Equazione di campo di Einstein

[repez1]

Ciao a tutti, volevo chiedere cosa trovo esattamente risolvendo questa equazione:

\(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+g_{\mu\nu}\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \)

Fatemi, se potete, degli esempi concreti di soluzioni a tale equazione. Se ho capito questo \(\displaystyle g_{\mu\nu} \) tensore sarebbe l'icognita, giusto? Un'altra cosa, quali sono i dati necessari alla sua risoluzione? Potete fornirmene un elenco? Grazie.

[Sk_Anonymous]

"repez":Ciao a tutti, volevo chiedere cosa trovo esattamente risolvendo questa equazione:

\(\displaystyle R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R+g_{\mu\nu}\Lambda=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} \)

Fatemi, se potete, degli esempi concreti di soluzioni a tale equazione. Se ho capito questo \(\displaystyle g_{\mu\nu} \) tensore sarebbe l'icognita, giusto? Un'altra cosa, quali sono i dati necessari alla sua risoluzione? Potete fornirmene un elenco? Grazie.

Questa equazione è in realtà un sistema di 10 equazioni differenziali altamente non lineari, che non si sa risolvere sic et simpliciter, se non in casi particolari. I vari termini sono quantità tensoriali.
Il termine $R_(\mu\nu)$ è il tensore di Ricci, contrazione del tensore di Riemann sul primo e terzo ( o quarto, cambia solo il segno) indice. Le quantità $g_(\mu\nu)$ sono le 10 componenti distinte del tensore metrico covariante, simmetrico( per cui si riducono da 16 a 10), $R$ è la traccia del tensore di Ricci ($ R = R^\mu_mu = g^(\mu\nu)R_(\nu\mu) $ ) che si ottiene innalzando col tensore metrico e contraendo sul primo indice. Al secondo membro c'è il tensore energia-impulso $T_(\mu\nu)$ della materia energia. La costante che lo moltiplica si ricava supponendo che all'infinito il campo diventi newtoniano, quindi la geometria diventi euclidea, annullandosi la curvatura. LA costante cosmologica all'inizio non c'era.

LA prima e più importante soluzione fu trovata da Karl Schwarzschild nel 1916, per lo spaziotempo vuoto di materia-energia attorno a una massa M a siimetria sferica e statica. Si vide poi che questa soluzione rappresentava un "buco nero" statico, i cui "orizzonte egli eventi" aveva il raggio di Schwarzschild $R_S = (2GM)/c^2$.

Esistono altre soluzioni, più complicate , che rappresentano altri tipi di buchi neri, caratterizzati, oltre che dalla massa, dalla carica elettrica e dal momento angolare ( soluzione di Kerr, per esempio).

Per cominciare a capirci qualcosa, posso consigliarti questo libro : "Bernard Schutz - A first course in General Relativity - Cambridge University Press" . Io ho l'edizione del 1984, ce n'è una seconda più recente.

Oppure puoi cominciare dare un'occhiata a questo:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019