Equazione del moto
Ciao a tutti. Vorrei porre una domanda che mi è sorta studiando meccanica.
Io so che le forze di attrito viscoso mi portano a una eq del tipo $ma=F_a+F_g=-bv+mg$ e risolvendola trovo un v(t) esponenziale ecc. benissimo
Mi chiedevo però, se io immagino una forza che abbia equazione di newton data solamente da: $F=ma=kv$ cioè proporzionale alla velocità in teoria posso rosolvere per seprazione di variabili $m(dv)/(dt)=kv$.
Insomma è risolvibile, però di fatto ho grandi dubbi:
1) se considero la soluzione separando le variabili ho $v(t)=v_0e^(k/mt)$ quindi sembrerebbe esistere un moto del genere.
2) però mi dico ammettiamo $ma=kv$, da questa ottengo $v=m/ka$ cioè la velocità è proporzionale all'accelerazione, ma questo mi sembra non poter esistere poiché se la acccelerazione ad esempio fosse costante avrei $v=at$, quindi la velocità dovrebbe crescere linearmente.
Qualcuno può aiutarmi a capire per favore
Io so che le forze di attrito viscoso mi portano a una eq del tipo $ma=F_a+F_g=-bv+mg$ e risolvendola trovo un v(t) esponenziale ecc. benissimo
Mi chiedevo però, se io immagino una forza che abbia equazione di newton data solamente da: $F=ma=kv$ cioè proporzionale alla velocità in teoria posso rosolvere per seprazione di variabili $m(dv)/(dt)=kv$.
Insomma è risolvibile, però di fatto ho grandi dubbi:
1) se considero la soluzione separando le variabili ho $v(t)=v_0e^(k/mt)$ quindi sembrerebbe esistere un moto del genere.
2) però mi dico ammettiamo $ma=kv$, da questa ottengo $v=m/ka$ cioè la velocità è proporzionale all'accelerazione, ma questo mi sembra non poter esistere poiché se la acccelerazione ad esempio fosse costante avrei $v=at$, quindi la velocità dovrebbe crescere linearmente.
Qualcuno può aiutarmi a capire per favore
Risposte
La velocità proporzionale all'accelerazione implica un legame tra la velocità e la sua derivata.
Non puoi quindi scegliere a piacimento la dipendenza dal tempo dell'accelerazione, ma devi trovare una formulazione che rispetti l'equazione originaria.
Ti faccio un esempio puramente algebrico. Supponiamo di avere $f(x)=x^2$ e $g(x)=x$ e e che per un qualche motivo si sappia che esiste il vincolo $f(x)=2g(x)$
In questo caso non posso prendere a mio piacimento ad es. g(x)=3 e quindi f(x)=6 e sperare che risulti tutto coerente. Solo i valori di x che soddisfano $x^2=2x$ vanno bene (e quindi solo g(x)=0 oppure g(x)=2)
Non puoi quindi scegliere a piacimento la dipendenza dal tempo dell'accelerazione, ma devi trovare una formulazione che rispetti l'equazione originaria.
Ti faccio un esempio puramente algebrico. Supponiamo di avere $f(x)=x^2$ e $g(x)=x$ e e che per un qualche motivo si sappia che esiste il vincolo $f(x)=2g(x)$
In questo caso non posso prendere a mio piacimento ad es. g(x)=3 e quindi f(x)=6 e sperare che risulti tutto coerente. Solo i valori di x che soddisfano $x^2=2x$ vanno bene (e quindi solo g(x)=0 oppure g(x)=2)
Ok credo di aver afferrato il concetto.
Vediamo però se dico cose sensate ora, se puoi correggermi ti ringrazio
Allora in sostanza:
- può esistere una forza: $F=ma=kv$ e quindi $m(dv)/(dt)=kv$ e che ha per soluzione: $v(t)=v_0e^(k/mt)$
- ciò che non esiste è una funzione costante a(t) con i vincoli sopra esposti poiché non sarebbe soluzione delle mie equazioni appunto.
- da $ma=kv$ vale $v=m/ka$ e $a=k/mv$ e infatti sostituendo la v trovata in questa troverei una accelerazione (quasta volta corretta) che risolve al mio problema. (oss: e infatti non è una accelerazione costante).
In definitiva quindi: non è vero come pensavo che non esiste una forza e una equazione del moto per $F=ma=kv$ , piuttosto non esiste una accelerazione costante che la risolva.
Spero di aver detto tutto giusto e grazie
Vediamo però se dico cose sensate ora, se puoi correggermi ti ringrazio
Allora in sostanza:
- può esistere una forza: $F=ma=kv$ e quindi $m(dv)/(dt)=kv$ e che ha per soluzione: $v(t)=v_0e^(k/mt)$
- ciò che non esiste è una funzione costante a(t) con i vincoli sopra esposti poiché non sarebbe soluzione delle mie equazioni appunto.
- da $ma=kv$ vale $v=m/ka$ e $a=k/mv$ e infatti sostituendo la v trovata in questa troverei una accelerazione (quasta volta corretta) che risolve al mio problema. (oss: e infatti non è una accelerazione costante).
In definitiva quindi: non è vero come pensavo che non esiste una forza e una equazione del moto per $F=ma=kv$ , piuttosto non esiste una accelerazione costante che la risolva.
Spero di aver detto tutto giusto e grazie
Si, esatto
Grazie ancora, mi ero proprio incastrato XD
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