Equazione di deviazione delle geodetiche
Ciao!
Qualcuno sa spiegarmi la deviazione delle geodetiche?
dati due campi vettoriali u e v su una varietà con derivata covariante di u lungo u stesso nulla (ovvero u è tangente alle geodetiche) , perché ''quello che conta'' non è che la variazione di v lungo u sia nulla (ovvero che le geodetiche siano parallele) ma che v vari linearmente o no? a cosa mi serve questa condizione?
A quanto ho capito questo implica che affinché uno spazio sia piatto (tensore di riemann nullo) non occorre che le geodetiche siano parallele. Un esempio? può essere, che so, una vasca di fluido in R^3, con le geodetiche determinate dal campo di velocità? è uno spazio piatto quello? buoooh mi sento un po' confusa
Grazie in anticipo
Qualcuno sa spiegarmi la deviazione delle geodetiche?
dati due campi vettoriali u e v su una varietà con derivata covariante di u lungo u stesso nulla (ovvero u è tangente alle geodetiche) , perché ''quello che conta'' non è che la variazione di v lungo u sia nulla (ovvero che le geodetiche siano parallele) ma che v vari linearmente o no? a cosa mi serve questa condizione?
A quanto ho capito questo implica che affinché uno spazio sia piatto (tensore di riemann nullo) non occorre che le geodetiche siano parallele. Un esempio? può essere, che so, una vasca di fluido in R^3, con le geodetiche determinate dal campo di velocità? è uno spazio piatto quello? buoooh mi sento un po' confusa
Grazie in anticipo
Risposte
No,la vasca di fluido non è uno spazio piatto. forse uno spazio piatto con geodetiche non parallele è per esempio è un campo radiale? geodetiche ''dritte'', delle rette, ma non parallele?
Ciao da quel che so, l'equazione di deviazione delle geodetiche, ti permette di calcolare quanto le geodetiche della superficie considerata si scostino dall'essere parallele.
Uno spazio ha curvatura nulla (piatto) se ha le geodetiche parallele, una vasca di un fluido non è piatta.
Ad esempio, riporto questo esercizietto che avevo svolto poco tempo fa:
Dall'equazione della deviazione delle geodetiche:
$(d^2ξ)/(ds^2)+Rξ=0$
Si ha che per avere una uguaglianza verificata, deve essere $R=0$ cioè curvatura nulla, si dimostra così che un cilindro, anche se non sembra, ha curvatura nulla perchè le sue geodetiche sono tutte parallele tra di loro.
Infatti un cilindro è un piano arrotolato.
All'inizio ho sottolineato in grassetto da quel che so, perchè non so niente (o poco)..
Quindi aspettiamo la risposta del buon Navigatore che quando entra in gioco la relatività salva tante vite!!!!
Uno spazio ha curvatura nulla (piatto) se ha le geodetiche parallele, una vasca di un fluido non è piatta.
Ad esempio, riporto questo esercizietto che avevo svolto poco tempo fa:
Show that the Gaussian curvature R of the surface of a cylinder is zero by showing that geodesics on the surface (unroll!!) suffer no geodesics deviation.
Dall'equazione della deviazione delle geodetiche:
$(d^2ξ)/(ds^2)+Rξ=0$
Si ha che per avere una uguaglianza verificata, deve essere $R=0$ cioè curvatura nulla, si dimostra così che un cilindro, anche se non sembra, ha curvatura nulla perchè le sue geodetiche sono tutte parallele tra di loro.
Infatti un cilindro è un piano arrotolato.
All'inizio ho sottolineato in grassetto da quel che so, perchè non so niente (o poco)..
Quindi aspettiamo la risposta del buon Navigatore che quando entra in gioco la relatività salva tante vite!!!!
MMmmh a quanto mi risulta non funziona così!
non ho mai visto l'equazione di deviazione delle geodetiche in quella forma.. cos'è csi?
Io ho trovato l'equazione R= derivata covariante ''seconda'' di v rispetto alla direzione u (con u e v come sopra).
quindi anche se le geodetiche non sono parallele (derivata covariante ''prima'' non nulla) potrebbe essere R=0 se la variazione di una geodetica rispetto all'altra è non lineare.
Chi è il buon Navigatore?? quando arriva a salvare la mia tesina? tra tre giorni ho un esame !!
non ho mai visto l'equazione di deviazione delle geodetiche in quella forma.. cos'è csi?
Io ho trovato l'equazione R= derivata covariante ''seconda'' di v rispetto alla direzione u (con u e v come sopra).
quindi anche se le geodetiche non sono parallele (derivata covariante ''prima'' non nulla) potrebbe essere R=0 se la variazione di una geodetica rispetto all'altra è non lineare.
Chi è il buon Navigatore?? quando arriva a salvare la mia tesina? tra tre giorni ho un esame !!
Quella equazione è scritta in: Gravitation di Misner..
E' ul libro di relatività generale..
Comunque $xi$ rsappresenta la distanza tra una geodetica e l'altra se ben ricordo, non ho il libro qua con me quindi vado a memoria.
Comunque non garantisco nulla di quello che ho scritto...
Eheh, Navigatore è un fenomeno!
E' ul libro di relatività generale..
Comunque $xi$ rsappresenta la distanza tra una geodetica e l'altra se ben ricordo, non ho il libro qua con me quindi vado a memoria.
Comunque non garantisco nulla di quello che ho scritto...
Eheh, Navigatore è un fenomeno!
Non sono un fenomeno grimx.
Maude, tempo fa scrissi questo post su geodetiche e curvatura :
viewtopic.php?f=19&t=115146&hilit=+geodetiche+e+curvatura
ma ne abbiamo palato altre volte, ad es. qui :
viewtopic.php?f=19&t=115580&hilit=+geodetiche+e+curvatura#p757802
Comunque, condizione necessaria e sufficiente perchè uno spaziotempo sia piatto è che tutte le componenti del tensore di Riemann siano nulle.
Se delle geodetiche nascono parallele, esse rimangono parallele s lo st è piatto. Altrimenti c'è la deviazione geodetica.
Hai presente la storia del "trasporto parallelo" secondo Levi-Civita di un vettore in uno st curvo?
L'equazione che ha messo grimx è effettivamente un esercizio, che si potrebbe risolvere per esempio su una superficie sferica : calcolare la deviazione geodetica sulla sfera, ad es. prendendo due meridiani che partono paralleli tra loro all'equatore, e puntando verso il Polo Nord "deviano" , fino a concidere nel polo.
Naturalmente qui è solo Geometria differenziale, siamo in 3 dimensioni, non nello ST della RG a 4 dimensioni , dove per calcolare la deviazione geodetica devi prendere due geodetiche vicine, chiamare $\csi$ il vettore separazione, e calcolare la derivata covariante della derivata covariante del vettore ! un bel calcolo massacrante !
Maude, tempo fa scrissi questo post su geodetiche e curvatura :
viewtopic.php?f=19&t=115146&hilit=+geodetiche+e+curvatura
ma ne abbiamo palato altre volte, ad es. qui :
viewtopic.php?f=19&t=115580&hilit=+geodetiche+e+curvatura#p757802
Comunque, condizione necessaria e sufficiente perchè uno spaziotempo sia piatto è che tutte le componenti del tensore di Riemann siano nulle.
Se delle geodetiche nascono parallele, esse rimangono parallele s lo st è piatto. Altrimenti c'è la deviazione geodetica.
Hai presente la storia del "trasporto parallelo" secondo Levi-Civita di un vettore in uno st curvo?
L'equazione che ha messo grimx è effettivamente un esercizio, che si potrebbe risolvere per esempio su una superficie sferica : calcolare la deviazione geodetica sulla sfera, ad es. prendendo due meridiani che partono paralleli tra loro all'equatore, e puntando verso il Polo Nord "deviano" , fino a concidere nel polo.
Naturalmente qui è solo Geometria differenziale, siamo in 3 dimensioni, non nello ST della RG a 4 dimensioni , dove per calcolare la deviazione geodetica devi prendere due geodetiche vicine, chiamare $\csi$ il vettore separazione, e calcolare la derivata covariante della derivata covariante del vettore ! un bel calcolo massacrante !
Perfetto Navigatore! allora qualcosina mi ricordavo!
[ot]Piuttosto... ci sei riuscito a calcolare le geodetiche su una pera?
[/ot]
[ot]Piuttosto... ci sei riuscito a calcolare le geodetiche su una pera?
[/ot]
sono d'accordo sul fatto che se le geodetiche nascono parallele e rimangono parallele allora R=0 e la varietà è piatta.
Non sono d'accordo sul fatto che sia una condizione necessaria. Le geodetiche potrebbero non rimanere parallele ma deviare in maniera lineare. Il tensore di Riemann sarebbe comunque nullo, dunque la varietà comunque piatta.
Almeno questo risulta dall'equazione di deviazione delle geodetiche nel caso in cui i due campi commutino.
Qualcuno potrebbe scrivermi l'equazione delle geodetiche? Forse sono io che faccio riferimento a testi poco affidabili!
Non sono d'accordo sul fatto che sia una condizione necessaria. Le geodetiche potrebbero non rimanere parallele ma deviare in maniera lineare. Il tensore di Riemann sarebbe comunque nullo, dunque la varietà comunque piatta.
Almeno questo risulta dall'equazione di deviazione delle geodetiche nel caso in cui i due campi commutino.
Qualcuno potrebbe scrivermi l'equazione delle geodetiche? Forse sono io che faccio riferimento a testi poco affidabili!
Non capisco che cosa vuoi dire con questa frase : " Le geodetiche potrebbero non rimanere parallele ma deviare in maniera lineare. Il tensore di Riemann sarebbe comunque nullo, dunque la varietà comunque piatta."
Anzi forse capisco che vuoi dire una cosa di questo genere, come esempio: se su un piano euclideo traccio due segmenti non paralleli, cioè due pezzi di geodetiche, c'è una "deviazione lineare" tra le geodetiche, tuttavia il piano rimane sempre piano. È così?
Ma "curvatura" vuol dire "qualche componente del tensore di Riemann diversa da zero". Se c'è qualche componente di R diversa da zero, c'è curvatura.
Nell'esempio da me postato in un link, in cui due piccole masse che da grande distanza cadono verso Terra convergono verso il centro, ci sono proprio componenti non nulle del tensore di R. ( anche se non sembra!) , e questo vuol dire curvatura dello ST attorno alla Terra, creata dalla massa della Terra : insomma, la gravita terrestre è curvatura dello ST secondo AE !
L'equazione della geodetica è presto detta : essendo una curva autoparalllela, trasporta il vettore tangente lungo se stessa, perciò la derivata covariante del vettore tangente nella direzione dello stesso vettore tangente è zero :
$nabla_(\vecU)\vecU = 0 $
e tu sai come si scrive questo in coordinate locali, no?
Ad ogni modo, guardati queste dispense, che trovi on line :
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf
e in particolare :
par. 5.8 : trasporto parallelo
par. 5.9 : eq. geodetiche
par. 6.2 : tensore di curvatura e curvatura dello ST
par. 6.4 : tensore di curvatura e commutatore delle derivate covarianti
cap 12 : eq. della deviazione geodetica
Il buon grimx, se vuol fare cosa buona, scannerizza le pagine di MTW dove si dimostra che la condizione R = 0 è necessaria e sufficiente per spaziotempo piatto, e le pubblica! (Ci sono, ci sono….)
Anzi forse capisco che vuoi dire una cosa di questo genere, come esempio: se su un piano euclideo traccio due segmenti non paralleli, cioè due pezzi di geodetiche, c'è una "deviazione lineare" tra le geodetiche, tuttavia il piano rimane sempre piano. È così?
Ma "curvatura" vuol dire "qualche componente del tensore di Riemann diversa da zero". Se c'è qualche componente di R diversa da zero, c'è curvatura.
Nell'esempio da me postato in un link, in cui due piccole masse che da grande distanza cadono verso Terra convergono verso il centro, ci sono proprio componenti non nulle del tensore di R. ( anche se non sembra!) , e questo vuol dire curvatura dello ST attorno alla Terra, creata dalla massa della Terra : insomma, la gravita terrestre è curvatura dello ST secondo AE !
L'equazione della geodetica è presto detta : essendo una curva autoparalllela, trasporta il vettore tangente lungo se stessa, perciò la derivata covariante del vettore tangente nella direzione dello stesso vettore tangente è zero :
$nabla_(\vecU)\vecU = 0 $
e tu sai come si scrive questo in coordinate locali, no?
Ad ogni modo, guardati queste dispense, che trovi on line :
http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf
e in particolare :
par. 5.8 : trasporto parallelo
par. 5.9 : eq. geodetiche
par. 6.2 : tensore di curvatura e curvatura dello ST
par. 6.4 : tensore di curvatura e commutatore delle derivate covarianti
cap 12 : eq. della deviazione geodetica
Il buon grimx, se vuol fare cosa buona, scannerizza le pagine di MTW dove si dimostra che la condizione R = 0 è necessaria e sufficiente per spaziotempo piatto, e le pubblica! (Ci sono, ci sono….)
scusa, pensavo di aver corretto il post, non volevo sapere l'equazione delle geodetiche ma l'equazione della deviazione delle geodetiche.
Infatti a quanto mi risulta è
R = ∇U⃗ ∇U⃗ V⃗
il che non significa semplicemente che le geodetiche devono restare parallele
Grazie per le dispense!
Infatti a quanto mi risulta è
R = ∇U⃗ ∇U⃗ V⃗
il che non significa semplicemente che le geodetiche devono restare parallele
Grazie per le dispense!
per ∇U⃗ intendo derivata covariante rispetto a U
quindi la formula che ho scritto (male, scusate ma non sono capace) si legge (derivata covariante rispetto a u della derivata covariante rispetto a u di v.)
quindi la formula che ho scritto (male, scusate ma non sono capace) si legge (derivata covariante rispetto a u della derivata covariante rispetto a u di v.)
"Maude":
scusa, pensavo di aver corretto il post, non volevo sapere l'equazione delle geodetiche ma l'equazione della deviazione delle geodetiche.
Infatti a quanto mi risulta è
R = ∇U⃗ ∇U⃗ V⃗
il che non significa semplicemente che le geodetiche devono restare parallele
Grazie per le dispense!
Ti risulta un po' male….Non è così che si scrive l'eq. della deviazione geodetica! Guardati le dispense, è meglio! E cerca di capirla bene questa cosa, non è difficilissima, è solo matematicamente un po' brigosa!
Appena ho un po' di tempo le scannerizzo le pagine, metto la parte dell'equazione della deviazione deele geodetiche e curvatura
Be' la formula a cui mi riferisco c'è anche sulle dispense che mi hai passato, in particolare la 12.15
Ecco le pagine che trattano ella curvatura e delle geodetiche del MTW:
Mi scuso se sono leggermente sfocate
Mi scuso se sono leggermente sfocate
No Maude, allora non hai ancora afferrato il concetto giusto, mi spiace.
Guarda innanzitutto la fig. a pag 161 : il vettore $ \vect = t^\alpha = (partialx^\alpha)/(partial\tau)$ è il vettore tangente alla geodetica in basso. Il vettore $\delta\vecx = (partialx^\alpha)/(partialp)$ rappresenta invece il vettore separazione tra due geodetiche vicine, dve $p$ è un parametro che caratterizza le geodetica.
La deviazione geodetica consiste nel fatto che, spostandosi lungo la geodetica di tangente $\vect$ , il vettore separazione cambia. E come cambia? Si deve calcolare la derivata covariante seconda di tale vettore separazione lungo $\vect$ :
$nabla_(\vect)(nabla_(\vect)\delta\vecx) $, formula 12.8 ( in componenti).
Effettuato il calcolo, come ivi riportato, si trova che :
$(D^2\deltax^\alpha)/(d\tau^2) = R_(βμν)^\alpha t^β t^μ δx^ν$ -----(formula 12.16).
Questa è l'equazione della deviazione geodetica, dove compare al secondo membro il tensore di Riemann. Anzi è proprio la miglior via, questa, per definire questo oggetto, il tensore di curvatura.
Naturalmente questo vuol dire che la derivata covariante seconda del vettore separazione tra due geodetiche dipende dalla curvatura dello ST. Le componenti al secondo membro si calcolano attraverso la solita convenzione di somma rispetto agli indici ripetuti in alto e in basso.
Grazie grimx. In quelle pagine, è riportato inizialmente il calcolo della deviazione geod. per due particelle nel campo gravitazionale terrestre, che io avevo scritto a mano sul link dell'altro post.
Guarda innanzitutto la fig. a pag 161 : il vettore $ \vect = t^\alpha = (partialx^\alpha)/(partial\tau)$ è il vettore tangente alla geodetica in basso. Il vettore $\delta\vecx = (partialx^\alpha)/(partialp)$ rappresenta invece il vettore separazione tra due geodetiche vicine, dve $p$ è un parametro che caratterizza le geodetica.
La deviazione geodetica consiste nel fatto che, spostandosi lungo la geodetica di tangente $\vect$ , il vettore separazione cambia. E come cambia? Si deve calcolare la derivata covariante seconda di tale vettore separazione lungo $\vect$ :
$nabla_(\vect)(nabla_(\vect)\delta\vecx) $, formula 12.8 ( in componenti).
Effettuato il calcolo, come ivi riportato, si trova che :
$(D^2\deltax^\alpha)/(d\tau^2) = R_(βμν)^\alpha t^β t^μ δx^ν$ -----(formula 12.16).
Questa è l'equazione della deviazione geodetica, dove compare al secondo membro il tensore di Riemann. Anzi è proprio la miglior via, questa, per definire questo oggetto, il tensore di curvatura.
Naturalmente questo vuol dire che la derivata covariante seconda del vettore separazione tra due geodetiche dipende dalla curvatura dello ST. Le componenti al secondo membro si calcolano attraverso la solita convenzione di somma rispetto agli indici ripetuti in alto e in basso.
Grazie grimx. In quelle pagine, è riportato inizialmente il calcolo della deviazione geod. per due particelle nel campo gravitazionale terrestre, che io avevo scritto a mano sul link dell'altro post.
Oltre alle pagine che ho scannerizzato, trovo molto buone queste dispense:
http://www.bo.infn.it/~ravanini/relativity/Generale.pdf
Insomma, c'è tanta roba su cui studiare!
http://www.bo.infn.it/~ravanini/relativity/Generale.pdf
Insomma, c'è tanta roba su cui studiare!
Dato che quello che hai esposto è esattamente quello che avevo capito, non immagino su che basi tu riesca a dire che non ho afferrato il concetto giusto.
E' perché invece delle lettrine t e x ho usato u e v? Non capisco.
In ogni caso grazie per avermi dedicato del tempo.
E' perché invece delle lettrine t e x ho usato u e v? Non capisco.
In ogni caso grazie per avermi dedicato del tempo.
grazie grimx, sei stato molto gentile
Di niente Maure! 
Comunque tu prima (così sembra a me) avevi scritto un'altra equazione, e non quella che ha scritto Navigatore,
forse non vi siete capiti..
Comunque tu prima (così sembra a me) avevi scritto un'altra equazione, e non quella che ha scritto Navigatore,
forse non vi siete capiti..
Non mi sembra che quello che hai scritto sia esattamente quello che ti ho scritto io. Non è questione di letterine.
Comunque se hai capito mi fa piacere.
Comunque se hai capito mi fa piacere.
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