1 r_2)$ che differisce per un fattore di $r_2/R$ da quella di prima.
analogamente se prendo come condizioni al contorno V(1) e E(1) ho
$V(R) = a R + b$ con
$V(r_1)=V_1 = a r_1 + b$ => $b=V_1 - a r_1$
$(del V)/(del R) (r_1) = E(r_1) = E_1 = a$ => $a=E_1$
quindi $V(R) = E_1 (R-r_1) + V_1$
però calcolando per R=r2, poichè $E_1 = E(r_1) = 1/(4 pi epsilon_0) 1/r_1^2$ allora $V_2=V(r_2) = Q/(4 pi epsilon_0) ((r_2 - r_1)/r_1^2 + 1/r_1) = Q/(4 pi epsilon_0) r_2/r_1^2$ che non è proprio quello che mi aspettavo
oppure
$V_1 - V(R) = Q/(4 pi epsilon_0) (r_1 - r_2)/r_1^2$ e ancora differisce dalla prima per un termine $r_1/r_2$
dove sbaglio??
grazie in anticipo
Risposte
Non $(d^2V)/(dr^2)=0$ ma $(d^2(rV))/(dr^2)=0$.
aahh che idiota, chiaro devo farlo in coordinate sferiche...
dici $(d^2 (rV))/(d r^2)$ perchè si ricava dalla forma $1/r^2 del/(del r) (r^2 (del V)/(del r) )$ giusto?
grazie mille!
dici $(d^2 (rV))/(d r^2)$ perchè si ricava dalla forma $1/r^2 del/(del r) (r^2 (del V)/(del r) )$ giusto?
grazie mille!
Ok.