Equazione delle onde
Salve ragazzi!
Devo determinare la soluzione dell'equazione delle onde su R con dati iniziali \( u(x,0)=0 \) e \( \frac{\partial^{}u}{\partial t}(x,0) = \delta (x-y) \) (immagino si tratti della delta di Dirac). Utilizzando la formula di d'Alambert, essendo \( u(x,0)=0 \), ho che la soluzione è della forma \( u(x,t)=1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct} \delta (x'-y)\, dx' \) . Adesso però ho difficoltà sia nel concludere, sia nell'interpretare questa formula. Potreste aiutarmi?
Grazie.
Devo determinare la soluzione dell'equazione delle onde su R con dati iniziali \( u(x,0)=0 \) e \( \frac{\partial^{}u}{\partial t}(x,0) = \delta (x-y) \) (immagino si tratti della delta di Dirac). Utilizzando la formula di d'Alambert, essendo \( u(x,0)=0 \), ho che la soluzione è della forma \( u(x,t)=1/(2c)\int_{x-ct}^{x+ct} \delta (x'-y)\, dx' \) . Adesso però ho difficoltà sia nel concludere, sia nell'interpretare questa formula. Potreste aiutarmi?
Grazie.
Risposte
Scusa, non sono esperto di segnali ed affini. La mia idea è però che quella delta sia la derivata di uno scalino, per cui, senza fare calcoli, mi sembra che il segnale sia inizialmente nullo, poi al crescere del tempo, si alza uno scalino in corrispondenza di y con velocità costante ...
Grazie per la risposta arrigo! L'ho pensato anche io, però ho ancora dei dubbi...
Se chiamiamo $ H(x-y) $ il gradino ( $ (partial H(x-y))/(partial x) = delta (x-y) $ ), la soluzione è data da $ u(x,t)= 1/(2c)[H(x+ct-y)-H(x-ct-y)] $ e il tutto sembra rispettare le condizioni iniziali. Considerando $y$ fissato (dato che non si dice nulla nell'esercizio), non ho problemi in corrispondenza di questo valore?
Se chiamiamo $ H(x-y) $ il gradino ( $ (partial H(x-y))/(partial x) = delta (x-y) $ ), la soluzione è data da $ u(x,t)= 1/(2c)[H(x+ct-y)-H(x-ct-y)] $ e il tutto sembra rispettare le condizioni iniziali. Considerando $y$ fissato (dato che non si dice nulla nell'esercizio), non ho problemi in corrispondenza di questo valore?
... avevo pensato ad una soluzione del genere $u(x,t) = k t H(x-y)$ dove l'inizio dello scalino è nel punto fisso $y$ e l'altezza dello scalino varia linearmente col tempo ...
Intuitivamente pensare ad una soluzione del genere sembra ragionevole, ma tecnicamente come potrei arrivarci?
Senza contare che (a meno di un grosso abbaglio) se consideriamo $ u(x,t)=ktH(x-y) $ risulta $ (partial u(x,0))/(partial t)=kH(x-y) $, in contraddizione con le condizioni iniziali...
Senza contare che (a meno di un grosso abbaglio) se consideriamo $ u(x,t)=ktH(x-y) $ risulta $ (partial u(x,0))/(partial t)=kH(x-y) $, in contraddizione con le condizioni iniziali...
Sì, hai perfettamente ragione, ho dato i numeri! La mia idea di buono aveva solo lo scalino La tua soluzione è bellissima! Inizialmente tutto a zero, poi compare un rettangolo che si allarga col tempo, bellissimo! Se ci sono dei problemi formali non saprei, non sono avvezzo a questi calcoli di analisi funzionale...
Mi chiedevo anche, la $u(x,t)$ a che spazio appartiene? Allo spazio delle funzioni localmente sommabili? Questo mi sembra importante, perché così, tutti gli uguali vanno interpretati quasi dappertutto, cioè a meno di un insieme di L-misura nulla. Allora, in questo caso si può essere poco pignoli nei singoli punti
La tua soluzione è bellissima! Inizialmente tutto a zero, poi compare un rettangolo che si allarga col tempo, bellissimo! Se ci sono dei problemi formali non saprei, non sono avvezzo a questi calcoli di analisi funzionale... Mi chiedevo anche, la $u(x,t)$ a che spazio appartiene? Allo spazio delle funzioni localmente sommabili? Questo mi sembra importante, perché così, tutti gli uguali vanno interpretati quasi dappertutto, cioè a meno di un insieme di L-misura nulla. Allora, in questo caso si può essere poco pignoli nei singoli punti
Mi sto ponendo più o meno le stesse domande anche se, non avendo ancora fatto analisi reale, non so lavorare con la teoria della misura etc! Quello che so è che posso ottenere una solzione debole $u(x,t) in C^1$ del problema scegliendo $ u(x,0) in C^1(R) $ e $ (partialu(x,0))/(partial t) in C^0(R) $ (data in questo caso dalla formula di d'Alambert). Adesso, la delta non è continua in 0, quindi non saprei come considerare la soluzione... Però se posso ignorare un insieme discreto di punti, come dici tu, dovrei rientrare nella considerazione fatta prima credo!
Sì, scalini e delta non possono funzionare in C, per cui bisogna per forza andare su spazi più ampi ... il bello dell'analisi funzionale è proprio quello
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