Equazione di deviazione delle geodetiche
Ciao!
Qualcuno sa spiegarmi la deviazione delle geodetiche?
dati due campi vettoriali u e v su una varietà con derivata covariante di u lungo u stesso nulla (ovvero u è tangente alle geodetiche) , perché ''quello che conta'' non è che la variazione di v lungo u sia nulla (ovvero che le geodetiche siano parallele) ma che v vari linearmente o no? a cosa mi serve questa condizione?
A quanto ho capito questo implica che affinché uno spazio sia piatto (tensore di riemann nullo) non occorre che le geodetiche siano parallele. Un esempio? può essere, che so, una vasca di fluido in R^3, con le geodetiche determinate dal campo di velocità? è uno spazio piatto quello? buoooh mi sento un po' confusa
Grazie in anticipo
Qualcuno sa spiegarmi la deviazione delle geodetiche?
dati due campi vettoriali u e v su una varietà con derivata covariante di u lungo u stesso nulla (ovvero u è tangente alle geodetiche) , perché ''quello che conta'' non è che la variazione di v lungo u sia nulla (ovvero che le geodetiche siano parallele) ma che v vari linearmente o no? a cosa mi serve questa condizione?
A quanto ho capito questo implica che affinché uno spazio sia piatto (tensore di riemann nullo) non occorre che le geodetiche siano parallele. Un esempio? può essere, che so, una vasca di fluido in R^3, con le geodetiche determinate dal campo di velocità? è uno spazio piatto quello? buoooh mi sento un po' confusa
Grazie in anticipo
Risposte
Forse non si capiva perché non so scrivere le formule come si dovrebbe, ma l'ho anche scritta a parole, derivata covariante seconda rispetto a u di v, dove u (che fa le veci di t) è il vettore tangente alla geodetica e v è quello che navigatore ha chiamato dx. in ogni caso ho anche indicato la 12.15 che è esattamente ciò a cui mi riferivo.
Ho cercato di minimizzare la possibilità di dare adito a fraintendimenti ma a quanto pare o i miei sforzi non sono valsi a nulla o davvero c'è ancora qualcosa che sfugge.
Ho cercato di minimizzare la possibilità di dare adito a fraintendimenti ma a quanto pare o i miei sforzi non sono valsi a nulla o davvero c'è ancora qualcosa che sfugge.
Vabbe l'importante è che i tuoi dubbi siano spariti! 
Maude, voglio essere chiaro fin in fondo, è giusto dipanare eventuali dubbi ed evitare fraintendimenti.
Se tu scrivi, sia pure in maniera imprecisa : $nabla_U(nabla_UV) = R $ , hai scritto qualcosa di incompleto.
Al primo membro ci deve essere la derivata covariante seconda del vettore separazione, che tu chiami $V$ (però se vuoi usare le componenti tensoriali devi scriverlo appunto come componente : $V^\alpha$ ; ma sorvolo su questo), fatta nella direzione del vettore tangente, che tu scrivi $U$.
E va bene, via.
Ma al secondo membro non puoi scrivere semplicemente $R$ ( che immagino tu intenda essere il tensore di Riemann).
Al secondo membro, il tensore di Riemann, che ha un indice di controvarianza uguale ad $\alpha$ e tre indici di covarianza (quelli messi in basso) , ha questi tre indici saturati, moltiplicando due volte per lo stesso vettore tangente $U$ e una volta per il vettore separazione $V$ , e devono esse presi in quell'ordine, perché il tensore di Riemann ha tali simmetrie che, se non le rispetti, non ti ci ritrovi più quando calcoli le componenti in un caso reale di deviazione geodetica . Ecco il perche della mia perplessità circa una tua reale comprensione.
Come vedi, non si tratta solo di lettere diverse. Si tratta proprio che ci manca un pezzo.
Sai quante equazioni rappresenta in realtà quell'unica equazione della deviazione geodetica che scrivi? Tante quanti son gli indici controvarianti , non saturati.
Sai quante simmetrie possiede il tensore di Riemann? Non sto a scriverle tutte. Te le guardi nelle dispense che ti abbiamo allegato. Nello spaziotempo a 4 dimensioni della RG , le simmetrie e antisimmetrie riducono da $4^4 = 256^$ componenti a solo $20$ le componenti indipendenti del tensore di R. E spesso capita che alcune sono nulle.
Ecco, questo andava detto.
Se tu scrivi, sia pure in maniera imprecisa : $nabla_U(nabla_UV) = R $ , hai scritto qualcosa di incompleto.
Al primo membro ci deve essere la derivata covariante seconda del vettore separazione, che tu chiami $V$ (però se vuoi usare le componenti tensoriali devi scriverlo appunto come componente : $V^\alpha$ ; ma sorvolo su questo), fatta nella direzione del vettore tangente, che tu scrivi $U$.
E va bene, via.
Ma al secondo membro non puoi scrivere semplicemente $R$ ( che immagino tu intenda essere il tensore di Riemann).
Al secondo membro, il tensore di Riemann, che ha un indice di controvarianza uguale ad $\alpha$ e tre indici di covarianza (quelli messi in basso) , ha questi tre indici saturati, moltiplicando due volte per lo stesso vettore tangente $U$ e una volta per il vettore separazione $V$ , e devono esse presi in quell'ordine, perché il tensore di Riemann ha tali simmetrie che, se non le rispetti, non ti ci ritrovi più quando calcoli le componenti in un caso reale di deviazione geodetica . Ecco il perche della mia perplessità circa una tua reale comprensione.
Come vedi, non si tratta solo di lettere diverse. Si tratta proprio che ci manca un pezzo.
Sai quante equazioni rappresenta in realtà quell'unica equazione della deviazione geodetica che scrivi? Tante quanti son gli indici controvarianti , non saturati.
Sai quante simmetrie possiede il tensore di Riemann? Non sto a scriverle tutte. Te le guardi nelle dispense che ti abbiamo allegato. Nello spaziotempo a 4 dimensioni della RG , le simmetrie e antisimmetrie riducono da $4^4 = 256^$ componenti a solo $20$ le componenti indipendenti del tensore di R. E spesso capita che alcune sono nulle.
Ecco, questo andava detto.
"navigatore":
Maude, voglio essere chiaro fin in fondo, è giusto dipanare eventuali dubbi ed evitare fraintendimenti.
Se tu scrivi, sia pure in maniera imprecisa : $nabla_U(nabla_UV) = R $ , hai scritto qualcosa di incompleto.
Io credo veramente che avreste dovuto fissare le notazioni prima
L'equazione che ha scritto lui dovrebbe essere l'equazione di deviazione delle geodetiche, scritta in forma intrinseca (quindi nessuna componente, solo vettori). Se non ho sbagliato ad interpretare, Maude ha usato $R$ per indicare - con scelta sciagurata avendo un alfabeto di 26 lettere a disposizione
- l'accelerazione relativa di geodetiche vicine. Ovviamente in componenti (scegliendo delle coordinate) trovi la vecchia equazione con i simboli di Christoffel etc.Io l'avrei chiamata $a$, per dire, ma in fondo e' un paese libero
Eh già, yoshiharu, avremmo dovuto chiarire le notazioni inizialmente. Hai ragione anche tu, ovviamente!
Io ho capito che Maude con R volesse indicare il tensore di Riemann, e non l'accelerazione relativa tra le geodetiche, come hai ipotizzato tu, in pura forma vettoriale.
Ma può essere che io abbia capito male, e allora chiediamo a Maude di chiarire la sua scrittura, cioè in forma intrinseca, solo vettori, oppure evidenziando le componenti tensoriali e quindi Riemann e componenti varie…..
Ma ad ogni modo è essenziale aver chiaro il significato di questa benedetta eq. della deviazione geodetica, su cui credo siamo tutti d'accordo.
Io ho capito che Maude con R volesse indicare il tensore di Riemann, e non l'accelerazione relativa tra le geodetiche, come hai ipotizzato tu, in pura forma vettoriale.
Ma può essere che io abbia capito male, e allora chiediamo a Maude di chiarire la sua scrittura, cioè in forma intrinseca, solo vettori, oppure evidenziando le componenti tensoriali e quindi Riemann e componenti varie…..
Ma ad ogni modo è essenziale aver chiaro il significato di questa benedetta eq. della deviazione geodetica, su cui credo siamo tutti d'accordo.
Ma ad ogni modo è essenziale aver chiaro il significato di questa benedetta eq. della deviazione geodetica, su cui credo siamo tutti d'accordo.
AMEN!
Perfetto!!
Scusate allora è colpa mia, certo intendevo R tensore di riemann con argomenti u e v, applicato a v.
Pensavo che il problema fosse il primo membro, avrei chiarito prima.
In ogni caso sorge un altro dubbio.
Il numero di componenti indipendenti data l'antisimmetria per scambio di componenti e la proprietà simil identità jacobiana non è [(n^4)-(n^2)]/3 ?? che nel caso di n=4 fa 80 ? mi sono persa qualche simmetria?
Comunque complimenti per la serietà
Scusate allora è colpa mia, certo intendevo R tensore di riemann con argomenti u e v, applicato a v.
Pensavo che il problema fosse il primo membro, avrei chiarito prima.
In ogni caso sorge un altro dubbio.
Il numero di componenti indipendenti data l'antisimmetria per scambio di componenti e la proprietà simil identità jacobiana non è [(n^4)-(n^2)]/3 ?? che nel caso di n=4 fa 80 ? mi sono persa qualche simmetria?
Comunque complimenti per la serietà
io mi riferisco al caso in cui do in pasto a R 3 vettori diversi R(u,v)w
vengono 20 nel caso che abbiamo trattato R(u,v)u ?
vengono 20 nel caso che abbiamo trattato R(u,v)u ?
"Maude":
io mi riferisco al caso in cui do in pasto a R 3 vettori diversi R(u,v)w
vengono 20 nel caso che abbiamo trattato R(u,v)u ?
Nel caso più generale, le componenti indipendenti di R si dimostra che sono:$ (n^2(n^2-1))/12 = 20 $ per n = 4 dimensioni, a causa di simmetrie ed emisimmetrie, come sai. Ma non dipende dai vettori che dai in pasto a R.
Ma non si può dire a priori quante componenti devi calcolare in un caso reale! Per fortuna, i casi reali presentano di per sé delle simmetrie geometriche e/o temporali, per cui devi calcolare meno componenti, e lo sai prima di farlo.
Comunque, le simm. e emisimm. di R ti permettono gia a priori di escludere certe combinazioni di indici. Prova per esempio a considerare la forma con tutti indici covarianti di R , abbassando $\alpha$ col tensore metrico $g$ (sai come si fa?) , e prova a scrivere le componenti indipendenti di R nelle coordinate polari : $t,r, \theta, \phi$ . Poi immagina una situazione molto simmetrica, per esempio una perfetta simmetria sferica come nella soluzione di Schwarzschild . Vedrai subito quali puoi scrivere e come si riduce il numero!
A mano è comunque un lavoraccio! Io una volta l'ho fatto in un esempio molto generale, e mi ha preso male!
Esistono programmi computerizzati per il calcolo delle componenti di un tensore.
Buon lavoro e auguri per la tesina!
Approfitto ancora.
Nelle dispense che navigatore mi ha passato ( http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf ), per dimostrare che la 12.4 e la 12.5 sono uguali usa l'ipotesi che la connessione affine sia simmetrica, ipotesi che io non posso usare. Non posso dire che [t, dx]=0 e dunque sfruttare la proprietà di simmetria della derivazione covariante per ottenere la tesi l'uguaglianza tra la 12.4 e la 12.5? t e dx non formano un circuito chiuso per costruzione?
Nelle dispense che navigatore mi ha passato ( http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf ), per dimostrare che la 12.4 e la 12.5 sono uguali usa l'ipotesi che la connessione affine sia simmetrica, ipotesi che io non posso usare. Non posso dire che [t, dx]=0 e dunque sfruttare la proprietà di simmetria della derivazione covariante per ottenere la tesi l'uguaglianza tra la 12.4 e la 12.5? t e dx non formano un circuito chiuso per costruzione?
"Maude":
Nelle dispense che navigatore mi ha passato ( http://www.roma1.infn.it/teongrav/VALER ... spense.pdf ), per dimostrare che la 12.4 e la 12.5 sono uguali usa l'ipotesi che la connessione affine sia simmetrica, ipotesi che io non posso usare.
Cioe' vuoi dire che lavori nel caso di spazio con torsione?
In tal caso potrebbe venirti utile questo articolo (la parte che ti interessa dovrebbe essere a pagina 11, ma ti conviene leggerlo tutto). Parte dal libro General Relativity di Robert Wald (e' quello con il quadro di Magritte in copertina, la onnipresente mela, ma con sopra un tavolo), libro che consiglio caldamente, da studiare e tenere sempre con se'.
Occhio che Wald (e di conseguenza l'articolo che ti ho linkato) usa una convenzione particolare, per la quale per indicare un tensore usa una lettera con un indice (alto o basso a seconda della covarianza) preso dall'inizio dell'alfabeto latino, tipo $T^{ab}$: cio' non indica che si parla delle componenti del tensore in coordinate, infatti puoi usarlo anche quando non ti interessano affatto le coordinate. Quando sceglie delle coordinate invece usa le lettere (di mezzo tipicamente) dell'alfabeto greco (tipo $T^{\mu\nu}$).
Lavoro in uno spazio generico, in cui non ho dimostrato la simmetria della connessione affine. Dunque non so se la torsione sia nulla o meno.
Ti ringrazio per l'articolo!!
Ti ringrazio per l'articolo!!
Non ho visto mai l'equazione della deviazione geodetica trattata in uno spazio con torsione, quindi con un commutatore di una funzione regolare diverso da zero.Non saprei dire che cosa succede in caso di torsione dello spazio.
Bellissimo trattato quello di Wald! Per certi versi, più completo e più difficile di MTW.
Bellissimo trattato quello di Wald! Per certi versi, più completo e più difficile di MTW.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo