[Equazione di Helmholtz] Vederla come un prob agli autovalor

[f.schiano1]

Ciao a tutti. Ho trovato questa affermazione su wikipedia e mi interesserebbe capirne il significato.

"L'equazione di Helmholtz puo' essere vista come un'equazione agli autovalori del Laplaciano e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del Laplaciano".

Cosa significa? Come si scrive il problema agli autovalori per il laplaciano?

Grazie in anticipo per le risposte,
Fab.

[yoshiharu]

"f.schiano":
"L'equazione di Helmholtz puo' essere vista come un'equazione agli autovalori del Laplaciano e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del Laplaciano".

Cosa significa? Come si scrive il problema agli autovalori per il laplaciano?

Beh, si scrive con l'equazione di Helmholtz, no?
Scherzi a parte, un'equazione agli autovalori (e/o agli autovettori) per un operatore lineare e' semplicemente la definizione di autovalore
[tex]A \psi = \lambda \psi[/tex]
con $\psi$ un vettore di un opportuno spazio vettoriale, e $\lambda$ uno scalare nel campo di appoggio del suddetto spazio.
Se prendi per $A$ il laplaciano, vedi questa ha la stessa forma dell'equazione di Helmholtz. E puoi verificare immediatamente che il laplaciano e' lineare, quindi la cosa ha senso. Chiaramente perche' il problema sia definito devi stabilire per bene in che spazio cerchi la soluzione (e quindi anche le condizioni al contorno, oltre alla regolarita', etc.). Nel caso del laplaciano il problema lo risolvi in genere in uno spazio infinito-dimensionale, quindi c'e' qualche leggera differenza rispetto al caso familiare finito-dimensionale (per dire, non puoi usare Gauss-Jordan ).
Ho risposto?