Equazione di Bernoulli & Co

[19semplicemente]

Salve a tutti ... ho un problema che davvero non so come risolvere!!

C'è una bacinella riempita fino al livello H = 0.3 m di acqua



viene quindi praticato un foro ad una delle pareti alla profondità h = 0.1 m

1) a che distanza x dalla bacinella il getto colpisce il terreno?

analizzando il problema inizierei con l'osservare che:

1. posso immaginare che l'acqua fluisca verticalmente nel serbatoio e successivamente finisca orizzontalmente nel foro di uscita; creando un "tubo di flusso".

2. la massa volumica che fuisce verticalmente (entrante) deve essere la stessa che fluisce orizzontalmente dal foro (uscente) quindi

$R_v = A_0 v_0 = A_1 v_1$

dove $A_0$ e $v_0$ sono l'area e la velocità del flusso "entrante".

3. posso dire che $A_0 $ >> $ A_1$ e che di conseguenza $v_1$ >> $v_0$

4. la pressione sia all'entrata che all'uscita sarà quella atmosferica


fatte queste premesse, cerco la velocità di uscita $v_1$ ricordando che:

$v_0 = ((A_1 v_1) / A_0)$

quindi ricorrendo all'equazione di Bernoulli potrò scrivere che:

$p_0 + 1/2 rho ((A_1 v_1) / A_0)^2 + rho g y_1 = p_0 + 1/2 rho (v_1)^2 + rho g (0)$

dove:
$y_1 = h"

$rho g (0) = 0$ poichè scelgo come origine del sistema il foro.

A questo punto mi ricordo di quanto detto al punto 3 e quindi riscrivo l'eq. di Bernoulli, semplificando e trascurando il termine $v_0$

$ 2 g y_1 = 1/2 (v_1)^2 $

Quindi: $v_1 = sqrt ( 2 g y_1 ) $ = $1.4 m/s$

Ora conosciamo la velocità di uscita; se assumo che il flusso di acqua è composto da tanti punti materiali potrei scrivere che:

$y' = y'_0 + v'_0 t - 1/2 g t^2$

(ho utilizzato il simbolo $'$ per non confonderci con la $y_1$ utilizzata nelle formule precedenti)

Se prendiamo come origine del sistema di riferimento la base della bacinella potremmo scrivere che:

$y' = 0$
$y'_0 = H - h$
$v'_0 = 0"

e quindi riscrivendo:

$- y'_0 = - 1/2 g t^2$

$y'_0 = 1/2 g t^2$

$(2 y'_0)/g = t^2$

$t = sqrt(((2 (H-h))/g)) = 0.245 s$

Abbiamo così trovato il tempo di "caduta", ora non mi resta che risolvere:

$x = v_1 t = 1.4 m/s * 0.245 s = 0.343 m $

Primo quesito risolto.
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2) Si potrebbe con un buco a un'altra profondità produrre un secondo getto con la stessa portata orizzontale? Se si, a quale profondità

Questo quesito mi ha messo in crisi!

Se non vado errato dovrei imporre $ x = 0.343 m $

e cercare di estrapolare una altezza solo che il ragionamento che faccio... fa acqua da qualche parte.. ma non capisco dove!!

Avevo infatti pensato di poter ottenere l'altezza riscrivendo $x$ con le formule ma così mi trovo due incognite in una equazione..

$ x = sqrt (2 g y_1) * sqrt ( (2 y') /g) $

Infatti la velocità di uscita $v_1$ dipende dalla colonna d'acqua c'è sopra, mentre il tempo dipende da quanta distanza c'è tra il foro e il terreno!!

Qualcuno sa dirmi come uscire da questo problema??

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3) A quale profondità occorre fare il buco in modo tale che il getto atterri alla distanza massima dalla bacinella??

Non so davvero da dove iniziare per questo punto!! Help!!

Grazie anticipato a tutti quelli che vorranno aiutarmi!

[MaMo2]

1) Il procedimento è giusto ma i risultati numerici sono sbagliati. Si trova $t=0,202 s$ e $x=0,2828 m$.

2) Utilizzando la formula del tempo di caduta da te trovata e sapendo che $x=v*t$ si ottiene l'equazione:

$x=v*t=sqrt(2gh)sqrt((2(H-h))/g)$

Cioè:

$4h^2-4Hh+x^2=0$

Le due soluzioni sono:

$h_(1,2)=(H+-sqrt(H^2-x^2))/2$

Numericamente si trova $h_1=0,1 m$ e $h_2=0,2 m$.

3) Si potrebbero usare le derivate ma è più semplice considerare il risultato precedente. Da esso si nota che la distanza massima è quella che annulla il radicando cioè x = H. Ad essa corrisponde una profondità $h=H/2$.